高等數(shù)學第07章：定積分的幾何應(yīng)用ppt課件

1、n一、定積分的微元法n二、用定積分求平面圖形的面積n、在直角坐標系中求平面圖形的面積 n、在極坐標系下求平面圖形的面積 n三、用定積分求體積n、旋轉(zhuǎn)體的體積n四、平面曲線的弧長第一節(jié)第一節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用 微元法是運用定積分解決實際問題的常用方法. 定積分所要解決的問題是求非均勻分布的整體量如:曲邊梯形面積). 采用“分割取近似,求和取極限的四個步驟,通過 分割將整體問題化為局部問題,以均勻代替非均勻或以直代曲)求得近似值,再通過求和取極限得到精確值. 其中第二步是關(guān)鍵. 下面先回顧求曲邊梯形面積的四個步驟 一、 定積分的微元法 確定各部分量的近似值確定各部分量的近似值( (

2、小矩形面積小矩形面積););iiixfA)( 分割區(qū)間分割區(qū)間a,b,a,b,將所求量將所求量( (曲邊梯形面積曲邊梯形面積 ) ) 分為部分量分為部分量( (小曲邊梯形面積小曲邊梯形面積 ）之和）之和; ;AiA 求曲邊梯形面積的四個步驟求曲邊梯形面積的四個步驟: :niiixfA1)( 求和得所求量的近似值各小矩形面積之和求和得所求量的近似值各小矩形面積之和););niiixfA10)(lim 對和式取極限得所求量的精確值曲邊梯形面積）對和式取極限得所求量的精確值曲邊梯形面積）. .于是面積就是將這些微元在區(qū)間上的于是面積就是將這些微元在區(qū)間上的“無限累無限累加加”, ”, 即從即從 到到

3、 的定積分的定積分. .這個方法通常稱為這個方法通常稱為 微元分析法微元分析法, ,簡稱微元法簡稱微元法. .abx其中形式其中形式 與積分式中的被積式與積分式中的被積式 具有相同的形式具有相同的形式. .如果把如果把 用用 替代替代, , 用用 替代替代, , 這這樣上述四個步驟簡化為兩步：樣上述四個步驟簡化為兩步：xxfd)(ixiixf )(ixd 第二步找到面積微元第二步找到面積微元 求定積分求定積分. .xxfd)( 第一步選取積分變量第一步選取積分變量 并確定其范圍并確定其范圍 ；x , a bn概括可得：凡是具有可加性連續(xù)分布的非均勻量的求和問題, 一般可通過微元法得到解決n操作

4、步驟： n 建立坐標系,選取積分變量并確定積分區(qū)間；n 找到相應(yīng)的微元；n 以此微元作積分表達式,在積分區(qū)間上求定積分.n微元法在自然科學研究和生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用 由微元法分析：由微元法分析： 其中面積微元為其中面積微元為 ， 它表示高為它表示高為 、底為、底為 的一個矩形面積的一個矩形面積. .xxfd)()(xfxd 、在直角坐標系中求平面圖形的面積、在直角坐標系中求平面圖形的面積 由定積分幾何意義可知由定積分幾何意義可知, ,當當 時時, ,由曲線由曲線 ，直線，直線 與與 軸所圍成軸所圍成的曲邊梯形的面積的曲邊梯形的面積 為定積分為定積分即即0)(xf)(xfy ( )dbaAf

5、 xxbxax ,)(ba xA二、用定積分求平面圖形的面積二、用定積分求平面圖形的面積 由定積分幾何意義可知由定積分幾何意義可知, ,當當 時時, ,由曲由曲線線 ，直線，直線 與與 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積A A為為 . .( )0f x )(xfy ( )dbaAf xx bxax ,)(ba x)(xf 當當 在區(qū)間在區(qū)間 上的值有正有負時，則曲上的值有正有負時，則曲線線 ，直線，直線 與與 軸圍成的面積是在軸圍成的面積是在 軸上方和下方曲邊梯形面軸上方和下方曲邊梯形面積的差積的差. . 同樣可由微元法分析同樣可由微元法分析x,ba)(xfy bxax ,x)(

