組合數(shù)學(xué)第一章習(xí)題解答ppt課件

1、第一章習(xí)題 1.1,從1,2,.,50中找一雙數(shù)a,b,使其滿足：5),2(5),1(baba求這樣的一對(duì)數(shù)的組合數(shù)。解：1分三部分，1-5，6-45，46-50C(5,1)+C(40,1)2+C(5,1)/2解：2分三部分，1-5，6-45，46-505+6+7+8+9+C(40,1)10+9+8+7+6+5/2 1.3,m個(gè)男生，n個(gè)女生，排成一行，其中m,n都是正整數(shù)，假設(shè) (a)男生不相鄰mn+1)； (b)n個(gè)女生形成一個(gè)整體； (c)男生A與女生B排在一起。解： (a)首先女生的全排列有n!個(gè)，那么第一個(gè)男生有n+1個(gè)位置可選第二個(gè)男生有n個(gè)位置，.，第m個(gè)男生有n-m+2個(gè)位置可

2、選。男生不相鄰的排列數(shù)有n!(n+1)!/(n-m+1)! (b)把n個(gè)女生作為一個(gè)整體來看待。n!(m+1)! (c)男生A與B作為一個(gè)整體，(m+n-1)!*21.5,求3000到8000之間的奇整數(shù)的數(shù)目，而且沒有相同的數(shù)字。 解： C(5,1)C(10,1)C(10,1)C(5,1)=2500 1.6,計(jì)算11!+22!+33!+nn! 解： (n+1)!-1,迭代。 1.7,試證(n+1)(n+2).(2n)能被2n除盡。 解： =(2n)!(2n-1)!/n!=2nn!(2n-1)!/n! =2n(2n-1)! C(3,1)C(4,1)C(8,1)C(7,1)+ C(2,1)C(5

3、,1)C(8,1)C(7,1) =672+560=1232 1.8、求1040和2030的公因數(shù)數(shù)目。 解： 等價(jià)于求(25)40和(225)30 的公因數(shù)數(shù)目。 C(40,1)+C(40,1)C(30,1)+C(30,1)+1=40+1200+30=1271 C(41,1)C(31,1)=1271 1.9、試證n2的整除數(shù)的數(shù)目是奇數(shù)。ammaapppn.2211ammaapppn22221212.所有的組合數(shù)都是偶數(shù)，最后再加上1，偶數(shù)加1是奇數(shù)1.10 證明任一正整數(shù)n可惟一地表示成：111,0, !iiiaiian先證可表示性：當(dāng)n=0,1時(shí)，命題成立。假設(shè)對(duì)小于n的非負(fù)整數(shù)，命題成立

4、。對(duì)于n,設(shè)k!n(k+1)!,即0n-k!kk!由假設(shè)對(duì)n-k!,命題成立，設(shè)n-k!=aii!，其中akk-1,n=aii!+k!，命題成立。再證表示的唯一性：設(shè)n=aii!=bii!,。bajbjajibiabaijjjjjjiijiiii矛盾也就是得余數(shù)兩邊同時(shí)除以令, !,)!1(!min1.11 證明下式，并給出組合解釋) 1,() 1(), 1(rnCrrnnC組合意義： 從n個(gè)不同的球中取出的r+1個(gè)，要求指定第一個(gè)球，有兩種方式： 1、等式左邊：n個(gè)不同的球，先任取出1個(gè)，再從余下的n-1個(gè)中取r個(gè)； 2、等式右邊：n個(gè)不同球中任意取出r+1個(gè)，并指定其中任意一個(gè)為第一個(gè)。

5、顯然兩種方案數(shù)相同。1.12 試證等式：nknnknkC112),(用多項(xiàng)式(1+x)n證明，求導(dǎo) 1.13、有n個(gè)不同的整數(shù)，從中取出兩組來，要求第1組的最小數(shù)大于另一組的最大數(shù)。設(shè)取的第一組數(shù)有a個(gè),第二組有b個(gè),而要求第一組數(shù)中最小數(shù)大于第二組中最大的，即只要取出一組m個(gè)數(shù)(設(shè)m=a+b),從大到小取a個(gè)作為第一組,剩余的為第二組。此時(shí)方案數(shù)為 C(n,m)。從m個(gè)數(shù)中取第一組數(shù)共有m-1中取法。總的方案數(shù)為nmnnmnCm2112),()1( 習(xí)題：1.14六個(gè)引擎分列兩排，要求引擎的點(diǎn)火的次序兩排交錯(cuò)開來，試求從一特定引擎開始點(diǎn)火有多少種方案。 第1步從特定引擎對(duì)面的3個(gè)中取1個(gè)有C

