以平行四邊形為背景的計算和證明

1、八下數(shù)學思維解法技巧培優(yōu)小專題專題12取平行四過形為背乗的計*:和證明【典例1】(2021-南岸區(qū)校級模擬)如圖，在平行四邊形，毎CZ)中，CE丄BC交AD于點E,連接BE,點F是BE上一點，連接CF.如圖 1,假設 ZCD=30° , bc=BF=4, DC= £求 EF 的長；EG 交 El求證：EG=2MN.(2)如圖2,假設 BC=EC,過點E作EM丄CF,交CF延長線于點延長 ME、CD相交于點G,連接【點撥】(1)利用勾股定理求出 EG恥即可解決問題.即町(2)如圖2中，延長GM至U使得MH=MG.連接CH BH.想方法證明EG=BH,解決問題.【解析】(1解:

2、圖1? ?四邊形拐3是平行四邊形,:? AD BC、VEC 丄 BC,?4D丄 EC,:? ZBCE=ZCED = 9V ,V Z 4=30 ° , CD=2,.C =CD<cos30° =9： BC=CF=4,:.EF=BE - BF= V19 _4?證明：如圖2中，延長GM到使得冊=MG,連接CH BH.團2CM丄 ?ZHCG= 90 ° CH=CG、 :.ZHCG= ZBCE.:.ZBCH= ZECG.?: CB=CE、:?、BCHSHECG (SAS).:? BH=EG.乙 CHB= ZCGE=45?ZCHG=45°,:? ZBHG=9y

3、,:? ZBHG= ZCMG=9T ,:.MN/BH, ?: HM=HG、:.BN=NG.:? EG=2MN ?【典例2】2021*沙坪壩區(qū)模擬如圖，在"BCD中，ZACB=45Q , AE1BC于點E,過點C作CF丄AB于點F,交于點M.點N在邊EC上，且連結DV. AAB=VT6 9 AC=4.求 BC 的長；(2)求證:AD+AM=ADN ?【點撥】1 ilE出ZUC£是等腰直角三角形.得出ZEVC=45 , AE=CE=2>/N由勾股定理得：BE= <AB2 - AE2 =凰, 即可得出結果；2延長至G,使DG=zLW,證岀四邊形CGDV是平行四邊形，得

4、出CG=ZXV,證明HABE空厶CME.得出AB=CM. ZB=ZCME,再證明MCMQ'GCD、得出ZG=ZM4C=45 ，證出ZUCG是等腰直角三角形，得出 AG= >J2CG,即可得出結論.【解析】(1)解：v ZJCB=45° , AE 丄 EC,?ZAEC=ZAEB=9L , ZUCE是等腰直角三角形，Ar 4A ZEAC=4Sq , J =C£=?=7=2v2,由勾股左理得：fAB2 - AE2 = y/10-8 = yj2.:.BC=BE+CE=3y/2 ；(2)證明：延長,3至G,使連接CG.如下圖：?: am=cn,:? dg=cn、?四邊形

5、腫3是平行四邊形，:? ab=cd. AD BC, zb=zadc,:.DG/CN,.?四邊形CGZW是平行四邊形， :.CG=DN.TCF丄曲,:.ZCFB=9Q ° = ZAEB= ZCEA,? ZBAE=ZMCE,現(xiàn)EB = "EM 在 HABE 和:ME 中,z_BAE =厶 MCE ,AE = CE:? WBE9(zUS),:.1B=CM, ZB=ZCME,:? CM=CD.乙 CME= ZADC.:.ZAMC= ZGDC、AM = DG 在和中，z_AMC =厶GDCCM = CD?CM 也 AGCD (SAS),AZG=ZM4C=45 a ,?: AD BC、

6、:.ZDAC=ZACB=45八,/. AJCG是等腰直角三角形，:.AG= V2CG,A G =.1D+DG=CG=DN.近DN.1. 2021?肥城市模擬如圖，平行四邊形JBCD中，CG丄48于點G, ZABF= 45 °, F在CD 上, BF交CD于點E,連接ME,丄2D(1)假設 BG=1, BC= V10,求 EF 的長度:(2)求證：CE+>/2BE=AB ?形的性質得到dB CD,于是得到結論；(2)延長.扭交3(7于H、根據(jù)平行四邊形的性質得到 BC/.1D,根據(jù)平行線的性質得到 ZAHB= ZHAD,推出乙GAE= ZGCB , 根據(jù)全等三角形的性質得到 AG

