周炳坤激光原理課后習(xí)題答案（可編輯）

1、周炳坤激光原理課后習(xí)題答案 ?激光原理?習(xí)題解答第一章習(xí)題解答 1 為了使氦氖激光器的相干長度到達(dá)1KM,它的單色性應(yīng)為多少? 解答:設(shè)相干時(shí)間為,那么相干長度為光速與相干時(shí)間的乘積,即 根據(jù)相干時(shí)間和譜線寬度的關(guān)系 又因?yàn)?, 由以上各關(guān)系及數(shù)據(jù)可以得到如下形式: 單色性 解答完畢。 2 如果激光器和微波激射器分別在10m、500nm和輸出1瓦連續(xù)功率,問每秒鐘從激光上能級(jí)向下能級(jí)躍遷的粒子數(shù)是多少。 解答:功率是單位時(shí)間內(nèi)輸出的能量,因此,我們?cè)O(shè)在dt時(shí)間內(nèi)輸出的能量為dE,那么 功率dE/dt 激光或微波激射器輸出的能量就是電磁波與普朗克常數(shù)的乘積,即 d,其中n為dt時(shí)間內(nèi)輸出的光子數(shù)

2、目,這些光子數(shù)就等于腔內(nèi)處在高能級(jí)的激發(fā)粒子在dt時(shí)間輻射躍遷到低能級(jí)的數(shù)目(能級(jí)間的頻率為)。 由以上分析可以得到如下的形式: 每秒鐘發(fā)射的光子數(shù)目為:Nn/dt,帶入上式,得到: 根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)可知: 把三個(gè)數(shù)據(jù)帶入,得到如下結(jié)果:, 3 設(shè)一對(duì)激光能級(jí)為E1和E2(f1f2),相應(yīng)的頻率為(波長為),能級(jí)上的粒子數(shù)密度分別為n2和n1,求 a當(dāng)3000兆赫茲,T300K的時(shí)候,n2/n1? b當(dāng)1m,T300K的時(shí)候,n2/n1? c當(dāng)1m,n2/n10.1時(shí),溫度T? 解答:在熱平衡下,能級(jí)的粒子數(shù)按波爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布,即: (統(tǒng)計(jì)權(quán)重) 其中為波爾茲曼常數(shù),T為熱力學(xué)溫度。 a b

3、 c 4 在紅寶石調(diào)Q激光器中,有可能將幾乎全部離子激發(fā)到激光上能級(jí)并產(chǎn)生激光巨脈沖。設(shè)紅寶石棒直徑為1cm,長度為7.5cm,離子濃度為,巨脈沖寬度為10ns,求激光的最大能量輸出和脈沖功率。 解答:紅寶石調(diào)Q激光器在反轉(zhuǎn)能級(jí)間可產(chǎn)生兩個(gè)頻率的受激躍遷,這兩個(gè)躍遷幾率分別是47%和53%,其中幾率占53%的躍遷在競(jìng)爭(zhēng)中可以形成694.3nm的激光,因此,我們可以把激發(fā)到高能級(jí)上的粒子數(shù)看成是整個(gè)激發(fā)到高能級(jí)的粒子數(shù)的一半(事實(shí)上紅寶石激光器只有一半的激發(fā)粒子對(duì)激光有奉獻(xiàn))。 設(shè)紅寶石棒長為L,直徑為d,體積為V,總數(shù)為N,粒子的濃度為n,巨脈沖的時(shí)間寬度為,那么離子總數(shù)為: 根據(jù)前面分析局部

4、,只有N/2個(gè)粒子能發(fā)射激光,因此,整個(gè)發(fā)出的脈沖能量為: 脈沖功率是單位時(shí)間內(nèi)輸出的能量,即 解答完畢。 5 試證明,由于自發(fā)輻射,原子在能級(jí)的平均壽命為。 證明如下:根據(jù)自發(fā)輻射的定義可以知道,高能級(jí)上單位時(shí)間粒子數(shù)減少的量,等于低能級(jí)在單位時(shí)間內(nèi)粒子數(shù)的增加。即: - (其中等式左邊表示單位時(shí)間內(nèi)高能級(jí)上粒子數(shù)的變化,高能級(jí)粒子數(shù)隨時(shí)間減少。右邊的表示低能級(jí)上單位時(shí)間內(nèi)接納的從高能級(jí)上自發(fā)輻射下來的粒子數(shù)。) 再根據(jù)自發(fā)輻射躍遷幾率公式: ,把代入式, 得到: 對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分,得到: (其中隨時(shí)間變化,為開始時(shí)候的高能級(jí)具有的粒子數(shù)。) 按照能級(jí)壽命的定義,當(dāng)時(shí),定義能量減少到這個(gè)程度的

5、時(shí)間為能級(jí)壽命,用字母表示。 因此,即: 證明完畢 6 某一分子的能級(jí)E4到三個(gè)較低能級(jí)E1 E2 和E3的自發(fā)躍遷幾率分別為A435*107s-1, A421*107s-1, A413*107s-1,試求該分子E4能級(jí)的自發(fā)輻射壽命4。假設(shè)15*10-7s,26*10-9s,31*10-8s,在對(duì)E4連續(xù)激發(fā)且到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí),試求相應(yīng)能級(jí)上的粒子數(shù)比值n1/n4, n2/n4和n3/n4,并說明這時(shí)候在哪兩個(gè)能級(jí)間實(shí)現(xiàn)了集居數(shù) 解: 1由題意可知E4上的粒子向低能級(jí)自發(fā)躍遷幾率A4為: -1 那么該分子E4能級(jí)的自發(fā)輻射壽命: 結(jié)論:如果能級(jí)u發(fā)生躍遷的下能級(jí)不止1條,能級(jí)u向其中第i條自發(fā)躍遷

