極點配置問題

1、110.2 極點配置問題極點配置問題2概概 述述q本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋與輸出反饋來進行線性本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋與輸出反饋來進行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的定常連續(xù)系統(tǒng)的極點配置（極點配置（Pole assignment），也，也就是使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點。就是使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點。 對線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設計問題，也對線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設計問題，也有類似的方法和結論。有類似的方法和結論。3q 對線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質指標，在對線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質指標，在很大程度上是由很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點位置閉環(huán)系統(tǒng)

2、的極點位置所決定的。所決定的。 因此在進行系統(tǒng)設計時，設法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于因此在進行系統(tǒng)設計時，設法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質指標的極平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質指標的極點，是可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質指標的。點，是可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質指標的。 這樣的控制系統(tǒng)設計方法稱為這樣的控制系統(tǒng)設計方法稱為極點配置極點配置。 在經典控制理論的系統(tǒng)綜合中，無論采用在經典控制理論的系統(tǒng)綜合中，無論采用頻率域法頻率域法還是還是根軌跡法根軌跡法，都是通過改變極點的位置來改善性，都是通過改變極點的位置來改善性能指標，能指標，本質上均屬于極點配置方法本質

3、上均屬于極點配置方法。 本節(jié)所討論的極點配置問題，則是指如何通過狀態(tài)反饋本節(jié)所討論的極點配置問題，則是指如何通過狀態(tài)反饋陣陣 K 的選擇，使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好處于預的選擇，使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好處于預先選擇的一組期望極點上。先選擇的一組期望極點上。4q 由于線性定常系統(tǒng)的特征多項式為實系由于線性定常系統(tǒng)的特征多項式為實系數多項式，因此考慮到問題的可解性，數多項式，因此考慮到問題的可解性，對期望的極點的選擇應注意下列問題對期望的極點的選擇應注意下列問題:1) 對于對于 n 階系統(tǒng)，可以而且必須給出階系統(tǒng)，可以而且必須給出 n 個期望的極點個期望的極點;2) 期望的極點必須是實數

4、或成對出現(xiàn)期望的極點必須是實數或成對出現(xiàn)的共軛復數的共軛復數;3) 期望的極點必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的期望的極點必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質指標等的要求。性能品質指標等的要求。 p2 p1 p3 5q 基于指定的期望閉環(huán)極點，線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極基于指定的期望閉環(huán)極點，線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點配置問題可描述為點配置問題可描述為: 給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)給定線性定常連續(xù)系統(tǒng) 確定反饋控制律確定反饋控制律uxxBA 使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在指定的使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在指定的n個期望的個期望的閉環(huán)極點也就是成立閉環(huán)極點也就是成立vxuKnisBKAii,.,2 ,

5、1,)(*6q下面分別討論下面分別討論: 狀態(tài)反饋極點配置定理狀態(tài)反饋極點配置定理 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法 MIMO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法* 輸出反饋極點配置輸出反饋極點配置*710.2.1 狀態(tài)反饋極點配置定理狀態(tài)反饋極點配置定理q在進行極點配置時，存在如下問題在進行極點配置時，存在如下問題: 被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點滿足哪些條件被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點滿足哪些條件, 則系統(tǒng)是可以進行極點配置的。則系統(tǒng)是可以進行極點配置的。 下面的定理就回答了該問題。下面的定理就回答了該問題。8q定理定理2-1 對線性定常系統(tǒng)對線性定常系統(tǒng) (

6、A, B, C) 利用線性狀態(tài)反利用線性狀態(tài)反饋陣饋陣K，能使閉環(huán)系統(tǒng)，能使閉環(huán)系統(tǒng) K(A-BK, B, C) 的極點任意的極點任意配置的配置的充分必要條件充分必要條件為為被控系統(tǒng)被控系統(tǒng) (A, B, C) 是狀態(tài)是狀態(tài)完全可控的完全可控的。q 證明證明 (1) 先證充分性先證充分性(條件條件結論結論)。 即證明，若被控系統(tǒng)即證明，若被控系統(tǒng) (A, B, C)狀態(tài)完全可控，則狀態(tài)反狀態(tài)完全可控，則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)饋閉環(huán)系統(tǒng) K(A-BK, B, C)必能任意配置極點。必能任意配置極點。 由于由于線性變換和狀態(tài)反饋都不改變狀態(tài)可控性線性變換和狀態(tài)反饋都不改變狀態(tài)可控性，而開環(huán)，而開環(huán)被控系

