圓冪定理課件講義(帶答案).doc

1、圓冪定理STEP 1: 進(jìn)門(mén)考理念： 1.檢測(cè)垂徑定理的基本知識(shí)點(diǎn)與題型。2.垂徑定理典型例題的回顧檢測(cè)。3. 分析學(xué)生圓部分的薄弱環(huán)節(jié)。（ 1）例題復(fù)習(xí)。1. （2015?夏津縣一模）一副量角器與一塊含 30銳角的三角板如圖所示放置，三角板的直角頂點(diǎn) C 落在量角器的直徑 MN 上，頂點(diǎn) A ， B 恰好都落在量角器的圓弧上，且AB MN 若 AB=8cm ，則量角器的直徑MN=cm【考點(diǎn)】 M3：垂徑定理的應(yīng)用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形【分析】 作 CD AB 于點(diǎn) D ，取圓心 O，連接 OA ，作 OE AB 于點(diǎn) E，首先求得 CD 的長(zhǎng)，即 OE 的長(zhǎng)，在直角AOE 中，

2、利用勾股定理求得半徑OA 的長(zhǎng)，則MN 即可求解【解答】 解：作 CDAB 于點(diǎn) D，取圓心O，連接 OA ，作 OE AB 于點(diǎn) E在直角 ABC 中， A=30，則 BC=AB=4cm ，在直角 BCD 中， B=90 A=60，CD=BC?sinB=4 =2（ cm）， OE=CD=2，在 AOE 中， AE=AB=4cm ，則 OA=2（ cm），則 MN=2OA=4（ cm） 故答案是： 4【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，在半徑或直徑、弦長(zhǎng)以及弦心距之間的計(jì)算中，常用的方法是轉(zhuǎn)化為解直角三角形1/272. （2017?阿壩州）如圖將半徑為 2cm 的圓形紙片折疊后， 圓弧恰好經(jīng)過(guò)

3、圓心 O，則折痕 AB 的長(zhǎng)為（）A 2cm BcmC2cm D2cm【考點(diǎn)】 M2：垂徑定理；PB：翻折變換（折疊問(wèn)題）【分析】 通過(guò)作輔助線， 過(guò)點(diǎn) O 作 OD AB 交 AB 于點(diǎn) D，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OA=2OD ，根據(jù)勾股定理可將AD 的長(zhǎng)求出，通過(guò)垂徑定理可求出AB 的長(zhǎng)【解答】 解：過(guò)點(diǎn) O 作 OD AB 交 AB 于點(diǎn) D，連接 OA ，OA=2OD=2cm ， AD=（ cm），OD AB ， AB=2AD=2cm 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵3. （2014?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， P 的圓心坐標(biāo)是（

4、3， a）（ a3），半徑為 3，函數(shù) y=x 的圖象被 P 截得的弦 AB 的長(zhǎng)為，則 a 的值是（）A4BCD【考點(diǎn)】 M2：垂徑定理；F8：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；KQ ：勾股定理【專題】 11 ：計(jì)算題； 16 ：壓軸題【分析】 PC x 軸于 C，交 AB 于 D，作 PE AB 于 E，連結(jié) PB，由于 OC=3 ， PC=a，易得 D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3，3），則 OCD 為等腰直角三角形，PED 也為等腰直角三角形由PE2/27AB ，根據(jù)垂徑定理得AE=BE=AB=2，在 Rt PBE 中，利用勾股定理可計(jì)算出PE=1 ，則 PD=PE=，所以 a=3+【解答】 解：作 PC

5、 x 軸于 C，交 AB 于 D，作 PE AB 于 E，連結(jié) PB，如圖， P 的圓心坐標(biāo)是（3， a）， OC=3 ，PC=a，把 x=3 代入 y=x 得 y=3， D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3， 3）， CD=3， OCD 為等腰直角三角形，PED 也為等腰直角三角形，PEAB ， AE=BE=AB= 4=2，在 Rt PBE 中， PB=3 ，PE=， PD=PE=， a=3+故選： B【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)4. （2013?內(nèi)江）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點(diǎn) O 為圓心的圓過(guò)點(diǎn) A（ 1

