定積分計(jì)算公式和性質(zhì).

1、第二節(jié)定積分計(jì)算公式和性質(zhì)一、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設(shè)x 為上的任一點(diǎn)，于是，在區(qū)間上的定積分為這里 x 既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無(wú)關(guān)，故可將此改為如果上限x 在區(qū)間上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的x 值，定積分有一個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng)，所以定積分在上定義了一個(gè)以x 為自變量的函數(shù)，我們把稱為函數(shù)在區(qū)間上變上限函數(shù)記為圖5-10從幾何上看，也很顯然。因?yàn)閄 是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從而以線段為底的曲邊梯形的面積，必然隨著底數(shù)端點(diǎn)的變化而變化，所以陰影部分的面積是端點(diǎn)x 的函數(shù)（見(jiàn)圖5-10）定積分計(jì)算公式利用定義計(jì)算定積分的值是十分麻煩的，有時(shí)甚至無(wú)法計(jì)算。因此， 必須尋求

2、計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便方法。我們知道：如果物體以速度作直線運(yùn)動(dòng)，那么在時(shí)間區(qū)間上所經(jīng)過(guò)的路程 s 為圖 5-11另一方面，如果物體經(jīng)過(guò)的路程s 是時(shí)間 t 的函數(shù)，那么物體從t=a 到 t=b所經(jīng)過(guò)的路程應(yīng)該是（見(jiàn)圖5-11 ）即由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知：即是一個(gè)原函數(shù)， 因此， 為了求出定積分，應(yīng)先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再求在區(qū)間上的增量即可。如果拋開(kāi)上面物理意義，便可得出計(jì)算定積分的一般方法：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是的一個(gè)原函數(shù)，即，則這個(gè)公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。為了使用方便，將公式寫成牛頓 -萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個(gè)函數(shù)定積分等于這個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在積分上、 下限處函數(shù)值

3、之差。 它揭示了定積分和不定積分的內(nèi)在聯(lián)系， 提供了計(jì)算定積分有效而簡(jiǎn)便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應(yīng)用。例1 計(jì)算因?yàn)槭堑囊粋€(gè)原函數(shù)所以例2求曲線和直線 x=0 、x=及 y=0所圍成圖形面積 A(5-12)解這個(gè)圖形的面積為圖5-12二、定積分的性質(zhì)設(shè)、在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，利用前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，可以得到定積分以下幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)：性質(zhì) 1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分符號(hào)前面，即(A 為常數(shù) )性質(zhì) 2函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和，即這個(gè)性質(zhì)對(duì)有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和也成立。性質(zhì) 3積分的上、下限對(duì)換則定積分變號(hào)，即以上性質(zhì)用定積分的定義及牛頓-萊布尼茲公式均可證明，此處證明從略。性

4、質(zhì) 4如果將區(qū)間分成兩個(gè)子區(qū)間及那么有這個(gè)于區(qū)間分成有限個(gè)的情形也成立。下面用定積分的幾何意義，對(duì)性質(zhì)4加以說(shuō)明。當(dāng) a<c<b 時(shí)，從圖 5-13a 可知，由 y=f與和 x=a x=b 及 x 軸圍成的曲邊梯形面積:圖 5-13a圖 5-13b因?yàn)樗约葱再|(zhì) 4成立。當(dāng) a<b<c 時(shí)，即點(diǎn)c 在外，由圖 5-13b 可知，顯然，性質(zhì) 4也成立。總之，不論c 點(diǎn)在內(nèi)還是外，性質(zhì) 4總是成立的。例 3 求例 4求解=例 5 求解所以例 6 求解于是，例7設(shè)求解 因?yàn)樗?例 8火車以v=72km/h的速度在平直的軌道上行駛，到某處需要減速停車。設(shè)火車以加速度 a=-5m/剎車。問(wèn)從開(kāi)始剎車到停車，火車走了多少距離？解首先要算出從開(kāi)始剎車到停車經(jīng)過(guò)時(shí)間。當(dāng)時(shí)火車速度剎車后火車減速行駛。其速度為當(dāng)火車停住時(shí)，速度，故從解得于是在這段時(shí)間內(nèi)，火車走過(guò)的距離為=即在剎車后，火車需走過(guò)40m 才能停住。習(xí)題5-21 求下列定