7、統(tǒng)被控系統(tǒng) (A, B, C) 狀態(tài)可控，狀態(tài)可控， 因此一定存在線性變換因此一定存在線性變換能將其變換成可控標準型。能將其變換成可控標準型。 不失一般性，下面僅對可控標準型證明充分性。不失一般性，下面僅對可控標準型證明充分性。9 下面僅對下面僅對SISO系統(tǒng)進行充分性的證明，對系統(tǒng)進行充分性的證明，對MIMO系統(tǒng)可系統(tǒng)可完全類似于完全類似于SISO的情況完成證明過程。的情況完成證明過程。 證明過程的思路為證明過程的思路為:分別求出開分別求出開環(huán)與閉環(huán)系環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函統(tǒng)的傳遞函數陣數陣比較兩傳比較兩傳遞函數陣遞函數陣的特征多的特征多項式項式建立極點建立極點可任意配可任意配置的條件置的條件

8、10證明過程證明過程: 如果如果SISO被控系統(tǒng)被控系統(tǒng) (A, B, C)為可控標準型，則其各矩陣為可控標準型，則其各矩陣分別為分別為1.00.0.10bbbCBaaaAnnnn且其傳遞函數為且其傳遞函數為nnnnnasasbsbsG.)(111111 若若SISO被控系統(tǒng)被控系統(tǒng) (A, B, C) 的狀態(tài)反饋陣的狀態(tài)反饋陣 K 為為K=kn k2 k1則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng) K(A-BK, B, C) 的系統(tǒng)矩陣的系統(tǒng)矩陣 A-BK 為為111101.0.-00.1-.-.-.-nnnnkA BKaaka k 相應的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數和特征多項式相應的狀態(tài)反

9、饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數和特征多項式分別為分別為11111111.( )().()( )().()nnknnnknnnnnbsbG ssak sakfskasaks12 如果由期望的閉環(huán)極點所確定的特征多項式為如果由期望的閉環(huán)極點所確定的特征多項式為f*(s)=sn+a1*sn-1+an* 那么那么, 只需令只需令fK(s)=f*(s), 即取即取a1+k1=a1* an+kn=an* 則可將狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)則可將狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) K(A-BK, B, C)的極點配置在的極點配置在特征多項式特征多項式f*(s)所規(guī)定的極點上。所規(guī)定的極點上。 即證明了充分性。即證明了充分性。 同時，還可得到相

10、應的狀態(tài)反饋陣為同時，還可得到相應的狀態(tài)反饋陣為K=kn k2 k1 其中其中*iiikaa13(2) 再證必要性再證必要性(結論結論條件條件)。 即證明，若被控系統(tǒng)即證明，若被控系統(tǒng) (A, B, C) 可進行任意極點配置，可進行任意極點配置，則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的。則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的。 采用采用反證法反證法。 即證明，即證明，假設系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的，但可以進假設系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的，但可以進行任意的極點配置。行任意的極點配置。證明過程的思路為證明過程的思路為:對狀態(tài)不完對狀態(tài)不完全可控的開全可控的開環(huán)系統(tǒng)進行環(huán)系統(tǒng)進行可控分解可控分解對可控分對可控分解后的系解后的系統(tǒng)進行狀統(tǒng)

11、進行狀態(tài)反饋態(tài)反饋其完全不可其完全不可控子系統(tǒng)不控子系統(tǒng)不能進行極點能進行極點配置配置與假設與假設矛盾矛盾, 必必要性得要性得證證14證明過程證明過程:1111121222200AABAxxuxx其中狀態(tài)變量其中狀態(tài)變量 是完全可控的是完全可控的; 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 是完全不可控的。是完全不可控的。1 x2 x 對狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)對狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) K(A-BK,B,C)作同樣的線性變換作同樣的線性變換, 有有11111112121222200AB KAB KBA xxvxx其中其中12KKKP 被控系統(tǒng)被控系統(tǒng) (A,B,C)狀態(tài)不完全可控狀態(tài)不完全可控, 則一定存在線性變換則一定存在線性變

