平面向量應(yīng)用舉例(4)課件

1、平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法 向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)代數(shù)”的計(jì)的計(jì)算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。來極大的方便。 由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算

2、及數(shù)量積表示出來，因此，利量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。問題：?jiǎn)栴}：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？,ACABAD ,DBABAD ABCD猜想：猜想：2.類比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？類比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？例例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知：

3、平行四邊形已知：平行四邊形ABCD。求證：求證：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：設(shè)解：設(shè) ，則，則 baDBbaACaDAbBC;,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo)。問題；常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo)。（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，）通過向量運(yùn)

4、算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”：簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：形到向量形到向量 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形向量和數(shù)到形例例2 如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E、F分別是分別是AD 、 DC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，BE 、 BF分別與分別與AC交于交于R 、 T兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)你能發(fā)現(xiàn)AR 、 RT 、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC又因?yàn)橛忠驗(yàn)?共線，共線，所以設(shè)所

5、以設(shè)E RE B與與12()ERmEBm ab 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以A RA EE R 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRTbaACbADaAB,解：設(shè)解：設(shè) 則則由于由于 與與 共線，故設(shè)共線，故設(shè)ARACRnbanrAR,)(102()()mnm anb 即即0102nmmn ,a b由由于于向向量量不不共共線線，1 1解解 得得 ： n n= = m m = =3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT練習(xí)練習(xí)1、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知如圖所示，已知 O，AB為直徑，為直徑，C為為 O上任意一點(diǎn)。求證上任意一點(diǎn)。求證ACB=90分析分析：要證要證ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：解：設(shè)設(shè) 則則 ，由此可得由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即即 ，得，得 ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？坐標(biāo)形式證明？ab練習(xí)練習(xí)2平行四邊形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),用向量方法,求EF:FD的值(可選 為基底)bADaAB,A