控制系統(tǒng)校正的根軌跡方法

1、控制系統(tǒng)校正的根軌跡方法用根軌跡法進(jìn)行校正的基礎(chǔ)，是通過(guò)在系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中增加零點(diǎn)和 極點(diǎn)以改變根軌跡的形狀，從而使系統(tǒng)根軌跡在S平面上通過(guò)希望的閉環(huán)極 點(diǎn)。根軌跡法校正的特征是基于閉環(huán)系統(tǒng)具有一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，當(dāng)然，零 點(diǎn)和附加的極點(diǎn)會(huì)影響響應(yīng)特性。應(yīng)用根軌跡進(jìn)行校正，實(shí)質(zhì)上是通過(guò)采用校正裝置改變根軌跡的，從而將一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望的位置上。在開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中增加極點(diǎn)，可以使根軌跡向右方移動(dòng)，從而降低系統(tǒng) 的相對(duì)穩(wěn)定性，增大系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間。等同于積分控制，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了 位于原點(diǎn)的極點(diǎn)，因此降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中增加零點(diǎn)，可以使根軌跡向左方移動(dòng)，從而提高系統(tǒng) 的相對(duì)穩(wěn)定

2、性，減小系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間。等同于微分控制，相當(dāng)于給系統(tǒng)前向通 道中增加了零點(diǎn)，因此增加了系統(tǒng)的超調(diào)量，并且加快了瞬態(tài)響應(yīng)。根軌跡超前校正計(jì)算步驟如下。(1)作原系統(tǒng)根軌跡圖；(2)根據(jù)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，確定主導(dǎo)極點(diǎn) g在s平面上的正確位置； 如果 主導(dǎo)極點(diǎn)位于原系統(tǒng)根軌跡的左邊，可確定采用微分校正，使原系統(tǒng)根 軌跡左移，過(guò)主導(dǎo)極點(diǎn)。(3)在新的主導(dǎo)極點(diǎn)上，由幅角條件計(jì)算所需補(bǔ)償?shù)南嘟遣钚。挥?jì)算公式為：中=士 180。-argGo(s)，=si此相角差小表明原根軌跡不過(guò)主導(dǎo)極點(diǎn)。為了使得根軌跡能夠通過(guò)該點(diǎn)，必須校正裝置，使補(bǔ)償后的系統(tǒng)滿足幅角條件。(4)根據(jù)相角差小，確定微分校正裝置的零極點(diǎn)位置；微分校

3、正裝置的傳遞函數(shù)為：Gc = Kc sTz 1(2)sTp 1G。1例題：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：s(1+0.2s)(1+0.15s)試設(shè)計(jì)超前校正環(huán)節(jié)，使其校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv< 4.6 ,閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)滿足阻尼比1=0.2,自然振蕩角頻率w n=12.0rad/s ,并繪制校正前后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線、單位脈沖響應(yīng) 曲線和根軌跡。解： 由 Kv =lim s* G0(s)*Gc(s) =4.6 得 kc=2計(jì)算串聯(lián)超前校正環(huán)節(jié)的matlab程序如下:主函數(shù)：close;num=2.3;den=conv(1,0,conv(0.2,1,0.15,1);G=tf(num,den)

4、 % zata=0.2;wn=12.0;%num,den=ord2(wn,zata); % s=roots(den); s1=s(1); kc=2;%Gc=cqjz_root(G,s1,kc) GGc=G*Gc*kc % Gy_close=feedback(G,1) % Gx_close=feedback(GGc,1) % figure(1); step(Gx_close,'b',3.5);%hold on step(Gy_close,'r',3.5);%校正前系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函要求參數(shù)追加系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性增益kc校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函校正前系統(tǒng)閉環(huán)傳函校正后系統(tǒng)閉環(huán)傳函校正

5、后單位階躍響應(yīng)校正前單位階躍響應(yīng)校正后單位沖激響應(yīng)校正前單位沖激響應(yīng)grid; gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2); impulse(Gx_close,'b',3.5); % hold on impulse(Gy_close,'r',3.5); % grid; gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根軌跡圖grid；gtext('校正前的');gtext('校