12、換x=Pc , 對其可進行可控分解對其可進行可控分解, 得到如下狀態(tài)空間模型得到如下狀態(tài)空間模型: x15 由上式可知，狀態(tài)完全不可控子系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣由上式可知，狀態(tài)完全不可控子系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 的特的特征值不能通過狀態(tài)反饋改變，即該部分的極點不能配置。征值不能通過狀態(tài)反饋改變，即該部分的極點不能配置。22A 雖然狀態(tài)完全可控子系統(tǒng)的雖然狀態(tài)完全可控子系統(tǒng)的 的特征值可以任意配的特征值可以任意配置，但其特征值個數少于整個系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣置，但其特征值個數少于整個系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 的的特征值個數。特征值個數。11AA 因此因此, 系統(tǒng)系統(tǒng) 的所有極點并不都能任意配置。的所有極點并不都能任意配置。( ,

13、 ,)A B C 由于線性變換不改變系統(tǒng)特征值，因此系統(tǒng)由于線性變換不改變系統(tǒng)特征值，因此系統(tǒng) (A,B,C)的的極點并不是都能任意配置的。極點并不是都能任意配置的。 這與前面假設矛盾，即證明了：這與前面假設矛盾，即證明了：被控系統(tǒng)被控系統(tǒng) 可任意配置可任意配置極點，則系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全可控的極點，則系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全可控的。 故必要性得證。故必要性得證。 16q 由可控標準型的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數由可控標準型的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數 狀態(tài)反饋雖然可以改變系統(tǒng)的極點，但狀態(tài)反饋雖然可以改變系統(tǒng)的極點，但不能改變系統(tǒng)的零點不能改變系統(tǒng)的零點。 當被控系統(tǒng)是當被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控狀態(tài)完

14、全可控時，其極點可進行任意配置。時，其極點可進行任意配置。 因此，當狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點恰好配置與開環(huán)的零點因此，當狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點恰好配置與開環(huán)的零點重合時，則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數中存在重合時，則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數中存在零極點相消零極點相消現(xiàn)象?，F(xiàn)象。11111.( )().()nnknnnnbsbG ssak sak17 根據零極點相消定理可知，閉環(huán)系統(tǒng)根據零極點相消定理可知，閉環(huán)系統(tǒng)或狀態(tài)不可控或狀或狀態(tài)不可控或狀態(tài)不可觀態(tài)不可觀。 由于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)保持其開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控由于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)保持其開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控特性，故該閉環(huán)系統(tǒng)只能是狀態(tài)不完全可觀的。特性，故該閉環(huán)系

15、統(tǒng)只能是狀態(tài)不完全可觀的。 這說明了這說明了狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性。 從以上說明亦可得知，若從以上說明亦可得知，若SISO系統(tǒng)沒有零點，則狀態(tài)反系統(tǒng)沒有零點，則狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性。饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性。1810.2.2 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法q 上述定理及其證明不僅說明了被控系統(tǒng)能進行任意極點配置上述定理及其證明不僅說明了被控系統(tǒng)能進行任意極點配置的充分必要條件，而且給出了求反饋矩陣的充分必要條件，而且給出了求反饋矩陣 K 的一種方法。對的一種方法。對此，有如下討論此，有如下討論:1. 由上述定理的充分

16、性證明中可知，對于由上述定理的充分性證明中可知，對于SISO線性定常連線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點配置問題，若其狀態(tài)空間模型為續(xù)系統(tǒng)的極點配置問題，若其狀態(tài)空間模型為可控標準可控標準型型，則相應的，則相應的反饋矩陣反饋矩陣為為K=kn k1 =an*-an a1*-a1 其中其中 ai 和和 ai*(i=1, 2, , n)分別為開環(huán)系統(tǒng)特征多項式和分別為開環(huán)系統(tǒng)特征多項式和所期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式的系數。所期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式的系數。1911AP APBP B對可控標準型對可控標準型 進行極點配置，求得相應的狀態(tài)反饋陣進行極點配置，求得相應的狀態(tài)反饋陣因此，原系統(tǒng)因此，原系統(tǒng) 的相應狀態(tài)反饋