6、3，0），直線 y=kx 3k+4 與 O 交于 B、C 兩點(diǎn)，則弦 BC 的長(zhǎng)的最小值為【考點(diǎn)】 FI：一次函數(shù)綜合題【專題】 16 ：壓軸題【分析】 根據(jù)直線 y=kx 3k+4 必過(guò)點(diǎn) D（ 3， 4），求出最短的弦CB 是過(guò)點(diǎn) D 且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD 的長(zhǎng)，再根據(jù)以原點(diǎn)O 為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A （ 13， 0），求出OB 的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BD ，即可得出答案【解答】 解：直線y=kx 3k+4=k （ x 3） +4， k（ x 3） =y 4， k 有無(wú)數(shù)個(gè)值， x 3=0 ， y 4=0 ，解得 x=3 ，y=4 ，直線必過(guò)點(diǎn)D （3， 4），最短的弦CB 是過(guò)點(diǎn)

7、 D 且與該圓直徑垂直的弦，點(diǎn) D 的坐標(biāo)是（ 3， 4）， OD=5 ，3/27以原點(diǎn) O 為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（ 13， 0），圓的半徑為13，OB=13 ， BD=12 ， BC 的長(zhǎng)的最小值為24；故答案為： 24【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了一次函數(shù)的綜合， 用到的知識(shí)點(diǎn)是垂徑定理、 勾股定理、 圓的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是求出 BC 最短時(shí)的位置STEP 2: 新課講解1、熟練掌握?qǐng)A冪定理的基本概念。2、熟悉有關(guān)圓冪定理的相關(guān)題型，出題形式與解題思路。3、能夠用自己的話敘述圓冪定理的概念。4、通過(guò)課上例題，結(jié)合課下練習(xí)。掌握此部分的知識(shí)。一、相交弦定理相交弦定理（ 1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交

8、點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）幾何語(yǔ)言：若弦 AB 、CD 交于點(diǎn) P，則 PA?PB=PC?PD（相交弦定理）（ 2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)幾何語(yǔ)言：若 AB 是直徑， CD 垂直 AB 于點(diǎn) P，則 PC2=PA?PB（相交弦定理推論）基本題型：【例 1】 （2014 秋?江陰市期中）如圖，O 的弦 AB 、CD 相交于點(diǎn) P，若 AP=3，BP=4，CP=2，則 CD 長(zhǎng)為（）A6B12C8D不能確定4/27【考點(diǎn)】 M7：相交弦定理【專題】 11 ：計(jì)算題【分析】 由相交線定理可得出

9、 AP?BP=CP?DP，再根據(jù) AP=3 ，BP=4 ， CP=2，可得出 PD 的長(zhǎng)，從而得出 CD 即可【解答】 解： AP?BP=CP?DP，PD=， AP=3 ， BP=4 ， CP=2， PD=6 ，CD=PC +PD=2+6=8 故選 C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相交線定理，圓內(nèi)兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等【練習(xí) 1】（ 2015?南長(zhǎng)區(qū)一模）如圖，矩形 ABCD 為 O 的內(nèi)接四邊形， AB=2 ，BC=3，點(diǎn) E 為 BC 上一點(diǎn)，且 BE=1，延長(zhǎng) AE 交 O 于點(diǎn) F，則線段 AF的長(zhǎng)為（）AB5C+1D【考點(diǎn)】 M7：相交弦定理【分析】 由矩形的性質(zhì)和勾股定理求

10、出AE ，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF 的長(zhǎng)【解答】 解：四邊形ABCD 是矩形， B=90，AE=， BC=3 ， BE=1 ， CE=2 ，由相交弦定理得： AE?EF=BE?CE，EF=，AF=AE +EF=；故選： A【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、 相交弦定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和相交弦定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵綜合題型【例 2】 （2004?福州）如圖， AB 是 O 的直徑， M 是 O 上一點(diǎn)， MN AB ，垂足為 NP、Q 分別是 、 上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），如果 MNP=5/27MNQ ，下面結(jié)論： 1=2； P+ Q=180； Q=PMN