6、ba 其中面積微元為其中面積微元為. .xxgxfAd)()(d bxax ,)()(xgxf ),(),(xgyxfy baxxgxfAd)()( 一般地，根據(jù)微元法由曲線一般地，根據(jù)微元法由曲線 及直線及直線 所圍的圖形如下圖的面積為所圍的圖形如下圖的面積為 注意注意 ：曲線：曲線 的上下位置的上下位置( ),( )yf xyg x 由微元法分析由微元法分析 ： (1) (1)在區(qū)間在區(qū)間 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 , ,在此小區(qū)間在此小區(qū)間上的圖形面積近似于高為上的圖形面積近似于高為 , ,底為底為 的小矩的小矩形面積形面積, ,從而得面積微元為從而得面積微元為 , a bd,xxx d

7、xxxgxfAd)()(d ( )( )f xg x(2)(2)以以 為被積表達式為被積表達式, ,在區(qū)間在區(qū)間 作定作定積分就是所求圖形的面積積分就是所求圖形的面積. .( )( )f xg x , a b baxxgxfAd)()( 類似地類似地, ,由曲線由曲線 及直線及直線 所圍成的平面圖形所圍成的平面圖形( (如下圖如下圖) )的面積為的面積為 ),(),(yxyx )()(yy dycy , dcyyyAd)()( d ( )( )dAyyy其中面積微元其中面積微元 注意注意 ：曲線：曲線 的左右位置的左右位置. .( ),( )xyxy 利用微元法求面積：利用微元法求面積： 例例

8、1 1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線 所所圍成圖形的面積圍成圖形的面積yxxy22, 解解: :作出圖形，確定積分變量作出圖形，確定積分變量 ， 解方程組解方程組 得兩條拋物線的交點為得兩條拋物線的交點為 (0,0) (0,0)和和(1,1)(1,1)， 則積分區(qū)間為則積分區(qū)間為0,10,1 （如右圖所示）（如右圖所示）22xyxyx 在積分區(qū)間在積分區(qū)間0,10,1上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間 ， 與之相應(yīng)的窄條的面積近似地等于高為與之相應(yīng)的窄條的面積近似地等于高為 、 底為底為 的矩形面積如上頁圖中陰影部分的面積）的矩形面積如上頁圖中陰影部分的面積）, , 從而得面積微元從而得面積微元

9、d,xxx 2xx xdxxxAd)(d2 xxxAAd)(d10210 31013132323xx 求定積分得所求圖形面積為求定積分得所求圖形面積為 解解:(:(方法一方法一) (1) ) (1) 作圖，選定作圖，選定 為積分變量，為積分變量， 解方程組解方程組 得兩曲線的交點為得兩曲線的交點為(1,1)(1,1)， 可知積分區(qū)間為可知積分區(qū)間為0,1.0,1. （如右圖所示）（如右圖所示）22)2(xyxyy 例例: :求曲線求曲線 與與 軸圍成平面圖軸圍成平面圖形的面積形的面積x22)2(,xyxy (2) (2)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 ，對應(yīng)的，對應(yīng)的 窄條面

10、積近似于高為窄條面積近似于高為 底為底為 的矩形面積，從而面積微元為的矩形面積，從而面積微元為 yy )2(yyyAd)2(d yy d)1(2 ,dyy y dy3201)342(d)1(22310 yyyyA（3 3所求圖形的面積為所求圖形的面積為 在在0,10,1上的微元為上的微元為 在在1,21,2上的微元為上的微元為 xxAdd21 xxAd)2(d22 解解:(:(方法二方法二) )若選取若選取 作為積分變量，容易得出積分區(qū)間作為積分變量，容易得出積分區(qū)間為為0,20,2，但要注意，面積微元在，但要注意，面積微元在0,10,1和和1,21,2兩部分區(qū)間兩部分區(qū)間上的表達式不同如下圖