17、陣的相應狀態(tài)反饋陣K為為*1111nnnnKaaaaaa1KKP2. 若若SISO被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為可控標準型，則由被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為可控標準型，則由9.9節(jié)討論的求可控標準型的方法節(jié)討論的求可控標準型的方法, 利用線性變換利用線性變換x=P ,將系統(tǒng)將系統(tǒng) (A,B)變換成可控標準型變換成可控標準型 , 即有即有x ( ,) A B20q 下面通過兩個例子來說明計算狀態(tài)反饋陣下面通過兩個例子來說明計算狀態(tài)反饋陣 K 的方法。的方法。q 例例2-1 設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為122131 xxu 求狀態(tài)反饋陣求狀態(tài)反饋陣K 使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為使閉環(huán)系統(tǒng)

18、的極點為 - -1j2。21q 解解 ： 1. 判斷系統(tǒng)的可控性判斷系統(tǒng)的可控性 開環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣為開環(huán)系統(tǒng)的可控性矩陣為2-41-5BAB 則開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)可控，可以進行任意極點配置。則開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)可控，可以進行任意極點配置。 2. 求可控標準型求可控標準型11111111/61/312118601052101BP BpBABpPp AAP AP 22 3. 求反饋律求反饋律 因此因此開環(huán)特征多項式開環(huán)特征多項式f(s)=s2-2s-5而由期望的閉環(huán)極點而由期望的閉環(huán)極點 -1 j2 所確定的所確定的期望閉環(huán)特征多項式期望閉環(huán)特征多項式f*(s)=s2+2s+5則得狀態(tài)反饋陣則得狀態(tài)反

19、饋陣 K 為為1*12211-1215-(-5) 2-(-2)-1861-7263KKPa aa a P2311582141713 xxu通過驗算可知，該閉環(huán)系統(tǒng)的極點為通過驗算可知，該閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-1j2，達到設計要求。，達到設計要求。則在反饋律則在反饋律 u=-Kx+v 作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為24q 例例2-2（P252 例例10-1，掌握掌握） 已知系統(tǒng)的傳遞函數為已知系統(tǒng)的傳遞函數為)2)(1(10)(ssssG 試選擇一種狀態(tài)空間實現(xiàn)并求狀態(tài)反饋陣試選擇一種狀態(tài)空間實現(xiàn)并求狀態(tài)反饋陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在極點配置在 -2 和和

20、-1j 上。上。q 解解 ： 1. 要實現(xiàn)極點任意配置，則系統(tǒng)實現(xiàn)需狀態(tài)完全可控。要實現(xiàn)極點任意配置，則系統(tǒng)實現(xiàn)需狀態(tài)完全可控。 因此，可以通過選擇可控標準型來建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)因此，可以通過選擇可控標準型來建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型?？臻g模型。250100001002311000 xxuyx2. 系統(tǒng)的開環(huán)特征多項式系統(tǒng)的開環(huán)特征多項式 f(s) 和由期望的閉環(huán)極點所確定的閉和由期望的閉環(huán)極點所確定的閉環(huán)特征多項式環(huán)特征多項式 f *(s) 分別為分別為 f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4 則相應的反饋矩陣則相應的反饋矩陣 K 為為K=a3*-a3 a2*-a2

21、a1*-a1 =4 4 1系統(tǒng)的可控標準型實現(xiàn)為系統(tǒng)的可控標準型實現(xiàn)為26q 因此，在反饋律因此，在反饋律 u=-Kx+v 下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為0100001046411000 xxuyxq 在例在例2-2中中, 由給定的傳遞函數通過狀態(tài)反饋進行極點配置時由給定的傳遞函數通過狀態(tài)反饋進行極點配置時需先求系統(tǒng)實現(xiàn)需先求系統(tǒng)實現(xiàn)，即需選擇狀態(tài)變量和建立狀態(tài)空間模型。，即需選擇狀態(tài)變量和建立狀態(tài)空間模型。 這里就存在一個所選擇的狀態(tài)變量是否可以直接測量、這里就存在一個所選擇的狀態(tài)變量是否可以直接測量、可以直接作反饋量的問題?？梢灾苯幼鞣答伭康膯栴}。27 由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)