6、的幾率為Aui 那么能級(jí)u的自發(fā)輻射壽命為: 2對(duì)E4連續(xù)激發(fā)并到達(dá)穩(wěn)態(tài),那么有: , (上述三個(gè)等式的物理意義是:在只考慮高能級(jí)自發(fā)輻射和E1能級(jí)只與E4能級(jí)間有受激吸收過程,見圖) 宏觀上表現(xiàn)為各能級(jí)的粒子數(shù)沒有變化 由題意可得: ,那么 同理:, 進(jìn)一步可求得: , 由以上可知:在 E2和E4;E3和E4;E2和E3能級(jí)間發(fā)生了粒子數(shù)反轉(zhuǎn). 7 證明,當(dāng)每個(gè)模式內(nèi)的平均光子數(shù)(光子簡(jiǎn)并度)大于1時(shí),輻射光中受激輻射占優(yōu)勢(shì)。 證明如下:按照普朗克黑體輻射公式,在熱平衡條件下,能量平均分配到每一個(gè)可以存在的模上,即(為頻率為的模式內(nèi)的平均光子數(shù)) 由上式可以得到: 又根據(jù)黑體輻射公式: 根據(jù)

7、愛因斯坦輻射系數(shù)之間的關(guān)系式和受激輻射躍遷幾率公式,那么可以推導(dǎo)出以下公式: 如果模內(nèi)的平均光子數(shù)()大于1,即 ,那么受激輻射躍遷幾率大于自發(fā)輻射躍遷幾率,即輻射光中受激輻射占優(yōu)勢(shì)。證明完畢 8 一質(zhì)地均勻的材料對(duì)光的吸收系數(shù)為,光通過10cm長的該材料后,出射光強(qiáng)為入射光強(qiáng)的百分之幾? 如果一束光通過長度為1M地均勻鼓勵(lì)的工作物質(zhì),如果出射光強(qiáng)是入射光強(qiáng)的兩倍,試求該物質(zhì)的增益系數(shù)。 解答:設(shè)進(jìn)入材料前的光強(qiáng)為,經(jīng)過距離后的光強(qiáng)為,根據(jù)損耗系數(shù)的定義,可以得到: 那么出射光強(qiáng)與入射光強(qiáng)的百分比為: 根據(jù)小信號(hào)增益系數(shù)的概念:,在小信號(hào)增益的情況下, 上式可通過積分得到 解答完畢。?激光原理

8、?習(xí)題解答第二章習(xí)題解答1 試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔,即任意傍軸光線在其中可以往返無限次,而且兩次往返即自行閉合.證明如下:(共焦腔的定義?兩個(gè)反射鏡的焦點(diǎn)重合的共軸球面腔為共焦腔。共焦腔分為實(shí)共焦腔和虛共焦腔。公共焦點(diǎn)在腔內(nèi)的共 焦腔是實(shí)共焦腔,反之是虛共焦腔。兩個(gè)反射鏡曲率相等的共焦腔稱為對(duì)稱共焦腔,可以證明,對(duì)稱共焦腔是實(shí)雙凹腔。)根據(jù)以上一系列定義,我們?nèi)【邔?duì)稱共焦腔為例來證明。設(shè)兩個(gè)凹鏡的曲率半徑分別是和,腔長為,根據(jù)對(duì)稱共焦腔特點(diǎn)可知:因此,一次往返轉(zhuǎn)換矩陣為把條件帶入到轉(zhuǎn)換矩陣T,得到:共軸球面腔的穩(wěn)定判別式子如果或者,那么諧振腔是臨界腔,是否是穩(wěn)定腔要根據(jù)情況來定。此題

9、中 ,因此可以斷定是介穩(wěn)腔(臨界腔),下面證明對(duì)稱共焦腔在近軸光線條件下屬于穩(wěn)定腔。經(jīng)過兩個(gè)往返的轉(zhuǎn)換矩陣式,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為:其中等式左邊的坐標(biāo)和角度為經(jīng)過兩次往返后的坐標(biāo),通過上邊的式子可以看出,光線經(jīng)過兩次往返后回到光線的出發(fā)點(diǎn),即形成了封閉,因此得到近軸光線經(jīng)過兩次往返形成閉合,對(duì)稱共焦腔是穩(wěn)定腔。2 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔的穩(wěn)定條件。解答如下:共軸球面腔的,如果滿足,那么腔是穩(wěn)定腔,反之為非穩(wěn)腔,兩者之間存在臨界腔,臨界腔是否是穩(wěn)定腔,要具體分析。下面我們就根據(jù)以上的內(nèi)容來分別求穩(wěn)定條件。對(duì)于平凹共軸球面腔, 所以,如果,那么是穩(wěn)定腔。因?yàn)楹途笥诹?所以不等式的后半局部一定成

10、立,因此,只要滿足,就能滿足穩(wěn)定腔的條件,因此,就是平凹腔的穩(wěn)定條件。類似的分析可以知道,凸凹腔的穩(wěn)定條件是:,且。雙凹腔的穩(wěn)定條件是:, (第一種情況),且(第二種情況) (對(duì)稱雙凹腔)求解完畢。3 激光腔的諧振腔由一曲率半徑為1M的凸和曲率半徑為2M的凹面鏡構(gòu)成,工作物質(zhì)長度為0.5M,其折射率為1.52,求腔長在什么范圍內(nèi)諧振腔是穩(wěn)定的。解答如下:設(shè)腔長為,腔的光學(xué)長度為,根據(jù),代入的凸凹鏡的曲率半徑,得到:因?yàn)楹泄ぷ魑镔|(zhì),已經(jīng)不是無源腔,因此,這里L(fēng)應(yīng)該是光程的大小(或者說是利用光線在均勻介質(zhì)里傳播矩陣)。即,代入上式,得到:要到達(dá)穩(wěn)定腔的條件,必須是,按照這個(gè)條件,得到腔的幾何長度

11、為:,單位是米。解答完畢。5 有一方形孔徑共焦腔氦氖激光器,腔長L30CM,方形孔徑邊長為d2a0.12CM,632.8nm,鏡的反射率為r11,r20.96,其他損耗以每程0.003估計(jì)。此激光器能否做單模運(yùn)轉(zhuǎn)?如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔光闌來選擇TEM00模,小孔的邊長應(yīng)為多大?試根據(jù)圖2.5.5作一大概的估計(jì)。氦氖激光器增益由公式估算,其中的l是放電管長度。分析:如果其他損耗包括了衍射損耗,那么只考慮反射損耗及其他損耗的和是否小于激光器的增益系數(shù),增益大于損耗,那么可產(chǎn)生激光振蕩。如果其他損耗不包括衍射損耗,并且菲涅爾數(shù)小于一,那么還要考慮衍射損耗,衍射損耗的大小可以根據(jù)書中的公