11、所示）上的表達式不同如下圖所示）x故所求面積為故所求面積為 102121ddAAA122201d(2) d23xxxx 這種解法比較繁瑣，因而，選取適當?shù)姆e分變量，可使問題這種解法比較繁瑣，因而，選取適當?shù)姆e分變量，可使問題簡化簡化 另外，還應(yīng)注意利用圖形的特點如對稱性），以簡化另外，還應(yīng)注意利用圖形的特點如對稱性），以簡化分析、運算分析、運算 解解 由右圖所示由右圖所示 選取選取 為積分變量，為積分變量， 記第一象限內(nèi)陰影記第一象限內(nèi)陰影 部分的面積為部分的面積為 ， 利用函數(shù)圖形的對稱性，利用函數(shù)圖形的對稱性，1Ay 例例3 3 求求 與半圓與半圓 所圍圖形的面所圍圖形的面積積)0(222

12、 xyxxy 2 10221d)2(22yyyAA3212(2arcsin)0232123yyyy可得圖形的面積為可得圖形的面積為: :n步驟：n作草圖，確定積分變量和積分限；n求出面積微元；n計算定積分n注意：n積分變量選取要適當；n合理利用圖形的特點如對稱性）.)( 即曲邊扇形的面積微元為即曲邊扇形的面積微元為 曲邊扇形的面積為曲邊扇形的面積為 d)(212rA d)(21d2rA 、在極坐標系下求平面圖形的面積、在極坐標系下求平面圖形的面積 計算由曲線計算由曲線 及射線及射線 圍成的圍成的曲邊扇形的面積如下圖所示）曲邊扇形的面積如下圖所示） ,)( rr 利用微元法，取極角利用微元法，取

13、極角 為積分變量，它的變化區(qū)間為積分變量，它的變化區(qū)間為為 . .在任意小區(qū)間在任意小區(qū)間 上相應(yīng)的小曲邊上相應(yīng)的小曲邊扇形的面積可用半徑為扇形的面積可用半徑為 中心角為中心角為 的圓扇的圓扇形的面積近似代替，形的面積近似代替， , d, )( rr d 解解: : 取取 為積分變量為積分變量, , 面積微元為面積微元為 于是于是 21d() d2Aa3222220340232d)(21 aaaA 例例 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線 上對應(yīng)上對應(yīng) 于于 從變到從變到 的一段的一段 曲線與極軸所圍成圖形的曲線與極軸所圍成圖形的 面積面積. .（右圖所示）（右圖所示） a )0( a 2 例例

14、5 5 計算雙紐線計算雙紐線 所圍成的平面圖形的面積下圖所示）所圍成的平面圖形的面積下圖所示） 2cos22ar )0( a 解因解因 , ,故故 的變化范圍是的變化范圍是 , , 圖形關(guān)于極點和極軸均對稱圖形關(guān)于極點和極軸均對稱 面積微元為面積微元為21dcos2 d2Aa02 r 45,43 24024021cos 2d4214sin 222aAaa故所求面積為故所求面積為 設(shè)一立體介于過點設(shè)一立體介于過點 且垂直于且垂直于 軸的兩軸的兩平面之間，如果立體過平面之間，如果立體過 且垂直于且垂直于 軸的截軸的截面面積面面積 為為 的已知的已知 連續(xù)函數(shù)，則稱此立體為連續(xù)函數(shù)，則稱此立體為 平

15、行截面面積已知的立體，平行截面面積已知的立體， 如右圖所示如右圖所示,xa xbxx,xa b( )A xx、平行截面面積已知的立體體積、平行截面面積已知的立體體積下面利用微元法計算它的體積下面利用微元法計算它的體積三、用定積分求體積三、用定積分求體積( )dbaVA xx于是所求立體的體積為于是所求立體的體積為 d( )dVA xx即體積微元為即體積微元為 ,a b 取取 為積分變量為積分變量, ,它的變化區(qū)間為它的變化區(qū)間為 , ,立體中立體中相應(yīng)于相應(yīng)于 上任一小區(qū)間上任一小區(qū)間 的薄片的體的薄片的體積近似等于底面積為積近似等于底面積為 , ,高為高為 的扁柱體的體積的扁柱體的體積( (