11、；PM=QM ；MN 2=PN?QN其中正確的是（）ABCD【考點(diǎn)】 M7：相交弦定理； M2 ：垂徑定理； M4 ：圓心角、弧、弦的關(guān)系； M5 ：圓周角定理； S9：相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】 16 ：壓軸題【分析】 根據(jù)圓周角定理及已知對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而得到答案【解答】 解：延長(zhǎng)MN 交圓于點(diǎn) W ，延長(zhǎng) QN 交圓于點(diǎn)E，延長(zhǎng) PN 交圓于點(diǎn) F，連接 PE，QF PNM= QNM ，MN AB ， 1= 2（故正確）， 2 與 ANE 是對(duì)頂角， 1= ANE ，AB 是直徑，可得 PN=EN ，同理 NQ=NF ，2點(diǎn) N 是 MW 的中點(diǎn)， MN?NW=MN=PN?NF

12、=EN?NQ=PN?QN （故正確）， PNM= QNM ， NPM NMQ ， Q= PMN （故正確）故選 B【點(diǎn)評(píng)】 本題利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理求解與代數(shù)結(jié)合的綜合題【例 3】 （2016?中山市模擬） 如圖，正方形 ABCD 內(nèi)接于 O，點(diǎn) P 在劣弧 AB上，連接 DP，交 AC 于點(diǎn) Q若 QP=QO，則的值為（）6/27ABCD【考點(diǎn)】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理【專題】 11 ：計(jì)算題【分析】 設(shè) O 的半徑為r，QO=m ，則 QP=m ，QC=r +m，QA=r m利用相交弦定理，求出 m 與 r 的關(guān)系，即用r 表示出 m，即可表示出所

13、求比值【解答】 解：如圖，設(shè) O 的半徑為 r，QO=m ，則 QP=m ， QC=r +m， QA=r m在 O 中，根據(jù)相交弦定理，得QA?QC=QP?QD即（ r m）（ r+m） =m?QD，所以 QD=連接 DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2+QO2，即，解得所以，故選 D【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相交弦定理，即 “圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等 ”熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵需要做輔助線的綜合題【例 4】 （2008 秋?蘇州期末）如圖， O 過(guò) M 點(diǎn)， M 交 O 于 A，延長(zhǎng) O的直徑 AB 交 M 于 C，若 AB=8 ，BC=1，則 AM

14、=7/27【考點(diǎn)】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理； M5 ：圓周角定理【分析】 根據(jù)相交弦定理可證AB?BC=EB?BF= （ EM +MB ）（ MF MB ） =AM22，MB =8又由直徑對(duì)的圓周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6 【解答】 解：作過(guò)點(diǎn) M 、 B 的直徑 EF，交圓于點(diǎn)E、F，則 EM=MA=MF ，22由相交弦定理知，AB?BC=EB?BF= （EM +MB ）（ MF MB ） =AM MB =8， AMB=90 ，由勾股定理得，AM 2+MB 2=AB 2=64 ， AM=6 【點(diǎn)評(píng)】 本題利用了相交弦定理，直徑對(duì)的圓周角是直角，勾股定理求解二、割線定理割

15、線定理割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等幾何語(yǔ)言： PBA ， PDC 是 O 的割線 PD?PC=PA?PB（割線定理）由上可知： PT2=PA?PB=PC?PD基本題型【例 5】 （1998?紹興）如圖，過(guò)點(diǎn)P 作 O 的兩條割線分別交 O 于點(diǎn) A 、 B和點(diǎn) C、 D，已知 PA=3，AB=PC=2 ，則 PD 的長(zhǎng)是（）8/27A3B7.5 C5D5.5【考點(diǎn)】 MH ：切割線定理【分析】 由已知可得PB 的長(zhǎng)，再根據(jù)割線定理得PA?PB=PC?PD即可求得PD 的長(zhǎng)【解答】 解： PA=3， AB=PC=2 ，PB=5 ，PA?PB=

