圓的方程與性質(zhì)專題教師版

1、圓的方程及其性質(zhì)專題1.知識點：圓的定義：動點到定點的距離相等的所有點的集合圓的標準方程：222222xy=r(x-a)(y-b);r圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0其中，D2+E24F0圓心坐標(2，-),半徑LD2+E24F222方程Ax2BxyCy2DxEyF=0A=Cw0表示圓的充要條件：B=0_2_2一D+E-4AF0圓的參數(shù)方程關于參數(shù)方程與普通方程x=f(t)(1)即對于曲線上任意一點的坐標M(x,y)都是某個變數(shù)t的函數(shù)，y=g(t)并且對于t的每一個允許值，由方程組(1)所確定的M(x,y)都在這條曲線上，那么方程組為這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間的變數(shù)t稱為

2、參變數(shù)，簡稱參數(shù)。點與圓的位置關系若圓方程為x2+y2=r2點(x0,y0)則x2+y2r2點(x0,y0)在圓外x2+y；=r2點(x,y)在圓上x=rcos9y=rsinu圓心(0,0),半徑rx=arcos?y=brcos?圓心(a,b),半徑rx2+y；r2點(x,y)在圓內(nèi)直線與圓設圓的方程為f(x,y)=0,直線方程為Ax+By+C=0,圓心到直線Ax十By+C=0的距離為d,圓心半徑為rf(x，y)=0ru相離 u無解AxByC=0d=rud=ru 相切 uFuF(x(x y)y)= =有唯一解AxByC=0drudru 相交 uJuJ(x(x，y)y)- -0 0有兩解AxBy

3、C=0弦長公式、切線方程：圓與圓的位置關系設圓心距為d,兩圓半徑分別為ri和2,dar1+r2y相離d=r1+r2u外切|r1r2|dr1+r2u相交d=|r1r2啟內(nèi)切d|r1r2|u內(nèi)含典型例題】例1.求過點A(2,3),B(-2,5)且圓心在直線x2y3=0上的圓的方程解法 1 1：設所求的圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(2-a)2+(-3-b)2=r2,由條件知？(-2-a)2+(-5-b)2=r2,a-2b-3=0得2a+b+4=0，由，得a=1,b=2,：r2=i0,即所求的圓方程為(x+i)2+(y+2)2=10解法2：由已知條件知圓心為AB的中垂線與x-2y-3=0

4、的交點，且kAB1=2，AB中點為(0,-4),AB中垂線方程為2x+y+4=0事2x+y+4=0,/曰x=1,由得x-2y-3=0,y=-2,圓心為(_1,2),r2=(2+1)2+(4+2)2=10,;所求的圓的方程為(x1)2(y2)2=10小結：解法1利用了待定系數(shù)法，解法2利用了圓的幾何性質(zhì)。這兩種方法在解析幾何中經(jīng)常用到，要注意選擇恰當?shù)姆椒ā＠?.已知ABC的三個頂點為A(1,4),B(-2,3),C(4,5),求ABC的外接圓方程、外心坐標和外接圓半徑。解法1:設乙ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,有1+16+D+4E+F=0,r.點P在圓外.說明：本題利用兩

5、種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系來判定點與圓的位置關系，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關系呢？例4當m為何值時，直線mx-y-m-1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切、相離.分析一(判別式法)將y=mx-m-1代入圓的方程化簡整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0=4m(3m+4)當4=0時，得m=0或m=-4時，直線與圓相切.3當。時將m0或mv-4時，直線與圓相交.3當v0時，得-4vmv0時，直線與圓相離.3分析二(幾何法)由已知得圓心坐標為(2,1)半徑r=

6、2,圓心(2,1)到直線mx-y-m-1=0Rm-l-m-1|m-2.1m2.1m2，一 r 一八4一一當d=2時，即m=0或m=-時，相切34當d2時，即-rmv0時，相離34當dv2時，即m0或mv-時，相父3例5已知圓O:x2+y2=4,求過點P(2,4)與圓O相切的切線.解：點P(2,4六在圓O上，切線PT的直線方程可設為y=k(x2)+4根據(jù)d=r34一.3所以y=(x2)+4即3x4y+10=04因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在.易求另一條切線為x說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解.本題還有其他解法，例如把所設的切線方程代入

7、圓方程，用判別式等于0解決(也要注意漏解).運用x0 x+y0y=r2,求出切點坐標x。、y0的值來解決，此時沒有漏解.-2k+4,1k2=2解得例6.自點P(3,3)發(fā)出的光線l經(jīng)x軸反射，其反射線所在直線正好與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程解法1：將已知圓方程化為(x-2)2+(y-2)2=1,易知P(-3,3)關于x軸的對稱點P(4,-3)在反射光線上，設反射線所在直線的方程為y+3=k(x+3),即kx-y3k-3=0由點到直線的距離公式得12k12k一2 2+ +3 37 7=1,=1,解得匕=4,=4,k k2得反V1k21324射光線的方程為-x-y