7、=CG,于是得到結論.【解析】解：VCG1JB.A ZAGC=ZCGB=9°,VBG=b BC= A10,?在 RtABGC 中，fBG2+CG2=3,V ZABF=45 Q ,:? BG=EG=,:.CE=2,? ?四邊形ABCD是平行四邊形，:? AB CD、:.ZGCD=ZBGC=90 2 , ZEFG= ZGBE=45:? CF=CE=2,:.EF= v/2CE=2x/2 :(2)如圖，延長交BC于H,? ?四邊形肋3是平行四邊形， :.BC/.1D.:.ZAHB= ZHAD, ?JE丄 AD.:? ZAHB= ZHAD=90° ? ZBAH+ZABH= ZECG+

8、ZCEG=90°:?乙 GAE=ZGCB、("GE =厶 CGB = 90 °在/YfiCG 與中，AGAE =厶 GCB>GE = BG?BCG 竺圧G ( <S),:.AG=CG,AB=BG+A G =CE+EG+BG,?： BG=EG=琴 BE.:.CE+2BE=AB ?2. (2021?沙坪壩區(qū)校級月考)在平行四邊形中，ZABC=45 , ABFC，點E, F分別CD. AC邊上的點，且-密=CE,腫的延長線交 于點G. 假設DE=2並，AD=&求/左(2)假設G是的中點，連接CG,求證一E+CG=BG ?2得岀答案:0=扭尸=即可得出

9、(2)證明NIBF竺HCAE OS),得出BF=AE. ZABF=ZCAE,取的中點H連接由直角 三角形斜邊上的中線性質得出陽，CG= AAE=AG,得出 ZABF= ZBAH.證出CAE,證出ZGAH= ZBAF=90 , WHl .1H=AG=BH =CG，因此AGO是等腰直角三角形，得出 GH=近/6=學匹,結論.【解析】(1)解：？四邊形.03是平行四邊形，“1Z)二BC=8,V ZABC=4S , AB=AC.:.ZACB=Z.-LBC=45 a ,:.ACD= ZBAC=9Q ° ,:4BC是等腫直角三角形，:.CD=AB=AC=琴 BC=4 近，?: DE=2 屆:?

10、CE=CD-DE=2 屆:V/4C-+ CE2 = 1(472)2 + (2返)：-2vlo：AF = CE(2)證明：在 AABF 和 &2E 中，乙 BAF = AACEAAB = AC:.AABFAACAE (SAS:? BF=AE, ZABF=ZCAE.取貯的中點連接.0,如下圖：V Z5JF=90 ° AH= ABF=BH.:.ZABF= ZBAH.:.ZBAH=ZCAE.?ZGM=ZBF=9(T ,V ZJCF=90° , G是的中點,?*?CGA *E=zlG:? AH=AG=BH=CG.:.'GAH是等腰直角三角形,:.GH=FL IG=a

11、AE.A1E+CG-3? 2021?南岸區(qū)期中如圖.在平行四邊形腫 CD中B0.1B，過作丄BC,垂足為F,過C作CH 丄肋,垂足為H交于G,點E為FC上一點，且GE丄ED1假設FC= 2BF=4. AB=2>JS,求平行四邊形J5CD的面積：(2)假設 AF=FC, F 為 BE 中點,求證：ED=a C4D+AG).【點撥】1由勾股龍理求出廿=如-加=4,由平行四邊形而積公式即町得岀答案:證明 AABFAACGF J 4,得出，拐=CG, BF=GF,證出 AG=CE.連接 dC,證明 ZLJGCAAecdSAS得出ac=ed.由等腰宜角三角形的性質得出 ed=ac=acf,進而得出

12、結論.【解析】1解:9： FC=2BF=4.:? BF=2、;? BC=BF+FC=2+4 = 6,u 2-22 =4.:.IF=(2)證明：VJF 丄 EC, CH LAB.：? ZJFB= ZCFG= ZAHG=9L , ZB4F+ZABF= ZGCF+ZABF=90 ° , ? ZBAF= ZGCF.縱FB =乙 CFG 在 HABF 和厶 CGF 中,AF= CFLBAF =乙 GCF:? HABF 竺 HCGF (ASA),:? AB=CG. BF=GF.? F 為 BE 中點，:.BF=EF=GF.?JF=CF,? ?AGCE八連接FC,如下圖：?: GE 丄 ED:?