12、式0010.9*10-4.94N來確定,其中的N是菲涅爾數(shù)。解答:根據(jù),可以知道單程增益g0Lln1+0.0003L/d0.0723由于反射不完全引起的損耗可以用公式2.1.24或者2.1.25來衡量根據(jù)2.1.24得到:r-0.5lnr1r20.0204根據(jù)題意,總的損耗為反射損+其他損耗,因此單程總損耗系數(shù)為0.0204+0.0003g0L如果考慮到衍射損耗,那么還要根據(jù)菲涅爾數(shù)來確定衍射損系數(shù):此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅爾數(shù)為:Na2/L7.6,菲涅爾數(shù)大于一很多倍,因此可以不考慮衍射損耗的影響。 通過以上分析可以斷定,此諧振腔可以產(chǎn)生激光振蕩。又根據(jù)氦氖激光器的多普勒展寬到達(dá)1.6G

13、HZ,而縱模及橫模間隔根據(jù)計(jì)算可知很小,在一個(gè)大的展寬范圍內(nèi)可以后很多具有不同模式的光波振蕩,因此不采取技術(shù)措施不可能得到基模振蕩。 為了得到基模振蕩,可以在腔內(nèi)參加光闌,到達(dá)基模振蕩的作用。在腔鏡上,基模光斑半徑為: 因此,可以在鏡面上放置邊長為20s的光闌。 解答完畢。6 試求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置,這些節(jié)線是等距分布嗎?解答如下:方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程式為經(jīng)過博伊德?戈登變換,在通過厄密-高斯近似,可以用厄密-高斯函數(shù)表示鏡面上場(chǎng)的函數(shù)使就可以求出節(jié)線的位置。由上式得到:,這些節(jié)線是等距的。解答完畢。7 求圓形鏡共焦腔和模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。解答如下:圓形鏡共焦腔

14、場(chǎng)函數(shù)在拉蓋爾?高斯近似下,可以寫成如下的形式 (這個(gè)場(chǎng)對(duì)應(yīng)于,兩個(gè)三角函數(shù)因子可以任意選擇,但是當(dāng)m為零時(shí),只能選余弦,否那么整個(gè)式子將為零)對(duì)于: 并且,代入上式,得到 ,我們?nèi)∮嘞翼?xiàng),根據(jù)題中所要求的結(jié)果,我們?nèi)?就能求出鏡面上節(jié)線的位置。既 對(duì)于,可以做類似的分析。 ,代入上式并使光波場(chǎng)為零,得到 顯然,只要即滿足上式 最后鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為: 解答完畢。8 今有一球面腔,兩個(gè)曲率半徑分別是R11.5M,R2-1M,L80CM,試證明該腔是穩(wěn)定腔,求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù),在圖中畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。解:共軸球面腔穩(wěn)定判別的公式是,這個(gè)公式具有普適性(教材36頁中間文字局部)

15、,對(duì)于簡(jiǎn)單共軸球面腔,可以利用上邊式子的變換形式判斷穩(wěn)定性,其中。 題中, ,在穩(wěn)定腔的判別范圍內(nèi),所以是穩(wěn)定腔。 任意一個(gè)共焦腔與無窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià),一個(gè)一般穩(wěn)定球面腔唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)共焦腔,他們的行波場(chǎng)是相同的。 等價(jià)共焦腔的參數(shù)包括:以等價(jià)共焦腔的腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn),從坐標(biāo)原點(diǎn)到一般穩(wěn)定球面兩個(gè)腔鏡面的坐標(biāo)和,再加上它的共焦腔的鏡面焦距,這三個(gè)參數(shù)就能完全確定等價(jià)共焦腔。 根據(jù)公式(激光原理p66-2.8.4)得到: 因此 等價(jià)共焦腔示意圖略。 9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔,L50CM,R2M,2a1CM,波長10.6m,試計(jì)算鏡面上的光斑半徑、束腰半徑及兩個(gè)鏡面上的損耗。 解:此二氧

16、化碳激光器是穩(wěn)定腔,其中平面鏡的曲率半徑可以看作是無窮大。 根據(jù)公式(激光原理p67-2.8.6或2.8.7)得到: 其中第一個(gè)腰斑半徑對(duì)應(yīng)平面鏡。上式中是這個(gè)平凹腔的等價(jià)共焦腔鏡面上的腰斑半徑,并且根據(jù)一般穩(wěn)定球面腔與等價(jià)共焦腔的性質(zhì),他們具有同一個(gè)束腰。 根據(jù)共焦腔束腰光斑半徑與鏡面上光斑半徑的關(guān)系可知: 作為穩(wěn)定腔,損耗主要是衍射損,衍射損耗與鏡面上的菲涅爾數(shù)有關(guān),在損耗不大的情況下,是倒數(shù)關(guān)系。 即: 根據(jù)公式(激光原理p69-2.8.18或2.8.19)分別求出兩個(gè)鏡面的菲涅爾數(shù) 根據(jù)衍射損耗定義,可以分別求出: , 10 證明在所有菲涅爾數(shù)相同而曲率半徑R不同的對(duì)稱穩(wěn)定球面腔中,共

17、焦腔的衍射損耗最低。這里L(fēng)表示腔長,a是鏡面的半徑。 證明: 在對(duì)稱共焦腔中, 11 今有一平面鏡和一個(gè)曲率半徑為R1M的凹面鏡,問:應(yīng)該如何構(gòu)成一個(gè)平?凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角,畫出光束發(fā)散角與腔長的關(guān)系。 解答: 我們知道,遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角不僅和模式(頻率)有關(guān),還和腔的結(jié)構(gòu)有關(guān)。根據(jù)公式2.6.14得到:,如果平面鏡和凹面鏡構(gòu)成的諧振腔所對(duì)應(yīng)的等價(jià)共焦腔焦距最大,那么可以獲得最小的基模光束發(fā)散角。 代入發(fā)散角公式,就得到最小發(fā)散角為: 發(fā)散角與腔長的關(guān)系式: 13 某二氧化碳激光器材永平凹腔,凹面鏡的R2M,腔長L1M,試給出它所產(chǎn)生的高斯光束的束腰腰斑半徑的大小和位置,該高斯光束的