8、+1=0或x-y-=0344由于入射線與反射線關于x軸對稱，故所求光線l的方程為4x+3y+3=0或3x4y-3=0解法2 2：已知圓c的標準方程是(x2)2+(y2)2=1,它關于x軸的對稱圓c的方程為(x2)2+(y+2)2=1,設光線l所在直線的方程是y3=k(x+3)(其中斜率k待定)。由題設知對稱圓的圓心C(2,2)到這條直線的距離等于1,即d=5k+5I=1整理得12k2+25k+12=0,.k=-3,或-4,1k243:所求的直線方程是y-3=-(x+3)或丫一3=4(x+3)43即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0例7已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25及直線l:(2

9、m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR)(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒相交.(2)求直線l被圓C截得的弦長最短的長度及此時的直線方程.分析若按常規(guī)思路只須證圓心O(1,2)到直線l的距離恒小于半徑即可.但注意到直線l的方程可變形為x+y-4+m(2x+y-7)=0,則可知直線l恒過定點(3,1),如果該定點在圓內(nèi)，問題即可解決，事實上(3-1)2+(1-2)2=525.點(3,1)在圓內(nèi)這樣，不論m為何實數(shù)，直線l與圓恒相交.(2)由(1)的結論可知直線l過定點M(3,1),且與過此點的圓O的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|的距離=2.還可以IMO|=(31)2十(12)2

10、=近且r=5.弦長=2725-5=451“212m121止匕日k|=.-=-1=2koMm11-3.m=-3 3代入直線l得方程2x-y-5=04例8設點P(x,y)是圓x2+y2=1是任一點，求u=y二2的取值范圍x1分析一：利用圓上任一點的參數(shù)坐標代替x、y,轉化為三角問題來解決解法一：設圓x2+y2=1上任一點P(cos6,sin6)則有x=cos8,y=sinOew0,2n)sinu-2u=,ucost)+u=sin8-2-ucos6sin8=(u+2).cos?1即4u2+1sin中)=u+2(tan9=u)又.sine邛)E1.u u+ +2 2 工1解之得：uE3.Ju2+14

11、4分析二：u=YN的幾何意義是過圓x2+y2=1上一動點和定點(-1,2)的連線的斜率，利用此直線x1與圓x2+y2=1有公共點，可確定出u的取值范圍.y-222解法一：由u=7得：y2=u(x+1),此直線與圓x+y=1有公共點，故點(0,0)到直線的x1距離d1.一3E1解得：u4另外，直線y2=u(x+1)與圓x2+y2=1的公共點還可以這樣來處理y2=u(x+i)2222由22消去y后得:(u+1)x+(2u+4u)x+(u+4u+3)=0,.sin(1-:)=(u2).u21u2u21x2+y2=12.2.223此方程有頭根，故A=(2u+4u)-4(u+1)(u+4u+3)之0,解

12、之得：u,貝Ud=x2y2=96cos-cos2-168sin-sin2-.4=26+6cos8+8sin6=26+10cos(S巾)(其中tan4=-).3所以dmax=26+10=36,dmin=2610=16.(法2)圓上點到原點距離的最大值d等于圓心到原點的距離d1加上半徑1,圓上點到原點距離的最小值d2等于圓心到原點的距離d1減去半徑1.所以d1=32421=6.d2=-3242-1=4.所以dmax=36-dmin=16.例10圓(x3)2+(y3)2=9上到直線3x+4y11=0的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解.或先求出直線ll2的方程，從代數(shù)計算中尋找解答.解法一：

13、圓(x3)2+(y3)2=9的圓心為O1(3,3),半徑r=3.3x3+4x3-11設圓心O1到直線3x+4y11=0的距離為d,則d=,=23.3242如圖，在圓心O1同側，與直線3x+4y-11=0平行且距離為1的直線1與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意又r-d=32=1.與直線3x+4y-11=0平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意.符合題意的點共有3個.解法二：符合題意的點是平行于直線3x+4y-11=0,且與之距離為1的直線和圓的交點.m11設所求直線為3x+4y+m=0,則d=1=1,22,3242，m+11=5,即m=6,或m=T6,也即l1:3x+4y6=0,或l2：