16、PC?PD，PD=7.5 ，故選 B【點(diǎn)評(píng)】 主要是考查了割線定理的運(yùn)用【練習(xí) 2】（ 2003?天津）如圖， RtABC 中， C=90， AC=3，BC=4，以點(diǎn) C 為圓心、 CA 為半徑的圓與 AB 、BC 分別交于點(diǎn) D、 E求 AB 、AD 的長(zhǎng)【考點(diǎn)】 MH ：切割線定理；KQ ：勾股定理【分析】 Rt ABC 中，由勾股定理可直接求得AB 的長(zhǎng)；延長(zhǎng) BC 交 C 于點(diǎn) F，根據(jù)割線定理，得BE?BF=BD?BA ，由此可求出BD 的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得 AD 的長(zhǎng)【解答】 解：法 1：在 Rt ABC 中， AC=3 ， BC=4 ；根據(jù)勾股定理，得AB=5 延長(zhǎng) BC 交 C 于

17、點(diǎn) F，則有：EC=CF=AC=3 （ C 的半徑），BE=BC EC=1 ， BF=BC +CF=7 ；由割線定理得，BE?BF=BD?BA ，于是 BD=；所以 AD=AB BD=；法 2：過(guò) C 作 CM AB ，交 AB 于點(diǎn) M ，如圖所示，9/27由垂徑定理可得M 為 AD 的中點(diǎn)，S ABC =AC?BC=AB?CM ，且 AC=3 ， BC=4 ， AB=5 ，CM=，在 Rt ACM 中，根據(jù)勾股定理得： AC 2=AM 2+CM 2，即 9=AM 2+（） 2，解得： AM=，AD=2AM=【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理及割線定理的理解及運(yùn)用綜合題型【例 6】 （20

18、15?武漢校級(jí)模擬） 如圖，兩同心圓間的圓環(huán)的面積為16，過(guò)小圓上任意一點(diǎn) P 作大圓的弦 AB ，則 PA?PB的值是（）A 16B16C 4D4【考點(diǎn)】 MH ：切割線定理【分析】 過(guò) P 點(diǎn)作大圓的直徑CD，如圖，設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，根據(jù)相交弦定22222 r2理得到 PA?PB=（OC OP）?（ OP+OD） =R r ，再利用 R r得到 R=16，所=16以 PA?PB=16【解答】 解：過(guò) P 點(diǎn)作大圓的直徑CD，如圖，設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r， PA?PB=PC?PD， PA?PB=（OC OP） ?（ OP+OD ）10 /27=（R r）（ R+r）22=R

19、 r ，兩同心圓間的圓環(huán)（即圖中陰影部分）的面積為16，22R r=16 ，R2 r2=16 ， PA?PB=16故選 A【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧也考查了相交弦定理【思考】觀察講義課后練習(xí)最后一道題，是否有思路？三、切割線定理切割線定理切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等幾何語(yǔ)言： PBA ， PDC 是 O 的割線 PD?PC=PA?PB（割線定理）2由上可知： PT =PA?PB=PC?PD【例 7】 （2013?長(zhǎng)清區(qū)二模）如圖， PA 為 O 的切線， A 為切點(diǎn)， O 的割線 PBC

20、過(guò)點(diǎn) O 與 O 分別交于 B、C，PA=8cm，PB=4cm，求 O 的半徑【考點(diǎn)】 MH ：切割線定理【專題】 11 ：計(jì)算題【分析】 連接 OA ，設(shè) O 的半徑為rcm，由勾股定理，列式計(jì)算即可【解答】 解：連接 OA ，設(shè) O 的半徑為 rcm，（ 2 分）則 r2+82=（r+4） 2，（ 4 分）11/27PC2=PB?PA解得 r=6， O 的半徑為6cm（ 2 分）【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是切割線定理，勾股定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握【練習(xí) 3】（ 2013 秋 ?東臺(tái)市期中）如圖，點(diǎn)P 是 O 直徑 AB 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC 切 O 于點(diǎn) C，已知 OB=3，PB=2則 PC