16、右圖所示右圖所示) )，( )A xd xx,a b,dx xx 解：解：( (法一法一) ) 取平面與圓柱體底面的交線為取平面與圓柱體底面的交線為 軸軸, ,底底 面上過圓中心且垂直于面上過圓中心且垂直于 軸的直線為軸的直線為 軸軸, ,建立建立 坐標系坐標系. .如右圖所示如右圖所示 此時此時, ,底圓的方程為底圓的方程為 立體中過點立體中過點 且且 垂直于垂直于 軸的截面軸的截面 是一個直角三角形是一個直角三角形. .xxxy222xyRx 例例6 6 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心, ,并與底并與底面交成角面交成角 ( (如下圖如下圖) )，計算

17、這個平面截圓柱所得立體的體，計算這個平面截圓柱所得立體的體積積. .R它的兩條直角邊的長度分別是它的兩條直角邊的長度分別是 及及即即 及及 于是截面面積為于是截面面積為y22Rxtany22tanRx221( )()tan2A xRx故所求立體的體積為223231()t and212t ant an233RRVRxxxRRxRR ( (法二法二) ) 取坐標系同上下圖所示），過取坐標系同上下圖所示），過 軸上點軸上點 作垂直于作垂直于 軸的截面軸的截面, ,則截得矩形則截得矩形, , 其高為其高為 、底為、底為 , ,yyytany222 Ry22( )2tanA yyRy從而截面面積為從而截

18、面面積為 于是所求立體的體積為02202222032223( )d2tandtand().2tan()032tan3RRRVA yyyRyyRyRyRRyR 從而從而, ,所求的體積為所求的體積為 、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積 應(yīng)用定積分計算由曲線應(yīng)用定積分計算由曲線 直線直線 及及 軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的 立體體積下圖所示）立體體積下圖所示）,xa xb( )yf xxxx 取取 為積分變量為積分變量, ,其變化區(qū)間為其變化區(qū)間為 , ,由于過點由于過點 且垂且垂直于直于 軸的平面截得旋轉(zhuǎn)體的截面是半徑為軸的平面截得旋轉(zhuǎn)體的截面是半徑為

19、 的圓的圓, ,其面積為其面積為xx,a b( )f x2( )( )A xf x2( )d( )dbbaaVA xxf xx該旋轉(zhuǎn)體的體積為類似地類似地, ,若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 , ,直線直線 及及 軸所圍成的圖形軸所圍成的圖形, ,繞繞 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而成一周而成( (下圖所示下圖所示),),( )xy,yc ydyy 2ddcVyy 解：解： 如右圖所示如右圖所示, ,所求體積所求體積 例例 求由曲線求由曲線 與直線與直線 及及 軸所圍成的圖形繞軸所圍成的圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積. .(0)xya a,2xa xaxx2

20、2222dd1212aaaaVyxaxxaaaxa例例8 8 求底圓半徑為求底圓半徑為 高為高為 的圓錐體的體積的圓錐體的體積hr 解解 以圓錐體的軸線為以圓錐體的軸線為 軸，頂點為原點建立直角坐軸，頂點為原點建立直角坐標系下圖所示）標系下圖所示） 過原點及點過原點及點 的直線方程為的直線方程為 此圓錐此圓錐 可看成由直線可看成由直線 及及 軸所圍成的軸所圍成的 三角形繞三角形繞 軸旋轉(zhuǎn)而成，軸旋轉(zhuǎn)而成，( , )P h rryxhxhryxhxxx故其體積為 220023220dd133hhhrVyxxxhrxr hh 設(shè)有一條光滑曲線弧設(shè)有一條光滑曲線弧 , ,現(xiàn)在現(xiàn)在計算它的長度稱為弧長