22、內部動態(tài)運動和特性的，因由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內部動態(tài)運動和特性的，因此對于實際的控制系統(tǒng)，它可能不能直接測量，甚至此對于實際的控制系統(tǒng)，它可能不能直接測量，甚至只是抽象的數學變量而已，實際中不存在物理量與之只是抽象的數學變量而已，實際中不存在物理量與之直接對應。直接對應。 若狀態(tài)變量不能直接測量，則在狀態(tài)反饋中需要引入若狀態(tài)變量不能直接測量，則在狀態(tài)反饋中需要引入所謂的所謂的狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值，再用來估計系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值，再用此估計值來構成狀態(tài)反饋律。這將在下節(jié)中詳述。此估計值來構成狀態(tài)反饋律。這將在下節(jié)中詳述。2810.2.3 MIMO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法系

23、統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法*q MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)極點配置問題的提法為線性定常連續(xù)系統(tǒng)極點配置問題的提法為:nisBKAii,.,2 , 1,)(* 對給定的狀態(tài)完全可控的對給定的狀態(tài)完全可控的MIMO被控系統(tǒng)被控系統(tǒng)(A,B)和一組和一組所期望的閉環(huán)極點所期望的閉環(huán)極點 , 要確定要確定r n的反饋矩陣的反饋矩陣K,使成立使成立nisi,.,2 , 1,*29q 對對SISO系統(tǒng)，由極點配置方法求得的狀態(tài)反饋陣系統(tǒng)，由極點配置方法求得的狀態(tài)反饋陣K是唯一的是唯一的, 而由而由MIMO系統(tǒng)的極點配置所求得的狀態(tài)反饋陣系統(tǒng)的極點配置所求得的狀態(tài)反饋陣K不唯一。不唯一。 這也導致了求取這也導致了

24、求取MIMO系統(tǒng)極點配置問題的狀態(tài)反饋矩系統(tǒng)極點配置問題的狀態(tài)反饋矩陣的方法多樣性。陣的方法多樣性。 MIMO系統(tǒng)極點配置主要方法有系統(tǒng)極點配置主要方法有:(1) 化為單輸入系統(tǒng)的的極點配置方法化為單輸入系統(tǒng)的的極點配置方法(2) 基于基于MIMO可控標準型的極點配置方法可控標準型的極點配置方法(3) 魯棒特征結構配置的極點配置方法。魯棒特征結構配置的極點配置方法。 下面分別介紹前下面分別介紹前2種方法。種方法。 301. 化為單輸入系統(tǒng)的極點配置方法化為單輸入系統(tǒng)的極點配置方法q 對可控的多輸入系統(tǒng)，若能先通過狀態(tài)反饋化為單輸入系對可控的多輸入系統(tǒng)，若能先通過狀態(tài)反饋化為單輸入系統(tǒng)，則可以利

25、用前面介紹的統(tǒng)，則可以利用前面介紹的SISO系統(tǒng)的極點配置方法來求系統(tǒng)的極點配置方法來求解解MIMO系統(tǒng)的極點配置問題的狀態(tài)反饋矩陣。系統(tǒng)的極點配置問題的狀態(tài)反饋矩陣。q 為此，有如下為此，有如下MIMO系統(tǒng)極點配置矩陣求解算法步驟。系統(tǒng)極點配置矩陣求解算法步驟。第第1步步: 判斷系統(tǒng)矩陣判斷系統(tǒng)矩陣A是否為循環(huán)矩陣是否為循環(huán)矩陣(即每個特征值僅有即每個特征值僅有一個約旦塊或其幾何重數等于一個約旦塊或其幾何重數等于1)。 若否若否, 則先選取一個則先選取一個r n維的反饋矩陣維的反饋矩陣K1, 使使A-BK1為為循環(huán)矩陣循環(huán)矩陣,并令并令 ; 若是若是, 則直接令則直接令 。1AABKAA31

26、第第3步步: 對于等價的單輸入系統(tǒng)的極點配置問題對于等價的單輸入系統(tǒng)的極點配置問題, 利用單輸入利用單輸入極點配置方法極點配置方法, 求出狀態(tài)反饋矩陣求出狀態(tài)反饋矩陣K2, 使極點配置在期望使極點配置在期望的閉環(huán)極點的閉環(huán)極點 。nisi,.,2 , 1,*第第2步步: 對循環(huán)矩陣對循環(huán)矩陣, 適當選取適當選取r維實列向量維實列向量p, 令令b=Bp且為可且為可控的?？氐摹５诘?步步: 當當A為循環(huán)矩陣時為循環(huán)矩陣時, MIMO系統(tǒng)的極點配置反饋矩陣系統(tǒng)的極點配置反饋矩陣解解K=pK2; 當當A不為循環(huán)矩陣時不為循環(huán)矩陣時, MIMO系統(tǒng)的極點配置系統(tǒng)的極點配置反饋矩陣解反饋矩陣解K=pK2+