18、焦參數(shù)和基模發(fā)散角。 解答: 14 某高斯光束束腰光斑半徑為1.14MM,波長10.6M。求與束腰相距30厘米、100厘米、1000米遠(yuǎn)處的光斑半徑及相應(yīng)的曲率半徑。 解答:根據(jù)公式(激光原理p71-2.9.4, 2.9.6) 把不同距離的數(shù)據(jù)代入,得到: , 曲率半徑 與不同距離對(duì)應(yīng)的曲率半徑為: , 15 假設(shè)某高斯光束的束腰半徑為0.3毫米,波長為632.8納米。求束腰處的q參數(shù)值,與束腰距離30厘米處的q參數(shù)值,與束腰相距無限遠(yuǎn)處的q值。 解答: 束腰處的q參數(shù)值實(shí)際上就是書中的公交參量(激光原理p73-2.9.12): 根據(jù)公式(激光原理p75-2.10.8) ,可以得到30厘米和無

19、窮遠(yuǎn)處的q參數(shù)值分別為 無窮遠(yuǎn)處的參數(shù)值為無窮大。 16 某高斯光束束腰半徑為1.2毫米,波長為10.6微米?，F(xiàn)在用焦距F2cm的鍺透鏡聚焦,當(dāng)束腰與透鏡距離分別為10米,1米,10厘米和0時(shí),求焦斑大小和位置,并分析結(jié)果。 解答: 根據(jù)公式(激光原理p78-2.10.17和2.10.18) 當(dāng)束腰與透鏡距離10米時(shí) 同理可得到: 解答完畢 17 二氧化碳激光器輸出波長為10.6微米的激光,束腰半徑為3毫米,用一個(gè)焦距為2厘米的凸透鏡聚焦,求欲得到焦斑半徑為20微米及2.5微米時(shí),透鏡應(yīng)該放在什么位置。 解答:根據(jù)公式(激光原理p78-2.10.18) 上式中束腰到透鏡的距離l就是我們要求的參

20、數(shù),其他各個(gè)參數(shù)都為,代入題中給出的數(shù)據(jù),并對(duì)上式進(jìn)行變換,得到 當(dāng)焦斑等于20微米時(shí),(透鏡距束腰的距離) 當(dāng)焦斑等于2.5微米時(shí), 此提要驗(yàn)證 18 如圖2.2所示,入射光波廠為10.6微米,求及。 解答:經(jīng)過第一個(gè)透鏡后的焦斑參數(shù)為: 經(jīng)過第二個(gè)透鏡后的焦參數(shù)為: 解方程可以求出題中所求。 19 某高斯光束束腰腰斑半徑為1.2毫米,波長為10.6微米?，F(xiàn)在用一個(gè)望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用曲率半徑為1米的鍍金反射鏡,口徑為20厘米;副鏡為一個(gè)焦距為2.5厘米,口徑為1.5厘米的鍺透鏡;高斯光束束腰與透鏡相距1米,如下圖。求該望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率。 解答: 根據(jù)公式(激光原理p84-2

21、.11.19) ,其中,為望遠(yuǎn)鏡主鏡與副鏡的焦距比。題中的反射鏡,相當(dāng)于透鏡,且曲率半徑的一半就是透鏡的焦距。 :, , (經(jīng)過驗(yàn)證,光斑在第一個(gè)透鏡外表形成的光斑半徑小于透鏡鏡面尺寸,衍射效應(yīng)很小,因此可以用準(zhǔn)直倍率公式) 代入準(zhǔn)直倍率公式得到: 解答完畢。 20 激光器的諧振腔有兩個(gè)相同的凹面鏡組成,它出射波長為的基模高斯光束,今給定功率計(jì),卷尺以及半徑為a的小孔光闌,試表達(dá)測(cè)量該高斯光束焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。 設(shè)計(jì)如下: 首先明確焦參數(shù)的構(gòu)成元素為腰斑半徑,波長及參數(shù),根據(jù)提供的數(shù)據(jù),激光器的波長為,我們不可能直接測(cè)量腔內(nèi)的腰斑半徑(因?yàn)槭菍?duì)稱腔,束腰在腔內(nèi)),只能通過技術(shù)手段測(cè)量發(fā)

22、射出來的光波場(chǎng)的腰斑半徑,然后利用這里的z是由激光器腔中心到光功率計(jì)的距離,用卷尺可以測(cè)量。光功率計(jì)放置在緊貼小孔光闌的后面,沿著光場(chǎng)橫向移動(dòng),測(cè)量出。把測(cè)量的和z代入公式,可以求出焦參數(shù)。 設(shè)計(jì)完畢(以上只是在理論上的分析,實(shí)際中的測(cè)量要復(fù)雜得多,實(shí)驗(yàn)室測(cè)量中會(huì)用透鏡擴(kuò)束及平面鏡反射出射光,增加距離進(jìn)而增加測(cè)量精度) 21 二氧化碳激光諧振腔由兩個(gè)凹面鏡構(gòu)成,兩個(gè)鏡面的曲率半徑分別是1米和兩米,光腔長度為0.5米。 問:如何選擇高斯光束腰斑的大小和位置,才能使它構(gòu)成該諧振腔的自再現(xiàn)光束。 解答: 高斯光束的自再現(xiàn)條件是(激光原理p84-2.12.1及2.12.2): 根據(jù)公式(激光原理p78

23、-2.10.17及2.10.18) 經(jīng)過曲率半徑為1米的反射鏡后,為了保證自再現(xiàn)條件成立,腔內(nèi)的束腰半徑應(yīng)該與經(jīng)過反射鏡的高斯光束的束腰相同,因此得到: 1 同理,經(jīng)過第二個(gè)反射鏡面也可以得到: 2 3 根據(jù)以上三個(gè)式子可以求出, , 解答完畢。 22 (1)用焦距為F的薄透鏡對(duì)波長為、束腰半徑為的高斯光束進(jìn)行變換,并使變換后的高斯光束的束腰半徑(此稱為高斯光束的聚焦),在和兩種情況下,如何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離?(2)在聚焦過程中,如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離不變,如何選擇透鏡的焦距F? 解答: (1) 根據(jù)可知 ,即 通過運(yùn)算可得到: 或者(舍去) (2) 參考?激光原理?p8

