2018年北京市西城區(qū)高三一模理科數(shù)學(xué)試題及參考答案

1、西城區(qū)高三統(tǒng)一測試 數(shù)學(xué)（理科） 2018.4第卷（選擇題 共40分）一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1若集合，則（A） （B）（C）（D）2執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A）（B）（C）（D）3已知圓的方程為以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，該圓的極坐標(biāo)方程為（A）（B）（C）（D）4正三棱柱的三視圖如圖所示，該正三棱柱的表面積是（A） （B）（C） （D）5已知是正方形的中心若，其中，則（A）（B）（C）（D）6設(shè)函數(shù)則“有兩個不同的零點”是“，使”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條

2、件（D）既不充分也不必要條件7函數(shù) 則的圖象上關(guān)于原點對稱的點共有（A）0對（B）1對（C）2對（D）3對8某計算機(jī)系統(tǒng)在同一時間只能執(zhí)行一項任務(wù)，且該任務(wù)完成后才能執(zhí)行下一項任務(wù)現(xiàn)有三項任務(wù)U，V，W，計算機(jī)系統(tǒng)執(zhí)行這三項任務(wù)的時間（單位：s）依次為，其中一項任務(wù)的“相對等待時間”定義為從開始執(zhí)行第一項任務(wù)到完成該任務(wù)的時間與計算機(jī)系統(tǒng)執(zhí)行該任務(wù)的時間之比下列四種執(zhí)行順序中，使三項任務(wù)“相對等待時間”之和最小的是（A）UVW（B）VWU（C）WUV（D）UWV第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9若復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則實數(shù)_ 10設(shè)等差數(shù)列的前項和

3、為若，則_；_11已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則_；雙曲線的漸近線方程是_12設(shè)，若函數(shù)的最小正周期為，則_13安排甲、乙、丙、丁4人參加3個運動項目，每人只參加一個項目，每個項目都有人參加若甲、乙2人不能參加同一個項目，則不同的安排方案的種數(shù)為_（用數(shù)字作答）14如圖，在長方體中，點在側(cè)面上若點到直線和的距離相等， 則的最小值是_三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）在中，已知（）求的大??；（）若，求的面積16（本小題滿分13分）某企業(yè)2017年招聘員工，其中A、B、C、D、E五種崗位的應(yīng)聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例

4、（精確到1%）如下：崗位男性應(yīng)聘人數(shù)男性錄用人數(shù)男性錄用比例女性應(yīng)聘人數(shù)女性錄用人數(shù)女性錄用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%總計53326450%46716936%（）從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)選擇1人，試估計此人被錄用的概率；（）從應(yīng)聘E崗位的6人中隨機(jī)選擇2人記為這2人中被錄用的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （）表中A、B、C、D、E各崗位的男性、女性錄用比例都接近（二者之差的絕對值不大于5%），但男性的總錄用比例卻明顯高于女性的總錄用比例研究發(fā)現(xiàn)，若只考慮其中某四種崗

5、位，則男性、女性的總錄用比例也接近，請寫出這四種崗位（只需寫出結(jié)論）17（本小題滿分14分）如圖1，在中，分別為，的中點，為的中點，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2（）求證：；（）求直線和平面所成角的正弦值；（）線段上是否存在點，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由圖1 圖218（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（）當(dāng)時，證明：存在極小值19（本小題滿分14分） 已知圓和橢圓，是橢圓的左焦點（）求橢圓的離心率和點的坐標(biāo)；（）點在橢圓上，過作軸的垂線，交圓于點（不重合），是過點的圓的切線圓的圓心為點，半徑長為試判斷直線與圓

6、的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論20（本小題滿分13分）數(shù)列：滿足：記的前項和為，并規(guī)定定義集合，（）對數(shù)列：，求集合；（）若集合，證明：；（）給定正整數(shù)對所有滿足的數(shù)列，求集合的元素個數(shù)的最小值第 6 頁 共 5 頁西城區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2018.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1D 2C 3B 4D 5B 6C 7C 8A 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9 10， 11， 12 13 14注：第10，11題第一空3分，第二空2分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15（本小題滿分

7、13分）解：（）因為 ，所以 1分在中，由正弦定理得 3分所以 4分因為 ， 5分所以 6分（）在中，由余弦定理得 ， 所以 ， 8分 整理得 ， 9分 解得 ，或，均適合題意 11分當(dāng)時，的面積為 12分當(dāng)時，的面積為 13分16（本小題滿分13分）解：（）因為 表中所有應(yīng)聘人員總數(shù)為 ，被該企業(yè)錄用的人數(shù)為 ，所以 從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)選擇1人，此人被錄用的概率約為 3分（）X可能的取值為 4分 因為應(yīng)聘E崗位的6人中，被錄用的有4人，未被錄用的有2人， 5分 所以 ； 8分所以 X 的分布列為：X012P 10分（）這四種崗位是：B、C、D、E 13分17（本小題滿分14分）解：（）

8、因為 在中，分別為，的中點， 所以 ，所以 ，又為的中點，所以 1分 因為 平面平面，且平面， 所以 平面， 3分 所以 4分（）取的中點，連接，所以 由（）得 ， 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 5分由題意得，所以 ，設(shè)平面的法向量為， 則 即 令，則，所以 7分設(shè)直線和平面所成的角為，則所以 直線和平面所成角的正弦值為 9分（）線段上存在點適合題意 設(shè) ，其中 10分設(shè) ，則有，所以 ，從而 ，所以 ，又，所以 12分令 ，整理得 13分解得 ，舍去所以 線段上存在點適合題意，且 14分18（本小題滿分13分）解：（）的導(dǎo)函數(shù)為 2分 依題意，有 ， 4分解得 5分（）由及知，與同號令 ， 6分則 8分所以 對任意，有，故在單調(diào)遞增 9分因為 ，所以 ，故 存在，使得 11分與在區(qū)間上的情況如下：極小值所以 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增 所以 存在極小值 13分19（本小題滿分14分）解：（）由題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1分 所以 ，從而 因此 ， 故橢圓的離心率 3分 橢圓的左焦點的坐標(biāo)為 4分（）直線與圓相切證明如下： 5分設(shè)，其中，則， 6分依題意可設(shè)，則 7分直線的方程為 ， 整理為 9分所以圓的圓心到直線的距離 11分因為 13分所以 ，即 ，所以 直線與圓相切 14分20（本小題滿分13分）解：（）因為 ， 2分所以 3分（）由