27、K1。32q 在上述算法中，之所以需要判斷系統(tǒng)矩陣在上述算法中，之所以需要判斷系統(tǒng)矩陣A是否為循環(huán)矩陣是否為循環(huán)矩陣是因為對單輸入系統(tǒng)是因為對單輸入系統(tǒng), 若若A不為循環(huán)矩陣不為循環(huán)矩陣(其某個特征值對應約旦塊多于一個其某個特征值對應約旦塊多于一個), 則根據推論則根據推論3-1, 系統(tǒng)直接轉化成的單輸入系統(tǒng)不可控系統(tǒng)直接轉化成的單輸入系統(tǒng)不可控, 不能進行極點配置。不能進行極點配置。q 例例2-3 設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為uxx110110100010011 求狀態(tài)反饋陣求狀態(tài)反饋陣K使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為 - 2, -1j2。 33q 解解 (1)

28、 判斷系統(tǒng)的可控性。判斷系統(tǒng)的可控性。 由于被控系統(tǒng)狀態(tài)空間模型恰為約旦規(guī)范形由于被控系統(tǒng)狀態(tài)空間模型恰為約旦規(guī)范形, 由定理由定理3-2可知可知, 該開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)可控該開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)可控, 可以進行任意極點配置。可以進行任意極點配置。(2) 由于系統(tǒng)矩陣由于系統(tǒng)矩陣A不為循環(huán)矩陣不為循環(huán)矩陣, 需求取需求取r n維的反饋矩陣維的反饋矩陣K1, 使使為循環(huán)矩陣。為循環(huán)矩陣。 試選反饋矩陣試選反饋矩陣K1為為:10000034 可以驗證可以驗證為循環(huán)矩陣。為循環(huán)矩陣。2000101111BKAA(3) 對循環(huán)矩陣對循環(huán)矩陣 , 選取選取r維實列向量為維實列向量為 p=1 1T, 可以驗證可以驗

29、證A211,200010111),(),(BpAbA 為可控的。為可控的。35(4) 對于等價的可控的單輸入系統(tǒng)對于等價的可控的單輸入系統(tǒng) 的極點配置問題的極點配置問題,利用利用單輸入極點配置方法，求出將閉環(huán)極點配置在單輸入極點配置方法，求出將閉環(huán)極點配置在-2,-1j2 的狀的狀態(tài)反饋矩陣態(tài)反饋矩陣K2為為),(bA211112121300112224312642286cTBABA BTTT AT A K2=-24 -68 50T 計算過程為計算過程為36 因此系統(tǒng)開環(huán)特征多項式因此系統(tǒng)開環(huán)特征多項式f(s)=|sI-A|=s3-4s2+5s-2, 而由期望的閉環(huán)極點而由期望的閉環(huán)極點-3,

30、 -1j2 所確定的期望的閉環(huán)特征所確定的期望的閉環(huán)特征多項式多項式f(s)=s3+4s2+9s+10 則得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣則得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣 K2 為為1*1223322112- 243110-(-2) 9-54-(-4)2642286246850ccKKTa aa aa a T 37(5) 對對MIMO系統(tǒng)的極點配置反饋矩陣解為系統(tǒng)的極點配置反饋矩陣解為4968245068241000005068241112KpKK 則在反饋律則在反饋律u=-Kx+v下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為vxx1101109813648506924496925 通過驗算可知通過驗算可知, 該閉

31、環(huán)系統(tǒng)的極點為該閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-2, -1j2, 達到設計要求。達到設計要求。 382. 基于基于MIMO可控標準型的極點配置方法可控標準型的極點配置方法q 類似于前面介紹的類似于前面介紹的SISO系統(tǒng)的極點配置方法，對可控的系統(tǒng)的極點配置方法，對可控的MIMO系統(tǒng)，也可以通過線性變換將其變換成系統(tǒng)，也可以通過線性變換將其變換成旺納姆旺納姆(W.M. Wonham)可控標準型可控標準型或或龍伯格龍伯格(D. Luenberger)可控標準型可控標準型，然后再進行相應的極點配置。然后再進行相應的極點配置。 這種基于可控標準型的極點配置方法，計算簡便，易于這種基于可控標準型的極點配置方法，計算簡

