分段函數(shù)和抽象函數(shù)的各種題型

1、.課 題分段函數(shù)與抽象函數(shù)教學(xué)目標(biāo)掌握分段函數(shù)和抽象函數(shù)的各種題型重點、難點抽象函數(shù)的綜合問題教學(xué)內(nèi)容分段函數(shù)的幾種常見題型及解法【關(guān)鍵詞】 分段函數(shù); 定義域; 值域或最值; 函數(shù)值; 解析式; 圖像; 反函數(shù); 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內(nèi), 有不同的對應(yīng)法則的函數(shù), 它是一個函數(shù), 卻又常常被學(xué)生誤認為是幾個函數(shù); 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集, 其值域也是各段函數(shù)值域的并集. 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程度的考察上有較好的作用, 時常在高考試題中“閃亮”登場, 就幾種具體的題型做了一些思考, 解析如下：1求分段函數(shù)

2、的定義域和值域例1求函數(shù)的定義域、值域. 【解析】作圖, 利用“數(shù)形結(jié)合”易知的定義域為, 值域為. 2求分段函數(shù)的函數(shù)值例2（05年浙江理）已知函數(shù)求. 【解析】因為, 所以. 3求分段函數(shù)的最值例3求函數(shù)的最大值. 【解析】當(dāng)時, , 當(dāng)時, , 當(dāng)時, , 綜上有. 4求分段函數(shù)的解析式例4在同一平面直角坐標(biāo)系中, 函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱, 現(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個單位, 再沿軸向上平移1個單位, 所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）, 則函數(shù)的表達式為（ ）【解析】當(dāng)時, , 將其圖象沿軸向右平移2個單位, 再沿軸向下平移1個單位, 得解析式為, 所以, 當(dāng)時, , 將其圖

3、象沿軸向右平移2個單位, 再沿軸向下平移1個單位, 得解析式, 所以, 綜上可得, 故選A. 5作分段函數(shù)的圖像例5函數(shù)的圖像大致是（ ）6求分段函數(shù)得反函數(shù)例6已知是定義在上的奇函數(shù), 且當(dāng)時, , 設(shè)得反函數(shù)為, 求的表達式. 【解析】設(shè), 則, 所以, 又因為是定義在上的奇函數(shù), 所以, 且, 所以, 因此, 從而可得. 7判斷分段函數(shù)的奇偶性例7判斷函數(shù)的奇偶性. 【解析】當(dāng)時, , , 當(dāng)時, , 當(dāng), , 因此, 對于任意都有, 所以為偶函數(shù). 8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例8判斷函數(shù)的單調(diào)性. 【解析】顯然連續(xù). 當(dāng)時, 恒成立, 所以是單調(diào)遞增函數(shù), 當(dāng)時, 恒成立, 也是單調(diào)遞增函

4、數(shù), 所以在上是單調(diào)遞增函數(shù); 或畫圖易知在上是單調(diào)遞增函數(shù). 例9寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間. 【解析】, 畫圖易知單調(diào)減區(qū)間為. 9解分段函數(shù)的方程例10（01年上海）設(shè)函數(shù), 則滿足方程的的值為【解析】若, 則, 得, 所以（舍去）, 若, 則, 解得, 所以即為所求. 10解分段函數(shù)的不等式例11設(shè)函數(shù), 若, 則得取值范圍是（ ）【解析1】首先畫出和的大致圖像, 易知時, 所對應(yīng)的的取值范圍是. 【解析2】因為, 當(dāng)時, , 解得, 當(dāng)時, , 解得, 綜上的取值范圍是. 故選D. 例12設(shè)函數(shù), 則使得的自變量的取值范圍為（ ）A B. C. D. 【解析】當(dāng)時, , 所以, 當(dāng)時, ,

5、 所以, 綜上所述, 或, 故選A項. 【點評：】 以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中, 不難得到一種解題的重要途徑, 若能畫出其大致圖像, 定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等問題就會迎刃而解, 方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來解, 使問題得到大大簡化, 效果明顯. 抽象函數(shù)抽象函數(shù)是指沒有明確表達式但有運算規(guī)律及函數(shù)性質(zhì)的函數(shù)。解決抽象函數(shù)問題，主要采取“賦值法”（取點或字母）整體迭代法，但核心是方法的發(fā)現(xiàn)，要掌握好抽象函數(shù)就必須有強烈目標(biāo)意識、清晰的解題思路。<一>、選擇題1、 已知滿足，對任意都有：則為（）A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、非奇非偶函數(shù)D、

6、奇偶性不確定解：令令是偶函數(shù)（或取符合條件）選B2、已知對任意有（） A、2008B、2006C、1004D、1003解：令，又令得：選C3、函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意都有，那么等于()A、3996B、1998C、2000D、0解：（奇函數(shù)有）選D4、已知定義在上的函數(shù)滿足條件則（ ）A、0 B、1 C、 D、2解：令兩兩不等， 選A5、已知函數(shù)與都要存在反函數(shù)，且與的圖象關(guān)于直線對稱，若：（ ）A、2004B、2005C、2006D、2007解法一：得：重合 解法二：在圖象上，從而有點在圖象上在圖象上在圖象上，即有選C6、函數(shù)是在上有定義的增函數(shù)，滿足（）A、1B、0C、D、解：再令若

7、矛盾，選D<二>、填空題7、已知滿足，則的解析式為_解：令8、已知是定義在非負整數(shù)集上的函數(shù)，且對任意正整數(shù)都有：若_解：已知得相加得：周期為6 （另解：看作數(shù)列周期為6）9、若滿足=_解：10、已知和在上有定義，對任意都有：成立，若_解：，令得： 即： （取符合題意）<三>、解答題11、定義在R上的函數(shù)滿足，且求證：求證：是偶函數(shù)證明：令令 即是偶函數(shù)12、已知是定義在R上的函數(shù)，當(dāng) 證明：對 證明：是R上的增函數(shù)證明： 令（1）設(shè)（2）結(jié)合已知與（1）、（2）知對都有（另證：設(shè)。反證：設(shè)存在使，則有：與矛盾。）設(shè)，且由知為正數(shù)，13、設(shè)是定義在上的函數(shù)，對任意正數(shù)都有：、求證：、若時，有>0，