24、1-2. 一定時(shí),隨焦距變化的情況。 23 試用自變換公式的定義式(激光原理p84-2.12.2),利用q參數(shù)來推導(dǎo)出自變換條件式 證明: 設(shè)高斯光束腰斑的q參數(shù)為,腰斑到透鏡的距離為,透鏡前外表和后外表的q參數(shù)分別為、,經(jīng)過透鏡后的焦斑處q參數(shù)用表示,焦斑到透鏡的距離是,透鏡的焦距為F。 根據(jù)q參數(shù)變換,可以求出前外表、后外表、及焦斑處的q參數(shù),分別是: 透鏡前外表: 透鏡后外表: 焦斑的位置: 把經(jīng)過變換的代入到焦斑位置的q參數(shù)公式,并根據(jù)自再現(xiàn)的條件,得到: 由此可以推導(dǎo)出 證明完畢。 24 試證明在一般穩(wěn)定腔中,其高斯模在腔鏡面處的兩個(gè)等相位面的曲率半徑必分別等于各鏡面的曲率半徑。 證

25、明 設(shè)一般穩(wěn)定腔的曲率半徑分別是、,腔長為,坐標(biāo)取在這個(gè)穩(wěn)定腔的等價(jià)共焦腔中心上,并且坐標(biāo)原點(diǎn)到鏡面的距離分別是和,等價(jià)共焦腔的焦距為。 根據(jù) 25 試從式和導(dǎo)出,其中的,并證明對(duì)雙凸腔 解答:略 26 試計(jì)算,的虛共焦腔的和.假設(shè)想保持不變并從凹面鏡端單端輸出,應(yīng)如何選擇?反之,假設(shè)想保持不變并從凸面鏡輸出,如何選擇?在這兩種情況下,和各為多大? 解答: 虛共焦腔的特點(diǎn):激光原理p91,96 激光原理p97-2.1511,2.15.12根據(jù),同理: 單端輸出:如果要從虛共焦非穩(wěn)定腔的凸面鏡單端輸出平面波,并使腔內(nèi)振蕩光束全部通過激活物質(zhì),那么凹面鏡和凸透鏡的選區(qū)要滿足:,其中的a分別代表(按

26、角標(biāo)順序)工作物質(zhì)的半徑、凹面鏡半徑、凸面鏡半徑 1 實(shí)施意義上的單面輸出(從凸面鏡端輸出):按照?qǐng)D(激光原理p96-圖2.15.2a)為了保證從凸面鏡到凹面鏡不發(fā)生能量損失,那么根據(jù)圖要滿足: 因?yàn)橥姑骁R的尺寸不變,所以在曲率半徑給定的條件下,凹面鏡的半徑應(yīng)該為: 2 從凹面鏡端輸出,只要保證有虛焦點(diǎn)發(fā)出的光到達(dá)凹面鏡后的反射光(平行光)正好在凸面鏡的限度范圍內(nèi),那么可保證從凹面鏡單端輸出。 因此,此時(shí)只要滿足即可,因此 這兩種情況下的單程和往返損耗略。 解答完畢。第三章習(xí)題試由式(3.3.5)導(dǎo)出式(3.3.7),說明波導(dǎo)模的傳輸損耗與哪些因素有關(guān)。在其他條件不變時(shí),假設(shè)波導(dǎo)半徑增大一倍,

27、損耗將如何變化?假設(shè)減小到原來的,損耗又將如何變化?在什么條件下才能獲得低的傳輸損耗?解:由及可得: 波導(dǎo)模的傳輸損耗與波導(dǎo)橫向尺寸,波長,波導(dǎo)材料的折射率實(shí)部以及不同波導(dǎo)模對(duì)應(yīng)得不同值有關(guān)。(a)波導(dǎo)半徑增大一倍,損耗減為原來的。(b)波長減小到原來的一半,損耗減為原來的。 獲得低的傳輸損耗應(yīng)增大波導(dǎo)橫向尺寸,選擇折射率實(shí)部小的介質(zhì)材料和小的波導(dǎo)模。2.試證明,當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí),假設(shè),最低損耗模為模,而當(dāng)時(shí),為模,并證明模的損耗永遠(yuǎn)比模低。證明:3.3.8對(duì)于以上三種不同模,參看書中表3.1,對(duì)于同一種模式,越小,損耗越小,因此以下考慮,模之間誰最小(中最小)題中設(shè)為實(shí)數(shù),顯然, 所以,只需考慮與

28、: 當(dāng)時(shí),小 當(dāng)時(shí),小3.在波長時(shí),試求在內(nèi)徑為的波導(dǎo)管中模和模的損耗和,分別以,以及來表示損耗的大小。當(dāng)通過長的這種波導(dǎo)時(shí),模的振幅和強(qiáng)度各衰減了多少(以百分?jǐn)?shù)表示)?解:由,。當(dāng)時(shí), ,4.試計(jì)算用于波長的矩形波導(dǎo)的值,以及表示,波導(dǎo)由制成,計(jì)算由制成的同樣的波導(dǎo)的值,計(jì)算中取。解: : : 。5.某二氧化碳激光器用作波導(dǎo)管,管內(nèi)徑,取,管長10cm,兩端對(duì)稱地各放一面平面鏡作腔鏡。試問:為了模能產(chǎn)生振蕩,反射鏡與波導(dǎo)口距離最大不得超過多少?計(jì)算中激活介質(zhì)增益系數(shù)。解:, 時(shí),而平面反射鏡所產(chǎn)生的耦合損耗為:,其中。為使模能產(chǎn)生振蕩那么要求,得:,即反射鏡與波導(dǎo)口距離不得超過1.66cm.

