高中數(shù)學必修二立體幾何知識點梳理

1、立體幾何初步1、柱、錐、臺、球的結構特征(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱 ABCDE a'b'c'd'e'或用對角線的端點字母，如五棱柱 AD幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體 分類：以底面多邊形的邊數(shù)

2、作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐 p a'b'c'd'e'幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等._. . 、. > .> ' ' ' ' '表不：用各頂點字母，如五棱臺 P A B C D E幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側面是梯形側棱交于原棱錐的頂點(4

3、)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側面展開圖是一個矩形。(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側面展開圖是一個扇形。(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側面母線交于原圓錐的頂點；側面展開圖是一個弓形。(7)球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑

4、。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下) 注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法斜二測畫法特點： 原來與x軸平行的線段仍然與 x平行且長度不變；原來與y軸平行的線段仍然與 y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。2(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長，h為高，

5、h為斜高，1為母線)S直棱柱側面積chS圓柱側2 rhS正棱錐側面積1ch 2S圓錐側面積rlS 正棱臺側面積129 C2)hS圓臺側面積(r R) 1S圓柱表2 r r 1S圓臺表r2 rl Rl R2(3)柱體、錐體、臺體的體積公式ViSh , V圓柱ShV臺 1(S' JS'S S)hr2h V錐:1Sh 3VWr2h丫圓臺1(S' S'S S)h 1 (r2 rR R2)h 339432(4)球體的表面積和體積公式:丫球=7 R ；容求面=4 R35、空間點、直線、平面的位置關系 平面的概念：A.描述性說明； B.平面是無限伸展的; 平面的表示：通常用希

6、臘字母a、3、丫表示，如平面a (通常寫在一個銳角內)；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BG點與平面的關系： 點A在平面 內，記作A ；點A不在平面 內，記作A點與直線的關系： 點A的直線l上，記作：AC l ；點A在直線l外，記作A l ；直線與平面的關系：直線l在平面a內，記作l a ；直線l不在平面a內，記作l a。(2)公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。(即直線在平面內，或者平面經過直線)應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內用符號語言表示公理 1 ：AC LBC LAC aBC a(Z a(3)公理2:經過不在同一條直線上的三點

7、，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)符號表不為：A、B、C三點不共線=> 有且只有一個平面a,使 AC a、BC a、CC a。(4)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面a和3相交，交線是 a,記作“0 3= a。符號語言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)

8、。(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行符號表示為：設a、b、c是三條直線a / b ,=> =>a II cc / b J強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。(6)空間直線與直線之間的位置關系異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線異面直線性質：既不平行，又不相交。異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O,分別引直線a' / a, b' b b,則把直線a'和b'所成的銳角(

9、或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0° ,90。,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：(1)判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理(2)在異面直線所成角定義中，空間一點。是任取的，而和點 O的位置無關。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角(7)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。(8)空間直線與平面之間的位置關系直線在平面內一

10、一有無數(shù)個公共點.直線不在平面內J相交一一只有一個公共點.(或直線在平面外)(平行一一沒有公共點.三種位置關系的符號表不' ：a a a A a = A a / a(9)平面與平面之間的位置關系：平行一一沒有公共點；a / 3相交有一條公共直線。a n 3 = b6、空間中的平行問題(1)直線與平面平行的判定及其性質線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行線面平行符號表示：a色a 1b 匚 3 => a II a a/ b -線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線

11、平行。線面平行線線平行符號表示：a II a、a C 3=>aII ba n 3 = b j作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。(2)平面與平面平行的判定及其性質兩個平面平行的判定定理(1)如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(線面平行一面面平行)，a U 3 一b匚3a n b = p =>3/aa / ab/ a(2)如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。(線線平行一面面平行)，(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理(1)如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。(面面平行一線面平行)(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。(面面平行一線線平行)符號表示：a / 3a A y = a =>a II b3 A y = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行7、空間中的垂直問題(1)線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形)是 直二面角(平面角是直角)，就說這兩個平面垂直。(2)垂直