32、便，易于求解。求解。 主要有兩種方法主要有兩種方法 基于旺納姆可控標準型的設計基于旺納姆可控標準型的設計 基于龍伯格可控標準型的設計基于龍伯格可控標準型的設計39(1) 基于旺納姆可控標準型的設計基于旺納姆可控標準型的設計 q 下面結合一個下面結合一個3個輸入變量，個輸入變量，5個狀態(tài)變量的個狀態(tài)變量的MIMO系統(tǒng)的系統(tǒng)的極點配置問題，求解來介紹基于旺納姆可控標準型的極點極點配置問題，求解來介紹基于旺納姆可控標準型的極點配置算法。配置算法。第一步第一步: 先將可控的先將可控的MIMO系統(tǒng)化為系統(tǒng)化為旺納姆可控標準型旺納姆可控標準型。 不失一般性，設變換矩陣為，所變換成的旺納姆可不失一般性，設變

33、換矩陣為，所變換成的旺納姆可控標準型的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為控標準型的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為:40第二步第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點對給定的期望閉環(huán)極點 , 按旺納姆可控按旺納姆可控標準型標準型 的對角線的維數的對角線的維數, 相應地計算相應地計算1113121121222322210100000*0010000*0010*0000100*01*wwwwwATATBTB *22*212*5*4*2*13*122*113*3*2*1*1)()()()()(sssssssfassssssssssfnisi,.,2 , 1,*wA41第三步第三步: 取旺納姆可控標準型下的反饋矩陣取旺納姆可控標

34、準型下的反饋矩陣 為為*131312121111*222221210000000000wK 將上述反饋矩陣將上述反饋矩陣 代入旺納姆代入旺納姆可控標準型驗算，可得可控標準型驗算，可得wK*131211*212223222101000001000000001wwwAB K wK42第四步第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣為原系統(tǒng)的反饋矩陣為1wwKK T1wwKK T43(2) 基于龍伯格可控標準型的設計基于龍伯格可控標準型的設計 q 下面結合一個下面結合一個3個輸入變量，個輸入變量，6個狀態(tài)變量的個狀態(tài)變量的MIMO系統(tǒng)的系統(tǒng)的極點配置問題求解，來介紹基于龍伯格可控標準型的極點極點配置問題求解，來介紹

35、基于龍伯格可控標準型的極點配置算法。配置算法。第一步第一步: 先將可控的先將可控的MIMO系統(tǒng)化為龍伯格可控標準型系統(tǒng)化為龍伯格可控標準型變換。變換。 不失一般性，設變換矩陣為，所變換成的龍伯格不失一般性，設變換矩陣為，所變換成的龍伯格可控標準型的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為可控標準型的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為:441312111415161212223222126313233343531121312301000000100000001000000010011LLLLLATATBTB 45第二步第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點對給定的期望閉環(huán)極點 ，按龍伯格，按龍伯格可控標準型可控標準型 的對角線的

36、維數，相應地計算的對角線的維數，相應地計算nisi,.,2 , 1,*LA*3*2*1123111213*2*2452122*3631( )()()()( )()()( )()fssssssssssafsssssssfssss46第三步第三步: 對龍伯格對龍伯格可控標準型可控標準型，一定存在狀態(tài)反饋陣，一定存在狀態(tài)反饋陣 使得使得閉環(huán)反饋矩陣為閉環(huán)反饋矩陣為 LK*131211*2221*3101000101LLLAB K 其中其中 為期望閉環(huán)特征多項式的系數。為期望閉環(huán)特征多項式的系數。*ij 因此因此,將開環(huán)的將開環(huán)的 帶入代數上述方程，由該方程的帶入代數上述方程，由該方程的第第3, 5,