29、第四章1 靜止氖原子的譜線中心波長為632.8納米,設(shè)氖原子分別以0.1C、O.4C、O.8C的速度向著觀察者運(yùn)動(dòng),問其表觀中心波長分別變?yōu)槎嗌?解答:根據(jù)公式(激光原理P136)由以上兩個(gè)式子聯(lián)立可得:代入不同速度,分別得到表觀中心波長為:,解答完畢(驗(yàn)證過)2 設(shè)有一臺(tái)麥克爾遜干預(yù)儀,其光源波長為,試用多普勒原理證明,當(dāng)可動(dòng)反射鏡移動(dòng)距離L時(shí),接收屏上的干預(yù)光強(qiáng)周期性的變化次。證明:對(duì)于邁氏干預(yù)儀的兩個(gè)臂對(duì)應(yīng)兩個(gè)光路,其中一個(gè)光路上的鏡是不變的,因此在這個(gè)光路中不存在多普勒效應(yīng),另一個(gè)光路的鏡是以速度移動(dòng),存在多普勒效應(yīng)。在經(jīng)過兩個(gè)光路返回到半透鏡后,這兩路光分別保持本來頻率和多普勒效應(yīng)后

30、的頻率被觀察者觀察到(從半透境到觀察者兩個(gè)頻率都不變),觀察者感受的是光強(qiáng)的變化,光強(qiáng)和振幅有關(guān)。以上是分析內(nèi)容,具體解答如下:無多普勒效應(yīng)的光場(chǎng):產(chǎn)生多普勒效應(yīng)光場(chǎng):在產(chǎn)生多普勒效應(yīng)的光路中,光從半透經(jīng)到動(dòng)鏡產(chǎn)生一次多普勒效應(yīng),從動(dòng)鏡回到半透鏡又產(chǎn)生一次多普勒效應(yīng)(是在第一次多普勒效應(yīng)的根底上)第一次多普勒效應(yīng):第二次多普勒效應(yīng):在觀察者處:觀察者感受到的光強(qiáng):顯然,光強(qiáng)是以頻率為頻率周期變化的。因此,在移動(dòng)的范圍內(nèi),光強(qiáng)變化的次數(shù)為:證明完畢。(驗(yàn)證過)3 在激光出現(xiàn)以前,Kr86低氣壓放電燈是最好的單色光源。如果忽略自然加寬和碰撞加寬,試估計(jì)在77K溫度下它的605.7納米譜線的相干長度

31、是多少?并與一個(gè)單色性/10-8的He-Ne激光器比擬。解:根據(jù)相干長度的定義可知,。其中分母中的是譜線加寬項(xiàng)。從氣體物質(zhì)的加寬類型看,因?yàn)楹雎宰匀缓团鲎布訉?所以加寬因素只剩下多普勒加寬的影響。根據(jù)P138頁的公式4.3.26可知,多普勒加寬:因此,相干長度為:根據(jù)題中給出的氦氖激光器單色性及氦氖激光器的波長632.8納米,可根據(jù)下述公式得到氦氖激光器的相干長度:可見,即使以前最好的單色光源,與現(xiàn)在的激光光源相比,相干長度相差2個(gè)數(shù)量級(jí)。說明激光的相干性很好。4 估算CO2氣體在300K下的多普勒線寬D,假設(shè)碰撞線寬系數(shù)49MHZ/Pa,討論在什么氣壓范圍內(nèi)從非均勻加寬過渡到均勻加寬。解:根

32、據(jù)P138頁的公式4.3.26可知,多普勒加寬:因?yàn)榫鶆蚣訉掃^渡到非均勻加寬,就是的過程,據(jù)此得到:,得出結(jié)論:氣壓P為1.08×103Pa時(shí),是非均勻加寬與均勻加寬的過渡閾值,.當(dāng)氣壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1.08×103Pa 的情況下,加寬主要表現(xiàn)為均勻加寬。(驗(yàn)證過)5 氦氖激光器有以下三種躍遷,即3S2-2P4的632.8納米,2S2-2P4的1.1523微米和3S2-3P4的3.39微米的躍遷。求400K時(shí)他們的多普勒線寬,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。解:根據(jù)P138頁的公式4.3.26,可分別求出不同躍遷的譜線加寬情況。3S2-2P4的632.8納米的多普勒加寬:2S2-2P4的1.1

33、523微米的多普勒加寬:3S2-3P4的3.39微米的多普勒加寬:由以上各個(gè)躍遷的多普勒線寬可見,按照結(jié)題結(jié)果順序,線寬是順次減少,由于題中線寬是用頻率進(jìn)行描述,因此頻率線寬越大,那么單色性越好。(驗(yàn)證過)6 考慮二能級(jí)工作系統(tǒng),假設(shè)E2能級(jí)的自發(fā)輻射壽命為S,無輻射躍遷壽命為nr。假設(shè)t0時(shí)激光上能級(jí)E2的粒子數(shù)密度為n20,工作物質(zhì)的體積為V,發(fā)射頻率為,求:(1)自發(fā)輻射功率隨時(shí)間的變化規(guī)律。(2)E2能級(jí)的原子在其衰減過程中發(fā)出的自發(fā)輻射光子數(shù)。(3)自發(fā)輻射光子數(shù)與初始時(shí)刻E2能級(jí)上的粒子數(shù)之比2。解:(1)根據(jù)P11相關(guān)內(nèi)容,考慮到E2的能級(jí)壽命不僅僅是自發(fā)輻射壽命,還包括無輻射躍

34、遷壽命,因此,E2能級(jí)的粒子數(shù)變化規(guī)律修正為:,其中的與S、nr的關(guān)系為,為E2能級(jí)的壽命。在時(shí)刻t,E2能級(jí)由于自發(fā)和無輻射躍遷而到達(dá)下能級(jí)的總粒子數(shù)為:由于自發(fā)輻射躍遷而躍遷到激光下能級(jí)的粒子數(shù)為,因此由于自發(fā)輻射而發(fā)射的功率隨時(shí)間的變化規(guī)律可以寫成如下形式:(2)由上式可知,在t-t+dt時(shí)間內(nèi),E2能級(jí)自發(fā)輻射的光子數(shù)為:那么在0-的時(shí)間內(nèi),E2能級(jí)自發(fā)輻射的光子總數(shù)為:(3)自發(fā)輻射光子數(shù)與初始時(shí)刻能級(jí)上的粒子數(shù)之比為:此題有待確認(rèn)7 根據(jù)激光原理4.4節(jié)所列紅寶石的躍遷幾率數(shù)據(jù),估算抽運(yùn)幾率等于多少時(shí)紅寶石對(duì)波長694.3納米的光透是明的(對(duì)紅寶石,激光上、下能級(jí)的統(tǒng)計(jì)權(quán)重為,且計(jì)