21、等于（）A2B3C4D5【考點(diǎn)】 MH ：切割線定理【專題】 11 ：計(jì)算題2【分析】 根據(jù)題意可得出PC =PB?PA，再由 OB=3 ，PB=2 ，則 PA=8，代入可求出PC2【解答】 解： PC、 PB 分別為 O 的切線和割線，PC =PB?PA，2OB=3 ， PB=2 ， PA=8 ， PC =PB?PA=2 8=16， PC=4故選 C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切割線定理，熟記切割線定理的公式四、切線長(zhǎng)定理切割線定理（ 1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)（ 2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)

22、的連線，平分兩條切線的夾角（ 3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量（ 4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：垂直關(guān)系三處；全等關(guān)系三對(duì)；弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到12 /27【例 8】 （2015?秦皇島校級(jí)模擬）如圖，一圓內(nèi)切四邊形ABCD ，且 BC=10，AD=7 ，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A32B34C36D38【考點(diǎn)】 MG ：切線長(zhǎng)定理【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理， 可以證明圓外切四邊形的性質(zhì)： 圓外切四邊形的兩組對(duì)邊和相等，從而可求得四邊形的周長(zhǎng)【解答】 解：由題意可得圓外切四邊形的兩

23、組對(duì)邊和相等，所以四邊形的周長(zhǎng)=2（ 7+10） =34 故選： B【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了切線長(zhǎng)定理， 熟悉圓外切四邊形的性質(zhì)： 圓外切四邊形的兩組對(duì)邊和相等是解題關(guān)鍵【練習(xí) 4】（ 2015?岳池縣模擬）如圖， PA，PB 切 O 于 A ，B 兩點(diǎn)， CD 切 O 于點(diǎn) E 交 PA，PB 于 C，D，若 O 的半徑為 r， PCD 的周長(zhǎng)為 3r，連接OA， OP，則的值是（）ABCD【考點(diǎn)】 MG ：切線長(zhǎng)定理；MC ：切線的性質(zhì)【分析】 利用切線長(zhǎng)定理得出CA=CF ， DF=DB ， PA=PB ，進(jìn)而得出PA=r，求出即可【解答】 解： PA，PB 切 O 于 A，B 兩點(diǎn)，

24、CD 切 O 于點(diǎn) E 交 PA， PB 于 C，D， CA=CF ， DF=DB ， PA=PB ， PC+CF+DF +PD=PA=PB=2PA=3r ， PA= r，則的值是：=故選： D【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了切線長(zhǎng)定理，得出PA 的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵13 /27【例 9】 （2014 秋?夏津縣校級(jí)期末）如圖， P 為 O 外一點(diǎn)， PA，PB 分別切 O 于 A ， B，CD 切 O 于點(diǎn) E，分別交 PA，PB 于點(diǎn) C，D若 PA=5，則PCD 的周長(zhǎng)和 COD 分別為（）A 5，（90+ P）B7，90+C10，90 P D10， 90+ P【考點(diǎn)】 MG ：切線長(zhǎng)定理【分析】根據(jù)

25、切線長(zhǎng)定理， 即可得到PA=PB，ED=AD ，CE=BC ，從而求得三角形的周長(zhǎng)=2PA ；連接 OA 、OE、OB 根據(jù)切線性質(zhì)，P+ AOB=180 ，再根據(jù) CD 為切線可知COD=AOB 【解答】 解： PA、PB 切 O 于 A 、 B ，CD 切 O 于 E， PA=PB=10 ， ED=AD ， CE=BC ； PCD 的周長(zhǎng) =PD+DE +PC+CE=2PA，即 PCD 的周長(zhǎng) =2PA=10，；如圖，連接 OA 、 OE、 OB由切線性質(zhì)得，OA PA， OBPB ， OE CD， DB=DE ，AC=CE ，AO=OE=OB ，易證 AOC EOC（ SAS）， EOD

26、 BOD （ SAS）， AOC= EOC， EOD= BOD ， COD= AOB ， AOB=180 P， COD=90 P故選： C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的性質(zhì)， 運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證， 常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題型五、圓冪定理14 /27請(qǐng)嘗試解出下列例題：【例 10】 （ 2005?廣州）如圖，在直徑為 6 的半圓上有兩動(dòng)點(diǎn) M 、N，弦 AM 、BN 相交于點(diǎn) P，則 AP?AM+BP?BN 的值為【考點(diǎn)】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理； M5 ：圓周角定理【專題】 16 ：壓軸題； 25 ：動(dòng)點(diǎn)型【分析】 連接 A