21、）計算它的長度稱為弧長） ( )()yf x axbs所謂光滑曲線是指曲線所謂光滑曲線是指曲線 在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)各點存在不垂直于內(nèi)各點存在不垂直于 軸的切線，軸的切線， 并且切線隨切點的移動并且切線隨切點的移動 而連續(xù)轉(zhuǎn)動；而連續(xù)轉(zhuǎn)動； 即即 在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 在在 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)( )yf x,a b( , )a bx,a b( )f x( )fx( , )a b四、平面曲線的弧長四、平面曲線的弧長 以以 為積分變量，相應(yīng)于為積分變量，相應(yīng)于 上任一小區(qū)間上任一小區(qū)間 的一段弧長的一段弧長 可用曲線在可用曲線在 點點 處切線上相應(yīng)小段直線處切線上相應(yīng)小段直線 的長度來的長度

22、來近似代替如上圖所示）近似代替如上圖所示）x,a b ,x xdxsMN MT( ,( )x f x切線上小段直線的長度為切線上小段直線的長度為 因而弧長微元也稱為弧微分為因而弧長微元也稱為弧微分為 從從 到到 積分得積分得222(d )d1( ) dxyyx2d1( ) dsyx221( ) d1( )dbbaasyxf xxab 例例9 9 求曲線求曲線 的長的長233dxytt 解解 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為 ， 故故 于是于是 23,3 ,3yx且22d1( ) d4dsyxxx3322304d24dsxxxx233002sin22cos2cos d8cosdxtttttt3014

23、4(sin 2 )3.23tt()t 若曲線弧若曲線弧 由參數(shù)方程由參數(shù)方程 給給出，其中出，其中 在在 上具有連續(xù)導數(shù)，上具有連續(xù)導數(shù)，則弧微元為則弧微元為從而，所求弧長為從而，所求弧長為 ( )( )xtyt( ), ( )tt ,a22d( )( )dsttt 22( ) dastttAB 例例10 10 求曲線求曲線 上相應(yīng)于從上相應(yīng)于從 到到 一段的弧長其中一段的弧長其中 ）(cossin ),(sincos )xatttyattt0t t0a datt 解解 因為因為 ， 所以所以 從而從而( )cos ,( )sinx tatt y tatt2222d ( ) ( ) dcoss

24、indsx ty ttattattt2200d22tasatta一、變力作功二、液體的壓力第二節(jié)第二節(jié) 定積分在的物理學中的應(yīng)用定積分在的物理學中的應(yīng)用v 設(shè)一物體受連續(xù)變力設(shè)一物體受連續(xù)變力 的作用的作用,沿力的沿力的方向作直線運動方向作直線運動,求物體從求物體從 移動到移動到 ,變力變力 所作的功如下圖所示）所作的功如下圖所示）.v ( )F xab( )F x 由于由于 是變力是變力, ,因此這是一個非均勻變因此這是一個非均勻變化的問題化的問題. .所求的功為一個整體量所求的功為一個整體量, ,在在 上具有可加性上具有可加性, ,可用定積分的微元法求解可用定積分的微元法求解. .( )F

25、 x , a b一、變力作功 在 上任一小區(qū)間 .由于 是連續(xù)變化的,當 很小時 變化不大可近似看作常力,因而在此小段上所作的功近似為在 上的功微元 . 因而,從 到 變力所作的功為 ( )F x , a bd( )dWF xxab( )dbaWF xx , a b ,d x xxdx( )F x 析析 ：這個電場對周圍的電荷有作用力，由：這個電場對周圍的電荷有作用力，由庫侖定律知，位于庫侖定律知，位于 軸上距原點軸上距原點 米處的米處的單位正電荷受到的電場力大小為單位正電荷受到的電場力大小為 （牛頓），其中（牛頓），其中 為常數(shù)為常數(shù)xx2( )qF xkxk例例1 1 把電量為把電量為+ + （庫侖的點電荷放在（庫侖的點電荷放在 軸原點處軸原點處, ,形成一個電場形成一個