35、算中可不考慮光的各種損耗)解答:紅寶石的,分析如下:增益介質(zhì)對(duì)某一頻率的光透明,說明介質(zhì)對(duì)外界光場(chǎng)的吸收和增益相等,或者吸收極其微弱,以至于對(duì)進(jìn)入的光場(chǎng)強(qiáng)度不會(huì)產(chǎn)生損耗。對(duì)于此題中的紅寶石激光器,透明的含義應(yīng)該屬于前者。根據(jù)公式:(激光原理P146-4.4.22)由上邊的第二項(xiàng)和第四項(xiàng),可以得到:又因?yàn)樾⌒盘?hào)下(粒子數(shù)翻轉(zhuǎn)剛剛到達(dá)閾值),因此,且由此,方程組的第一個(gè)式子可以轉(zhuǎn)變?yōu)?,代入1式,得到:既然對(duì)入射光場(chǎng)是透明的,所以上式中激光能級(jí)發(fā)射和吸收相抵,即激光上能級(jí)的粒子數(shù)密度變化應(yīng)該與光場(chǎng)無關(guān),并且小信號(hào)時(shí)激光上能級(jí)的粒子數(shù)密度變化率為零,得到最后得到:解答完畢。(驗(yàn)證過)11 短波長(真

36、空紫外、軟X射線)譜線的主要加寬是自然加寬。試證明峰值吸收截面為。證明:根據(jù)P144頁吸收截面公式4.4.14可知,在兩個(gè)能級(jí)的統(tǒng)計(jì)權(quán)重f1f2的條件下,在自然加寬的情況下,中心頻率0處吸收截面可表示為:- 上式(P133頁公式4.3.9)又因?yàn)?把A21和N的表達(dá)式代入1式,得到:證畢。(驗(yàn)證過)12 紅寶石的密度為3.98g/cm3,其中Cr2O3所占比例為0.05%(質(zhì)量比),在波長為694.3nm附近的峰值吸收系數(shù)為0.4cm-1,試求其峰值吸收截面(T300K)。解:分析:紅寶石激光器的Cr3+是工作物質(zhì),因此,所求峰值吸收截面就是求Cr3+的吸收截面。根據(jù)題中所給資料可知:Cr2O

37、3的質(zhì)量密度為3.98g/cm3×0.05%1.99×10-3g/cm3,摩爾質(zhì)量為52×2+16×3152g/mol設(shè)Cr3+的粒子數(shù)密度為n,那么n2×(1.99×10-3 /152)×6.02×10231.576×1019/cm3根據(jù)可知,根據(jù)nn1+n2,nn1-n2,且,其中,可知E2能級(jí)粒子數(shù)密度接近于零,可求出nn11.756×1019/cm3 ,代入到,可求出:解答完畢。13 略14 在均勻加寬工作物質(zhì)中,頻率為1、強(qiáng)度為I1的強(qiáng)光增益系數(shù)為gH1,I1, gH1,I1- 1關(guān)系

38、曲線稱為大信號(hào)增益曲線,試求大信號(hào)增益曲線的寬度H。解:大信號(hào)增益系數(shù)表達(dá)式為P153-4.5.17:根據(jù)譜線寬度的定義:增益下降到增益最大值的一半時(shí),所對(duì)應(yīng)的頻率寬度,叫做大信號(hào)增益線寬。根據(jù)大信號(hào)增益曲線表達(dá)式可知,其中心頻率處具有最大增益,即10時(shí)。在此條件下,增益最大值為:根據(jù),可求出當(dāng)時(shí)滿足增益線寬條件,因此,線寬位:解答完畢。有頻率為1、2的兩強(qiáng)光入射,試求在均勻加寬情況下:頻率為的弱光的增益系數(shù)。頻率為1的強(qiáng)光增益系數(shù)表達(dá)式。設(shè)頻率為1和2的光在介質(zhì)里的平均光強(qiáng)為I1、I2解:在腔內(nèi)多模振蕩條件下,P151-4.5.7應(yīng)修正為:根據(jù)P150-4.5.5可知,增益系數(shù)與反轉(zhuǎn)粒子數(shù)成

39、正比,即:把修正后的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)表達(dá)式代入上式,得到:因此,所求第一問“頻率為的弱光的增益系數(shù)為:第二問“頻率為1的強(qiáng)光增益系數(shù)表達(dá)式為:解答完畢。17 激光上下能級(jí)的粒子數(shù)密度速率方程表達(dá)式為P147-4.4.28所示。試證明在穩(wěn)態(tài)情況下,在具有洛倫茲線型的均勻加寬介質(zhì)中,反轉(zhuǎn)粒子數(shù)表達(dá)式具有如下形式:,其中,n0是小信號(hào)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度。寫出中心頻率處飽和光強(qiáng)Is的表達(dá)式。證明時(shí),n和Is可由P152-4.5.13及P151-4.5.11表示。解:1 穩(wěn)態(tài)工作時(shí),由激光上、下能級(jí)的粒子數(shù)密度速率方程 4.4.28可得:其中,由3式和2式可得:整理得:將4代入1式:整理得:其中,n0是小信號(hào)反轉(zhuǎn)