27、N 、BM ，根據(jù)圓周角定理，由 AB 是直徑，可證 AMB=90 ，由勾股定理知， BP2=MP 2+BM 2，由相交弦定理知， AP?PM=BP?PN，原式 =AP（AP +PM ）+BP（BP+PN）=AP 2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2 +BP2+2AP?PM=AP 2+MP2+BM 2+2AP?PM=AP 2+ （ AP +PM ）2=AP 2+AM2=AB 2 =36【解答】 解：連接 AN 、 BM ，AB 是直徑， AMB=90 222BP =MP +BM AP?PM=BP?PN原式 =AP （ AP+PM ）+BP（ BP+PN）=AP 2 +AP?PM +BP2

28、+BP?PN=AP 2+BP2+2AP?PM=AP 2+MP 2+BM 2+2AP?PM=BM 2+（ AP+PM ） 2=BM 2+AM 2=AB 2=36 【點(diǎn)評(píng)】 本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解以上四條定理統(tǒng)稱為圓冪定理。（部分參考書(shū)以前三條為圓冪定理）圓冪定理 ：過(guò)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（P 與圓心 O 不重合）做 O 的（切）割線，交 O 與點(diǎn) A 、B，則恒有 PA PBOP 2r 2 。（“ OP 2r 2 ”被稱為點(diǎn) P 到O 的冪。）15 /27STEP 3: 落實(shí)鞏固 查漏補(bǔ)缺理念： 找到自己本節(jié)課的薄弱環(huán)節(jié)。STEP 4: 總結(jié)理念： 本結(jié)課復(fù)習(xí)了什么？學(xué)到了什么

29、？方法： 學(xué)生口述 +筆記記錄。STEP 5: 課后練習(xí)一選擇題（共5 小題）1如圖所示，已知 O 中，弦 AB ， CD 相交于點(diǎn) P，AP=6， BP=2，CP=4，則PD 的長(zhǎng)是（）A6B5C4D3【分析】 可運(yùn)用相交弦定理求解，圓內(nèi)的弦 AB ， CD 相交于 P，因此 AP?PB=CP?PD，代入已知數(shù)值計(jì)算即可【解答】 解：由相交弦定理得AP?PB=CP?PD， AP=6 ， BP=2 ， CP=4， PD=AP?PB CP=6 24=3 故選 D【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查的是相交弦定理 “圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等 ”2O的兩條弦 AB與 CD相交

30、于點(diǎn) P，PA=3cm，PB=4cm，PC=2cm，則 CD=（）16 /27A 12cmB6cm C8cm D 7cm【分析】 根據(jù)相交弦定理進(jìn)行計(jì)算【解答】 解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD，DP=6cm ，CD=PC+PD=2 +6=8cm 故選 C【點(diǎn)評(píng)】 本題主要是根據(jù)相交弦定理 “圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，各弦被這點(diǎn)所分得的兩線段的長(zhǎng)的乘積相等 ”進(jìn)行計(jì)算3如圖， O 中，弦 AB 與直徑 CD 相交于點(diǎn) P，且 PA=4， PB=6，PD=2，則 O 的半徑為（）A9B8C7D6【分析】 根據(jù)相交弦定理得出AP BP=CP DP，求出 CP，求出 CD 即可【解答】 解：

31、由相交弦定理得：AP BP=CP DP， PA=4 ，PB=6 ，PD=2 ， CP=12 ， DC=12 +2=14，CD 是 O 直徑， O 半徑是 7故選 C【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相交弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)定理得出AP BP=CP DP4如圖，A 是半徑為 1 的圓 O 外的一點(diǎn)， OA=2 ，AB 是 O 的切線， B 是切點(diǎn)，弦 BCOA ，連接 AC ，則陰影部分的面積等于（）ABCD【分析】 連接 OB ，OC，易證： BOC 是等邊三角形，且陰影部分的面積 = BOC 的面積，據(jù)此即可求解【解答】 解：連接 OB， OC，AB 是圓的切線，17 /27 ABO=90 ，在直角