13、ZGCD=9Y ,V ZAGC= ZJJ7G+ZBJF=90 °+ZB4F, ZECD=ZGCD+ZGCF=90° +ZGCF.? ZAGC=ZECD,? ?四 邊形 ABCD 是平行四邊形，:? AJD=BC 、A>B=DC,:? CG=DC、(AG = CE在 MGC AIA £D 中，lAGC =乙 ECD、,CG = DC:.AAGCAAECD (SAS).：?AC=ED 、?JFL BC, AF=CF,：4CF 是等腰直角三角形，:? ED=AC= 近 CF、?： ADHG=BC+CE= CF+BF+CE=CF+EF+CE=2CF,:.CF= |

14、(3TG),r2CF= y CID+AG).4. 2021-九龍坡區(qū)校級模擬在平行四邊形，松仞中， 點E是AD邊上一點，連接CE,交對角線BD于點F,過點/作-拐的垂線交肋的延長線于點 G,過E作冊垂直于CE,垂足為點H交CD于點P, 2ZI+Z2 = 90 ?1假設 PH=2、BH=4,求 PC 的長：2假設 BC=FC,求證：GF= yj2PC.G【點撥】1由平行四邊形的性質得出 AD BC. AD=BC ? AB/CD. AB=CD、由平行線的性質得出 ZBCH= Z2.證明乙BCP= ZBPC、得出 BC=BP=BH-PH=6 、由勾股定理得岀 Cffi=B?-酹=20、 PC= IP

15、H2 + CH 2 =2V6 :2易址四邊形是等腰梯形， 那么 ZDAB=ZPBA.證明 JD=FC, ZCBF=ZCFB、ZADG= Z CFD、由 dSJ證得 DAGAAFCD 得出AG=CD=AB, DG=FD、推出ZLIffG 是等腰直角三角形，那么 ZDB=ZG=45°，作丄CD于W BN LCD于N,易址AD 憶F是等腰直角三角形，得出DF= y/2FM.證明 Z = ZPBN.由 zUS 證得 ACFA 化塵/W 得出 FM=PN,推岀 PN=CM 那么 PC=2PN =2FM= >/2DF,即可 得出結論.【解析】1解：？四邊形曲3是平行四邊形，:? AD BC

16、、AD=BC, AB/CD, AB=CD、 :.ZBCH=Z2.:.Z5CP=Z2+Z1, V2Z1+Z2=9O C ?A ZBCP=90° - Zb?: BH1CE.:.Z5PC+Z 1=90 ° ?A ZBPC=90° - Zb ? ZBCP=ZBPC. :.BC=BP=BH+PH=4+2 = 6,:.CA=BC? -42 = 20,:.PC= IPH 2 + CH2 =如 +20 =2V6 :2 證明：由 1 得： BC=BP=AD,?四? 邊形 ABPD 是等腰梯形，? ZDAB= ZPB 丄?: CD/AB,? ZPBA= ZBPC.?BH± CE?AZ1=9O° - ZBPC= 90A - ZP5J=90°- ZDAB=ZDAG, ?:AD=BC 、BC=FC.:.ID=FC. ZCBF=ZCFB,?: ADBC、:.ZEDF= ZCBF.:.ZEDF= ZCFB= ZEFD.:.ZADG=ZCFD.Z.DAG = Z1在 ZYCUG 和ZCD 中，AD = CFLADG= 厶 CFD:.'DAGU'FCD ASA,AG=CD=ABf DG FD?9： AG丄也?45G是等腰直角三角形，?ZDB = ZG=45°