40、粒子數(shù)密度。2 當(dāng)10時(shí),3 高功率的激光系統(tǒng)中當(dāng)時(shí),n和Is可由P152-4.5.13及P151-4.5.11表示22 設(shè)有兩束頻率分別為和,光強(qiáng)為和的強(qiáng)光沿相同方向或者相反方向通過中心頻率為的非均勻加寬增益介質(zhì),。試分別劃出兩種情況下反轉(zhuǎn)粒子數(shù)按速度分布曲線,并標(biāo)出燒孔位置。分析:非均勻加寬的特點(diǎn)是增益曲線按頻率分布,當(dāng)有外界入射光以一定速度入射時(shí),增益曲線對(duì)入射光頻率敏感,且產(chǎn)生飽和效應(yīng)的地方恰好是外界光場(chǎng)頻率對(duì)應(yīng)處,而其他地方那么不會(huì)產(chǎn)生增益飽和現(xiàn)象。當(dāng)然,產(chǎn)生增益飽和的頻率兩邊一定頻譜范圍內(nèi)也會(huì)產(chǎn)生飽和現(xiàn)象,但是與外界光場(chǎng)對(duì)應(yīng)的頻率出飽和現(xiàn)象最大最明顯。設(shè)外界光場(chǎng)以速度入射,作為增益

41、介質(zhì),感受到的表觀頻率為:,當(dāng)增益介質(zhì)的固有頻率時(shí),產(chǎn)生激光(發(fā)生粒子數(shù)反轉(zhuǎn))而發(fā)生粒子數(shù)翻轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的速度為:正方向:負(fù)方向:一、當(dāng)都是正方向入射時(shí),兩束光對(duì)應(yīng)的速度分別為:也就是說在反轉(zhuǎn)粒子數(shù)按速度分布圖上,在速度等于和處形成反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和效應(yīng)。根據(jù)公式(激光原理p156-4.6.7)對(duì)于,孔的深度為:對(duì)于,孔的深度為:又因?yàn)榫€型函數(shù)以為對(duì)稱形式,且兩個(gè)入射光產(chǎn)生燒孔的位置也以為中心對(duì)稱分布,因此,產(chǎn)生燒孔的兩個(gè)對(duì)稱位置處的小信號(hào)反轉(zhuǎn)粒子數(shù)相等,即,因此,兩個(gè)燒孔的深度相比,因?yàn)?所以兩個(gè)孔的深度入射光強(qiáng)大的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)深度大。即:兩孔深度比:二、兩束光相對(duì)進(jìn)入增益介質(zhì)類似上面的分析可得到:,

42、可見燒孔位置重合,燒一個(gè)孔因?yàn)閮蓚€(gè)光強(qiáng)不同的外場(chǎng)同時(shí)作用于某一品率處而產(chǎn)生增益飽和(反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和),因此,次品率處的光強(qiáng)是兩個(gè)光強(qiáng)的和,因此,燒孔深度為解答完畢。第五章 激光振蕩特性 2.長度為10cm的紅寶石棒置于長度為20cm的光諧振腔中,紅寶石694.3nm譜線的自發(fā)輻射壽命,均勻加寬線寬為。光腔單程損耗。求 1閾值反轉(zhuǎn)粒子數(shù); 2當(dāng)光泵鼓勵(lì)產(chǎn)生反轉(zhuǎn)粒子數(shù)時(shí),有多少個(gè)縱?？梢哉袷?紅寶石折射率為1.76 解:1 閾值反轉(zhuǎn)粒子數(shù)為: 2 按照題意,假設(shè)振蕩帶寬為,那么應(yīng)該有 由上式可以得到 相鄰縱模頻率間隔為 所以 所以有164165個(gè)縱?？梢云鹫瘛?3.在一理想的三能級(jí)系統(tǒng)如紅寶石中,

43、令泵浦鼓勵(lì)幾率在t0瞬間到達(dá)一定值,為長脈沖鼓勵(lì)時(shí)的閾值泵浦鼓勵(lì)幾率。經(jīng)時(shí)間后系統(tǒng)到達(dá)反轉(zhuǎn)狀態(tài)并產(chǎn)生振蕩。試求的函數(shù)關(guān)系,并畫出歸一化的示意關(guān)系曲線令。 解:根據(jù)速率方程忽略受激躍遷,可以知道在到達(dá)閾值之前,在t時(shí)刻上能級(jí)的粒子數(shù)密度與時(shí)間t的關(guān)系為 當(dāng)時(shí),即 由1可知,當(dāng)時(shí)間t足夠長的時(shí)候 由上式可知 由2式可得 所以 所以歸一化的示意關(guān)系曲線為 4.脈沖摻釹釔屢石榴石激光器的兩個(gè)反射鏡透過率、分別為0和0.5。工作物質(zhì)直徑d0.8cm,折射率1.836,總量子效率為1,熒光線寬,自發(fā)輻射壽命。假設(shè)光泵吸收帶的平均波長。試估算此激光器所需吸收的閾值泵浦能量。 解: 5.測(cè)出半導(dǎo)體激光器的一個(gè)

44、解理端面不鍍膜與鍍?nèi)瓷淠r(shí)的閾值電流分分別為J1與J2。試由此計(jì)算激光器的分布損耗系數(shù)解理面的反射率。 解:不鍍膜的時(shí)候,激光器端面的反射率即為r,鍍了全發(fā)射膜之后的反射率為R1,設(shè)激光器的長度為l,那么有 由這兩式可以解得 即得到了激光器的分布損耗系數(shù)。 7.如圖5.1所示環(huán)形激光器中順時(shí)針模式及逆時(shí)針模的頻率為,輸出光強(qiáng)為及。 1如果環(huán)形激光器中充以單一氖同位素氣體,其中心頻率為,試畫出及時(shí)的增益曲線及反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度的軸向速度分布曲線。 2當(dāng)時(shí)激光器可輸出兩束穩(wěn)定的光,而當(dāng)時(shí)出現(xiàn)一束光變強(qiáng),另一束光熄滅的現(xiàn)象,試解釋其原因。 3環(huán)形激光器中充以適當(dāng)比例的及的混合氣體,當(dāng)時(shí),并無上述一束光變強(qiáng),另一束光變?nèi)醯默F(xiàn)象,試說明其原因圖5.2為、及混合氣體的增益曲線,、及分別為、及混合氣體增益曲線的中心頻率,。 圖5.1 圖5.2 4為了使混合氣體的增益曲線對(duì)稱,兩種氖同位素中哪一種應(yīng)多一些。 解:1 時(shí) 時(shí) 2 時(shí),及分別使用不同速度的反轉(zhuǎn)原子,使用速度為的高能級(jí)原子,使用速度為的高能級(jí)原子,這樣和不會(huì)彼此的爭(zhēng)