32、 ABO 中， OB=1 ， OA=2 ， OAB=30 ， AOB=60 ，OA BC， COB= AOB=60 ，且 S 陰影部分 =SBOC ， BOC 是等邊三角形，邊長(zhǎng)是1，S 陰影部分 =SBOC= 1=故選 A【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了三角形面積的計(jì)算，以及切割線定理，正確證明BOC 是等邊三角形是解題的關(guān)鍵5如圖， PA，PB 分別是 O 的切線， A ，B 分別為切點(diǎn)，點(diǎn)E 是 O 上一點(diǎn)，且 AEB=60，則 P 為（）A 120B60C30D 45【分析】 連接 OA ，BO ，由圓周角定理知可知AOB=2 E=120，PA、PB 分別切 O 于點(diǎn)A 、 B ，利用切線的性

33、質(zhì)可知 OAP= OBP=90，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求得 P=180 AOB=60【解答】 解：連接 OA ， BO； AOB=2 E=120， OAP= OBP=90 ， P=180 AOB=60 故選 B【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理以及圓周角定理，利用了四邊形的內(nèi)角和為360 度求解18 /27二解答題（共3 小題）6如圖， P 為弦 AB 上一點(diǎn)， CPOP 交 O 于點(diǎn) C，AB=8 ，=，求 PC 的長(zhǎng)【分析】延長(zhǎng) CP 交 O 于 D 由垂徑定理可知CP=DP ，由 AB=8 ，=，得到 AP=AB=2 ，PB=AB=6 再根據(jù)相交弦定理得出PC?PD=AP?PB，代入

34、數(shù)值計(jì)算即可求解【解答】 解：如圖，延長(zhǎng)CP 交 O 于 DCPOP，CP=DP AB=8 ，=， AP= AB=2 ，PB= AB=6 AB 、 CD 是 O 的兩條相交弦，交點(diǎn)為P， PC?PD=AP?PB， PC2=2 6， PC=2 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦， 被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等 同時(shí)考查了垂徑定理，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵7如圖， AB ， BC， CD 分別與 O 相切于 E，F(xiàn)，G，且 AB CD， BO=6cm，CO=8cm求 BC 的長(zhǎng)19 /27【分析】 根據(jù)切線長(zhǎng)定理和平行線的性質(zhì)定理得到BOC 是直角三角形再根據(jù)勾股定理求出 BC

35、的長(zhǎng)【解答】 解： AB ，BC ， CD 分別與 O 相切于 E， F， G； CBO= ABC ， BCO=DCB ，AB CD， ABC + DCB=180 ， CBO + BCO= ABC +DCB=（ ABC + DCB ） =90cm【點(diǎn)評(píng)】 解答此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用切線長(zhǎng)定理和平行線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)Rt BOC，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算8如圖， PA 切 O 于點(diǎn) A，割線 PBC 交 O 于點(diǎn) B、C（ 1）求證： PA2=PB?PC；（ 2）割線 PDE 交 O 于點(diǎn) D、E，且 PB=BC=4，PE=6，求 DE 的長(zhǎng)【分析】（ 1）連接 AB 、AC 、BO、AO ，可證得 PA

36、B PCA，則，即 PA2 =PB?PC22（2）由 PA =PB?PC，同理得， PA =PD?PE，可證得 PD?PE=PB?PC，根據(jù)題意可求得 PD，即得出 DE 的長(zhǎng)【解答】 解：（ 1）連接 AB 、 AC 、BO 、 AO ，PA 切O 于點(diǎn) A，PA AO ，即 PAB+ BAO=90 ，（ 1 分）又 2 BAO +O=180， PAB= O， C=O， PAB= C，20 /27 PAB PCA，（ 4 分），即 PA2=PB?PC（ 5 分）（ 2） PA2=PB?PC，同理， PA2=PD?PE，PD?PE=PB?PC，（ 7 分）且 PB=BC=4 ， PE=6，（9

