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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第一章 勾股定理1、勾股定理定義:直角三角形的兩直角邊長的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊,那么a2b2c2. 勾:直角三角形較短的直角邊 股:直角三角形較長的直角邊 弦:斜邊2.勾股定理定義的應(yīng)用:(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(在中,則,)(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系,求直角三角形的另兩邊(3)利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題例. 在RtABC中,C=90°(1)若a=5,b=12,則c=_;(2)b=8,c=17,則SABC=_。3.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法
2、用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導出勾股定理常見方法如下:方法一:,化簡可證方法二:四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以4.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2c2,那么這個三角形是直角三角形。5.勾股數(shù):滿足a2b2c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)(注意:若a,b,c、為勾股數(shù),那么ka,kb,kc同樣也是勾股數(shù)組。)常見勾股數(shù):3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,137
3、24 25 ,8 15 17注:勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀,在運用這一定理時應(yīng)注意:(1)首先確定最大邊,不妨設(shè)最長邊長為:c;(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系,若c2a2+b2,則ABC是以C為直角的直角三角形若c2>a2+b2,則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形;若c2<a2+b2,則ABC為銳角三角形。(定理中,及只是一種表現(xiàn)形式,不可認為是唯一的,如若三角形三邊長,滿足,那么以,為三邊的三角形是直角三角形,但是為斜邊)例.若一個三角形的三邊之比為51213,則這個三角形是_(按角分類)。
4、 若一個三角形的三邊長分別為3,4,7,則這個三角形是_(按角分類)。6.勾股定理的應(yīng)用(1) 立體圖形上兩點間的最短距離柱體的側(cè)面展開圖是一個矩形,求柱體上兩點之間最短距離,需要把柱體展開成平面圖形,依據(jù)兩點之間線段最短,以最短線為邊構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解。A·B·例:有一圓柱形食品盒,它的高等于16cm,底面直徑為20cm, 螞蟻爬行的速度為2cm/s. 如果在盒外下底面的A處有一只螞蟻,它想吃到盒外對面中部點B處的食物,那么它至少需要多少時間? (結(jié)果保留) (2)平面圖形中的長短問題 在求平面圖形中某條線段的長時,可以通過設(shè)未知數(shù),構(gòu)建方程求解。例.如圖,
5、矩形紙片ABCD的長AD=9,寬AB=3,將其折疊,使點D與點B重合,那么折疊后DE的長是多少?練習(一)判斷三角形:1.已知ABC的三邊、滿足,則ABC為 三角形2.在ABC中,若=(+)(-),則ABC是 三角形,且 3.在ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,則BC的長為 4.已知則以、為邊的三角形是 5.已知 與互為相反數(shù),試判斷以、為三邊的三角形的形狀。6.已知:在ABC中,三條邊長分別為、,=,=2,=(>1) 試說明:C=。7.若ABC的三邊、滿足條件,試判斷ABC的形狀。(二)、實際應(yīng)用:1. 梯子滑動問題:(1)一架長2.5的梯子,斜立在一豎起的墻上,梯子底端
6、距離墻底0.7(如圖),如果梯子的頂端沿墻下滑0.4,那么梯子底端將向左滑動 米(2)如圖,一個長為10米的梯子,斜靠在墻面上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8米,如果梯子的頂端下滑1米,那么,梯子底端的滑動距離 1米,(填“大于”,“等于”,或“小于”)(3)如圖,梯子AB斜靠在墻面上,ACBC,AC=BC,當梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時,梯足B沿CB方向滑動y米,則x與y的大小關(guān)系是( )A. B. C. D. 不能確定(4)小明想知道學校旗桿的高度,他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子吹到地面上還多1 m,當他把繩子的下端拉開5米后,發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面,試問旗桿的高度為 米 2. 爬行距離最短問題
7、:1.如圖,一塊磚寬AN=5,長ND=10,CD上的點F距地面的高FD=8,地面上A處的一只螞蟻到B處吃食,要爬行的最短路線是 cm2.如圖,是一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20、3、2,A和B是這個臺階兩相對的端點,A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物,則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是 分米?3. 如圖,一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從點A爬到點B,則它走過的路程最短為( )A. B. C. D. (三)求邊長:1. (1)在R中,、分別是A、B、C的對邊,C=已知:=6,=10,求; 已知:=40,=9,求;2.如圖所示,在四邊形ABCD中,BAD=,DBC=,AD=3,AB
8、=4,BC=12,求CD。 (四)方向問題:1. 有一次,小明坐著輪船由A點出發(fā)沿正東方向AN航行,在A點望湖中小島M,測得MAN30°,當他到B點時,測得MBN45°,AB100米,你能算出AM的長嗎?2.一輪船在大海中航行,它先向正北方向航行8 km,接著,它又掉頭向正東方向航行15千米 此時輪船離開出發(fā)點多少km? 若輪船每航行1km,需耗油0.4升,那么在此過程中輪船共耗油多少升?(五)利用三角形面積相等:1.如圖,小正方形邊長為1,連接小正方形的三個得到,可得ABC,則邊AC上的高為( )A. B. C. D. (六)折疊問題:1.如圖,在長方形ABCD中,將ABC沿AC對折至AEC位置,CE與AD交于點F。(1)試說明:AF=FC;(2)如果AB=3,BC=4,求AF的長2.如圖,在長方形ABCD中,DC=5,在DC邊上存在一點E,沿直線AE把ABC折疊,使點D恰好在BC邊上,設(shè)此點為F,若ABF的面積為30,求折疊的AED的面積3.如圖所示,有一個直角三角形紙片,兩直角邊AC=6,BC=8,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,
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