37、 6行行(即每個分塊的最后一行即每個分塊的最后一行)可得如下關于狀態(tài)可得如下關于狀態(tài)反饋陣反饋陣 的方程的方程LLAB和LK47 由代數方程論知識可知由代數方程論知識可知，上述代數方程組有唯一解。，上述代數方程組有唯一解。 由于該方程為下三角代數方程組，可以快捷地求解出狀由于該方程為下三角代數方程組，可以快捷地求解出狀態(tài)反饋矩陣。態(tài)反饋矩陣。第四步第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣為原系統(tǒng)的反饋矩陣為1wwKK T*1213131312121111141516*232122232222212126*31323334353131111LK1LLKK T48q 例例2-4 試將線性連續(xù)定常系統(tǒng)試將線性連續(xù)

38、定常系統(tǒng) 1wwKK T01000000010000310121100001004311401 xxu 的閉環(huán)極點配置在和的閉環(huán)極點配置在和 -1, -2 j, -1 2j 上。上。 49q 解解 (1) 采用旺納姆可控標準型求解。采用旺納姆可控標準型求解。第一步第一步: 按照按照4.5節(jié)求解旺納姆可控標準型的算法步驟，求得節(jié)求解旺納姆可控標準型的算法步驟，求得如下旺納姆可控標準型如下旺納姆可控標準型1wwKK T 其中變換矩陣其中變換矩陣 0100001/220010003/2200010013/2200001049/2272414241161/22xxu1410001410 0014143

39、10004310wT50第二步第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點對給定的期望閉環(huán)極點 , 按旺納姆可按旺納姆可控標準型的對角線的維數，控標準型的對角線的維數， 相應地計算相應地計算1wwKK T第三步第三步: 取旺納姆可控標準型下的反饋矩陣為取旺納姆可控標準型下的反饋矩陣為nisi,.,2 , 1,*5*543211( )()+7+24+48+55 +25iifssssssss32796226300000wK 則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為:511wwKK T01000001000001000001255548247wwwAB K 52第四步第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣和閉環(huán)系統(tǒng)矩陣分

40、別為原系統(tǒng)的反饋矩陣和閉環(huán)系統(tǒng)矩陣分別為 1wwKK T110412066150188100000220100000100-38/22-98/22-3-128/22-144/2200001431-1-4wwKK TABK53(2) 采用龍伯格可控標準型求解。采用龍伯格可控標準型求解。第一步第一步: 按照按照4.5節(jié)求解龍伯格可控標準型的算法步驟求得如節(jié)求解龍伯格可控標準型的算法步驟求得如下龍伯格可控標準型下龍伯格可控標準型1wwKK T 其中變換矩陣其中變換矩陣 01000000010000430121100001003101401xxu1000001000 001001001001001LT

41、54第二步第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點對給定的期望閉環(huán)極點 ，按龍伯格可，按龍伯格可控標準型的對角線的維數，相應地計算控標準型的對角線的維數，相應地計算1wwKK T第三步第三步: 期望的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為期望的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為 nisi,.,2 , 1,*321*22( )(1)(2)(2)595( )(12 )(12 )25fsssj sjsssfssj sjss 0100015950152LLLAB K 55 因此狀態(tài)反饋陣滿足的方程為因此狀態(tài)反饋陣滿足的方程為即即 *121313121211111415*2122232222212111LK119125120131042LK 因此可以解得因

42、此可以解得61353431042LK56第四步第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣和閉環(huán)系統(tǒng)矩陣分別為原系統(tǒng)的反饋矩陣和閉環(huán)系統(tǒng)矩陣分別為 199534110420100000100595000000152152LLKK TABK 5710.2.4 輸出反饋極點配置輸出反饋極點配置*q 由于輸出變量空間可視為狀態(tài)變量空間的子空間，因此輸出由于輸出變量空間可視為狀態(tài)變量空間的子空間，因此輸出反饋也稱之為反饋也稱之為部分狀態(tài)反饋部分狀態(tài)反饋。 由于輸出反饋包含的信息較狀態(tài)反饋所包含的信息少，由于輸出反饋包含的信息較狀態(tài)反饋所包含的信息少，因此輸出反饋的控制與鎮(zhèn)定能力必然要比狀態(tài)反饋弱。因此輸出反饋的控制與鎮(zhèn)定能力必然要比狀態(tài)反饋弱。q 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出反饋極點配置問題可描述為線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出反饋極點配置問題可描述為: 給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)ABCxxuyx58確定反饋控制律確定反饋控制律 使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在