37、分）即 DE=PE PD=6 = （10分）【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握9.（2014?長(zhǎng)沙校級(jí)自主招生） 以半圓中的一條弦BC（非直徑）為對(duì)稱軸將弧 BC折疊后與直徑 AB 交于點(diǎn) D，若，且 AB=10 ，則 CB 的長(zhǎng)為（）ABCD4【考點(diǎn)】 MH ：切割線定理；KQ ：勾股定理； PB ：翻折變換（折疊問(wèn)題）【專題】 31 ：數(shù)形結(jié)合【分析】 作 AB 關(guān)于直線 CB 的對(duì)稱線段 AB，交半圓于 D，連接 AC 、CA，構(gòu)造全等三角形，然后利用勾股定理、割線定理解答【解答】 解：如圖，若，且 AB=10 ， AD=4 ，BD=6 ，作

38、AB 關(guān)于直線 BC 的對(duì)稱線段 AB，交半圓于 D，連接 AC 、CA，可得 A 、C、A三點(diǎn)共線，線段 AB與線段 AB 關(guān)于直線 BC 對(duì)稱， AB=AB，AC=AC，AD=AD=4， AB=AB=10而 AC?AA=AD?A，B即AC?2AC=4 10=402則 AC，=202222， CB=4又 AC CB， 20=100 CB=AB故選 A21 /27【點(diǎn)評(píng)】 此題將翻折變換、勾股定理、割線定理相結(jié)合，考查了同學(xué)們的綜合應(yīng)用能力，要善于觀察圖形特點(diǎn)，然后做出解答22 /27贈(zèng)送以下學(xué)習(xí)資料和倍差倍問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)和倍、差倍問(wèn)題的學(xué)習(xí)，除了掌握這類問(wèn)題的解決方法以外，其重點(diǎn)要學(xué)習(xí)畫(huà)線

39、段圖。二、基礎(chǔ)知識(shí)1. 和倍問(wèn)題是已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系而求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題?；镜臄?shù)量關(guān)系： 和 ( 倍數(shù) +1)=較小數(shù) ( 即 1 倍數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù) )2. 差倍問(wèn)題是已知兩個(gè)數(shù)的差及它們之間的倍數(shù)關(guān)系而求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題?；竟剑?差 ( 倍數(shù)的差 ) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù) ( 一倍數(shù) )例題解析一、和倍問(wèn)題例 1：某班為“希望工程”捐款，兩組少先隊(duì)員共交廢報(bào)紙 240 千克，第一組交的廢報(bào)紙是第二組的 3 倍，問(wèn)兩組各交廢報(bào)紙多少千克？23 /27小結(jié)：解答基本的和倍問(wèn)題，先確定其中一個(gè)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù) (1 倍數(shù) ) ，再找出兩數(shù)的和，及其相對(duì)應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系， 這樣就可以求出

40、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)， 也就可求出另一個(gè)數(shù)(較大數(shù))?；镜臄?shù)量關(guān)系： 和 ( 倍數(shù) +1)=較小數(shù) ( 即 1 倍數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù) )練一練： NBA球星姚明到底有多高？現(xiàn)在已知小明和姚明的身高和是 339 厘米，姚明的身高大約是小明身高的 2 倍。你能夠算出來(lái)嗎？例 2：哥哥原有 108 元，弟弟有 60 元，如果現(xiàn)在想把哥哥的錢(qián)調(diào)整到弟弟的 5 倍，弟弟應(yīng)給哥哥多少錢(qián)？練一練：妹妹有課外書(shū) 20 本，姐姐有課外書(shū) 25 本，姐姐給妹妹多少本后，妹妹課外書(shū)是姐姐的 2 倍？例 3：二個(gè)同學(xué)共做了 23 道題。如果乙同學(xué)再多做 1 題，將是甲同學(xué)做的 2 倍，二個(gè)同學(xué)各做了幾題？例 4：熊貓水果店運(yùn)來(lái)水果 380 千克，其中蘋(píng)果比梨的 3 倍還少 40 千克，水果店運(yùn)來(lái)蘋(píng)果和梨各多少千克 ?練一練： 果