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1、第2章 第2節(jié)一、選擇題1(2010·重慶文)函數(shù)y的值域是()A0,) B0,4C0,4) D(0,4)答案C解析本題考查函數(shù)的值域的求法以及換元的方法令u164x,則y,u0,因?yàn)?x>0,4x<0,所以0164x<16y0,4),故選C.2(2009·福建理)下列函數(shù)f(x)中,滿足“對(duì)任意x1,x2(0,),當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)答案A解析本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)由題意得函數(shù)f(x)是減函數(shù),在四個(gè)選項(xiàng)中,只有A符合,故選A.3
2、函數(shù)f(x)log0.5(x1)log0.5(x3)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(3,) B(1,)C(,1) D(,1)答案A解析由已知易得即x>3,又0<0.5<1,f(x)在(3,)上單調(diào)遞減4函數(shù)f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函數(shù),若x1(a,b),x2(c,d),且x1<x2,那么()Af(x1)<f(x2) Bf(x1)>f(x2)Cf(x1)f(x2) D無法確定答案D解析由于(a,b)和(c,d)不一定是連續(xù)的區(qū)間,所以不能根據(jù)單調(diào)性來判斷f(x1),f(x2)的大小關(guān)系5函數(shù)f(x)的最大值為()A. B.C. D1答案B解析x0,當(dāng)x0
3、時(shí),y0不是函數(shù)的最大值當(dāng)x>0時(shí),f(x),而2,當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立,f(x).6(2010·天津文)設(shè)函數(shù)g(x)x22(xR),f(x),則f(x)的值域是()A.(1,) B0,)C. D.(2,)答案D解析本題考查了分段函數(shù)值域的求解由題意可知f(x)1°當(dāng)x<1或x>2時(shí),f(x)x2x22由函數(shù)的圖可得f(x)(2,)2°當(dāng)1x2時(shí),f(x)x2x22,故當(dāng)x時(shí),f(x)minf,當(dāng)x1時(shí),f(x)maxf(1)0,f(x).綜上所述,該分段函數(shù)的值域?yàn)?2,)7定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x1對(duì)稱,且當(dāng)x1時(shí),f(x)3
4、x1,則有()Af<f<f Bf<f<fCf<f<f Df<f<f答案B解析f(x)的圖像關(guān)于x1對(duì)稱,ff,ff.又x1時(shí),f(x)3x1為增函數(shù),且<<,f<f<f,即f<f<f.8若函數(shù)ylog2(x2ax3a)在2,)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(,4B(4,4C(,4)2,) D(4,2)答案B解析本題考查含參數(shù)的函數(shù)的討論及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用由題知:ylog2x為單調(diào)增函數(shù),ylog2(x2ax3a)的單調(diào)增區(qū)間為yx2ax3a的增區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間,由yx2ax3ay2xa,又在2,)是單調(diào)增函
5、數(shù),即在x2,),2xa0恒成立,即只需2×2a0即可a4,又yx2ax3a在x2,)上恒大于0,則222a3a0a4,綜上可得:4a<4,當(dāng)a4時(shí)同樣成立故選B.點(diǎn)評(píng)本題還可以根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸討論求解欲滿足題中條件,只需2,且22a×23a0a4且a4即4a4.二、填空題9(2011·蘇州模擬)函數(shù)y的值域是_答案1,)解析由y,得cosx,且cosx.1cosx1,11,且,解得y或y1,原函數(shù)的值域?yàn)?,)10函數(shù)f(x)log(32xx2)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案1,1)解析令t32xx2,由t>0得,函數(shù)的定義域?yàn)?3,1)又t32xx2在
6、1,1)上為減函數(shù),ylogt在其定義域上為減函數(shù),f(x)log(32xx2)的遞增區(qū)間為1,1)11(2011·南通檢測(cè))已知函數(shù)f(x)sinx5x,x(1,1)如果f(1a)f(1a2)<0,則a的取值范圍是_答案1<a<解析f(x)為奇函數(shù),且在(1,1)上是增函數(shù)f(1a)f(1a2)<0,即f(1a)<f(a21)解之得1<a<.三、解答題12已知函數(shù)f(x),x1,)(1)當(dāng)a4時(shí),求f(x)的最小值;(2)當(dāng)a時(shí),求f(x)的最小值;(3)若a為正常數(shù),求f(x)的最小值分析在解決該類型函數(shù)的最值時(shí),首先考慮到應(yīng)用均值不等式
7、求解,但須逐一驗(yàn)證應(yīng)用均值不等式所具備的條件,若條件不具備,應(yīng)從函數(shù)單調(diào)性的角度考慮解析(1)當(dāng)a4時(shí),f(x)x2,易知,f(x)在1,2上是減函數(shù),在2,)上是增函數(shù)f(x)minf(2)6.(2)當(dāng)a時(shí),f(x)x2,易知,f(x)在1,)上為增函數(shù),f(x)minf(1).(3)函數(shù)f(x)x2在(0,上是減函數(shù),在,)上是增函數(shù)若>1,即a>1時(shí),f(x)在區(qū)間1, )上先減后增,f(x)minf()22;若1,即0<a1時(shí),f(x)在區(qū)間 1,)上是增函數(shù)f(x)minf(1)a3.綜上所述,f(x)min.13已知函數(shù)f(x)(a>0,x>0)(1)
8、求證:f(x)在(0,)上是單調(diào)遞增函數(shù);(2)若f(x)在,2上的值域是,2,求a的值解析(1)證明:設(shè)x2>x1>0,則x2x1>0,x1x2>0.f(x2)f(x1)()()>0f(x2)>f(x1),f(x)在(0,)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)解:f(x)在,2上的值域是,2,又f(x)在,2上單調(diào)遞增,f(),f(2)2. ,a. 14若f(x)是定義在(0,)上的增函數(shù),且對(duì)于x>0滿足f f(x)f(y)(1)求f(1)的值;(2)若f(6)1,試求解不等式f(x3)f<2.解析(1)令xy>0,則f(1)f(x)f(x)0.(2
9、)f(6)1,由f(x3)f <2,得f(x3)f <2f(6)f x(x3)<f(6)f(6),f x(x3)f(6)<f(6),f <f(6),又f(x)是定義在(0,)上的增函數(shù),且>0,<6,解得0<x<. 15函數(shù)f(x)log9(x8)在(1,)上是增函數(shù),求a的取值范圍分析由f(x)在(1,)上是增函數(shù)可以得兩個(gè)信息:第一,對(duì)任意的1<x1<x2,總有f(x1)<f(x2);第二,當(dāng)x>1時(shí),x8>0恒成立解析(1)設(shè)任意x1,x2(1,),且x1<x2,則f(x1)<f(x2)即log9(x18)<log9(x28),得x18<x28,即:(x1x2)(1
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