14、3x+4y16=0.22設圓O1:(x3)+(y3)=9的圓心到直線11、12的距離為dd2,則.11與。1相切，與圓。1有一個公共點；12與圓。1相交，與圓。1有兩個公共點.即符合題意的點共3說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解.圓O1至U3x+4y11=0距離為1的點有兩個顯然，上述誤解中的d是圓心到直線3x+4y-11=0的距離，dr,只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1.d1=|3父3+4父3-6,32423,3x3+4x3-16d2、3242設圓心O1到直線3x+4y11=0的距離為d,則d313+4；311|%3242=23.到一條直線的距離等

15、于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點.求直線與圓的公共點個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷變式：圓x2+y2+2x+4y一3=0上到直線x+y+1=0的距離為J2的點共有（）.（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個分析：把x2+y2+2x+4y_3=0化為（x+1f+（y+2f=8,圓心為（1,2）,半徑為r=2-2,圓心到直線的距離為夜，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于2,所以選C.例11自點A（-3,3放出的光線l射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓22C:x+

16、y4x4y+7=0相切（1）求光線l和反射光線所在的直線方程.（2）光線自A到切點所經(jīng)過的路程.分析、略解：觀察動畫演示，分析思路.根據(jù)對稱關系，首先求出點A的對稱點A的坐標為（-3,-3）,其次設過A的圓C的切線方程為用圖3y=kx3-3根據(jù)d=r,即求出圓C的切線的斜率為,4.3k=或k=一34進一步求出反射光線所在的直線的方程為4x-3y+3=0或3x-4y-3=0最后根據(jù)入射光與反射光關于x軸對稱，求出入射光所在直線方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0222光路的距離為AM,可由勾股定理求得AM|=|AC-CM|=7.說明：本題亦可把圓對稱到x軸下方，再求解.又P、Q在直線x+

17、2y3=0上,1_、1_、1W丫2=2(3x1)3(3x2)=793(x1+x2)+xx2.m12將代入，得y1y2=m_J25將、代入，解得m=3,代入方程，檢驗A。成立,m=3.解法二：由直線方程可得3=x+2y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,有221m2x2+y2+-(x+2y)(x-6y)+(x+2y)2=0,39整理，得(12+m)x2+4(m-3)xy+(4m-27)y2=0.由于x#0,故可得(4m-27)(、)24(m-3)Y12m=0.xx例12已知圓x2+y2+x_6y+m=0與直線x+2y3=0相交于P、Q兩點，O為原點，且OP_LOQ,求實數(shù)m的值.分析：設P

18、、Q兩點的坐標為（x1,y1）、（x2,y2）,則由kOPkOQ=-1,可得x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求解.或因為通過原點的直線的斜率為y,由直線l與圓的方程構造以xY為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關系得出kOPkOQ的值，從而使問題得以解決.x解法一：設點P、Q的坐標為（xi,yi）、（x2,y2）.一方面，由OP_LOQ,得koPkoQ-1,即Xx1V21=1,也即：x1x2+y1y2=0.x2另一方面，（xi,yi）、（x2,y2）是方程組x+2y3=022的實數(shù)解，即x1、x2是方程x+y+x6y+m=025x210 x4m-27=0 x1+x2=-2

19、,x1x2=4m-27行5 koP,%Q是上述方程兩根.故koPkoQ=_1.得12m=-1,解得m=3.4m-27經(jīng)檢驗可知m=3為所求.說明：求解本題時，應避免去求P、Q兩點的坐標的具體數(shù)值.除此之外，還應對求出的m值進行必要的檢驗，這是因為在求解過程中并沒有確保有交點P、Q存在.解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關鍵在于依據(jù)直線方程構造出一個關于_y的二次齊次方程，x雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感.強化提升：A組一、選擇題1.若直線4x-3y-2=0與圓x2+y2-2ax+4y+a2-12=0總有兩個不同交點，則a的取值范圍

20、是()A.-3a7B.-6vav4C.-7a3D.-21a0)相切，則實數(shù)r的值等于()A.學B.10.2D.25.直線x-y+4=0被圓x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦長等于()A.8B.40.2、2D.4.2、填空題6.過點P(2,1)且與圓x2+y2-2x+2y+1=0相切的直線的方程為.7.設集合m=(x,y)|x2+y225,N=(x,y)|(x-a)2+y29,若MUN=M,則實數(shù)a的取值范圍是.8.已知P(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+12=0內(nèi)一點則過點P的最短弦所在直線方程是,過點P的最長弦所在直線方程是.三、解答題9.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P、Q兩點，若OP，OQ(O是原點)，求m的值.10.已知直線l:y=k(x-2)+4與曲線C：y=1+V4-x2有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍.B組一、選擇題1.圓(x-3)2+(y+4)2=2關于直線x+y=0的對稱圓的標準方程是()A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)