6、正后的)；為使校正后系統(tǒng)的根軌跡能經(jīng)過(guò)期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，其閉環(huán)特征方程跟必須滿足幅值和相角條件，即GcS)Gqs) = Kc S1Tz + 1 Me,s = lej式中，M0是校正SiTp1前系統(tǒng)在Si處的幅值，9 0是對(duì)應(yīng)的相角。1ej 二令Si = Mej一 代入得 Mie,F 1 = 土(Me,F 1)KcM°eP劍陽(yáng) 丁 sin-KcMo sin(%-)EM。sin sin(入 方)斛彳寸 Tz = ； Tp = -KcM0MsinO°' pMsin 日 0從而計(jì)算串聯(lián)超前環(huán)節(jié)參數(shù)子函數(shù)為：function Gc=cqjz_root(G,s1,kc)numG

7、=G.num1;,DenG=G.den1;ngv=polyval(numG,s1);dgv=polyval(denGs1);g=ngv/dgv;theta_0=angle(g);%相角 0 0theta_1=angle(s1);%相角 0 1M1=abs(g);%幅值 M1M0=abs(s1);%幅值 M0Tz=(sin(theta_1)-kc*M0*sin(theta_0-theta_1)/(kc*M0*M1*sin(theta_0);Tp=-(kc*M0*sin(theta_1)+ sin(theta_0-theta_1)/(M1*sin(theta_0);Gc=tf(Tz,1,Tp,1)

8、;運(yùn)行結(jié)果：校正前系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：Transfer function:2.30.03 sA3 + 0.35 sA2 + s超前校正傳遞函數(shù)：教育資料Transfer function:1.016 s + 10.0404 s + 1校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù):Transfer function:4.672 s + 4.60.001212 sA4 + 0.04414 sA3 + 0.3904 sA2 + s校正前系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：Transfer function:2.30.03 $人3 + 0.35 sA2 + s + 2.3校正后系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：Transfer function:4.672

9、s + 4.60.001212 sA4 + 0.04414 sA3 + 0.3904 $人2 + 5.672 s + 4.6得到以下圖形：J 1 J 1 r 1校正后的i校1正前的1,j11 /jImpulse Response64 2 0 eaprp mA2 -圖1-系統(tǒng)校正前后的單位沖激響應(yīng)圖3.5教育資料eaM«lrpmAStep Response圖2-系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應(yīng)SXA tuning 樸504030201070-10-20-30-40-500.720.6' 0.46' 0.30.160.84-0.920.98605040302010校正后E

10、9;校正前的Ip.1_ 一 一/ it-T -0.98-0.920.84 0.720.60.460.30.16rprrfrrRoot Locus-30-20-100-70-60-50-401020Real Axis圖3-系統(tǒng)校正前后的根軌跡曲線教育資料根據(jù)系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應(yīng)可以得到校正前超調(diào)量b 1=17.3%,校正后超調(diào)量教育資料b 2=31.7%,如圖 4Step Response1.4e up m A1.210.80.60.40.20.5System: Gx_close Peak amplitude: 1.32 筏城。部%N31.7 At time (sec): 0.301校正前

11、的System: Gy_close Peak amplitude: 1.17 Overshoot (%): 17.3 At time (sec): 1.331.5Time (sec)2.53.5圖4-超調(diào)量=2.92s ,校正后調(diào)節(jié)時(shí)間根據(jù)系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應(yīng)可以得到校正前調(diào)節(jié)時(shí)間=2.3s ,如圖 5Time (sec)圖5-調(diào)節(jié)時(shí)間=0.58s ,校正后上升時(shí)間根據(jù)系統(tǒng)校正前后的單位階躍響應(yīng)可以得到校正前上升時(shí)間=0.123s ,如圖 6教育資料1.4校System Rise T正后的i: Gx_close校正前的dme (sec)-.:0.1Sy23stem: Gy_clo se Time (sec)seI /Rh0.58I iI12.53Step Response2 1 8 6 4 210000edHTP mA000.51.52Time (sec)3.5圖6-上升時(shí)間由上可知，雖然系統(tǒng)的超調(diào)量增大了，但系統(tǒng)的上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都縮短了，系統(tǒng)