6、(3,1)種取法；第2步從特定引擎一邊的2個(gè)中取1個(gè)有C(2,1)種取法； 第3步從特定引擎對(duì)面的2個(gè)中取1個(gè)有C(2,1)中取法；剩下的每邊1個(gè)取法固定。所以共有C(3,1)C(2,1)C(2,1)=12種方案。 解： 習(xí)題：1.15試求從1到1000000的整數(shù)中，0出現(xiàn)的次數(shù)。 解：先將1到999999的整數(shù)都看作6位數(shù),例如2就看作是 000002，這樣從000000到999999。0出現(xiàn)了多少次呢？6105，某一位取0，其它各位任取。0出現(xiàn)在最前面的次數(shù)應(yīng)該從中去掉000000到999999中最左1位的0出現(xiàn)了105次，000000到099999中左數(shù)第2位的0出現(xiàn)了104次，000

7、000到009999左數(shù)第3位的0出現(xiàn)了103次,000000到000999左數(shù)第4位的0出現(xiàn)了102次,000000到000099左數(shù)第5位的0出現(xiàn)了10次,000000到000009左數(shù)第6位的0出現(xiàn)了1次。 因此不合法的0的個(gè)數(shù)為105+104+103+102+101+1=111111，不合法的應(yīng)該去掉，再加整數(shù)1000000中的6個(gè)0，這樣，從1到1000000的整數(shù)中0出現(xiàn)的次數(shù)為6105-111111+6=488895。 問題：在去掉多余的零的過程中，多減去了一部分，例如：000000這種情況在每次減的過程中都出現(xiàn)。 1.16、n個(gè)完全一樣的球放到r個(gè)有標(biāo)志的盒中，無一空盒，試問有

8、多少種方案？ 取r個(gè)球每盒放一個(gè)，然后n-r個(gè)放入r個(gè)不同盒中，同充許空盒的放法。 C(r+n-r-1,n-r)=C(n-1,n-r)=C(n-1,r-1) 1.18、8個(gè)盒子排成一列，5個(gè)有標(biāo)志的球放到盒子中，每盒最多放一個(gè)球，要求空盒不相鄰，問有多少種排列方案？ 5!654 1.19、n+m位由m個(gè)0，n個(gè)1組成的符號(hào)串，其中nm+1,試問不存在兩個(gè)1相鄰的符號(hào)串的數(shù)目？ (m+1)*m*.*(m-n+2)/n!=C(m+1,n) 1.20、甲單位有10個(gè)男同志，4個(gè)女同志，乙單位有15個(gè)男同志，10個(gè)女同志，由他們產(chǎn)生一個(gè)7人的代表團(tuán)，要求其中甲單位占4人，面且7人中男同志5位，試問有多

9、少種方案？ 按甲單位： C(10,4)C(15,1)C(10,2)+C(10,3)C(4,1)C(15,2)C(10,1)+ C(10,2)C(4,2)C(15,3) 1.20、甲單位有10個(gè)男同志，4個(gè)女同志，乙單位有15個(gè)男同志，10個(gè)女同志，由他們產(chǎn)生一個(gè)7人的代表團(tuán)，要求其中甲單位占4人，面且7人中男同志5位，試問有多少種方案？ 按甲單位： C(10,4)C(15,1)C(10,2)+C(10,3)C(4,1)C(15,2)C(10,1)+ C(10,2)C(4,2)C(15,3) 1.22、(a)C(5,2)C(8,3),(b) C(5,2)C(7,3), (c)C(5,2)C(4,

10、1)C(4,2),(d)C(13,5)- C(5,2)C(7,3) 1.23、令s=1,2,.,n+1,n2,nknCnCkTzyzxszyxzyxT12)3 , 1(2)2, 1(:,),(試證 1、z可選2,3,4,.,n+1,相對(duì)應(yīng)的x,y都有1,2,3,.,n種選擇，因此共有：nkkT12 2、可分成x與y相同與不相同兩種情況來處理 a、相同時(shí)與從n+1中選2個(gè)，大的作為z,小的作為x與y, b、不相同時(shí)與從n+1個(gè)中選3個(gè)，最大的作為z兩個(gè)小的排列作為x與y,排列數(shù)為2，兩種方式結(jié)果相同：nknCnCkT12)3 , 1(2)2, 1( 1.24、50,90,),(bazbabaA(

11、a)求x,y平面上以A作頂點(diǎn)的長方形的數(shù)目。(b)求x,y平面上以A作頂點(diǎn)的正方形的數(shù)目。 1.25、平面上有15個(gè)點(diǎn)p1,p2,.,p15,其中p1,p2,.,p5,共線，此外不存在三點(diǎn)共線。 1、求至少過15個(gè)點(diǎn)中兩點(diǎn)的直線的數(shù)目。 2、求由15個(gè)點(diǎn)中3點(diǎn)組成的三角形的數(shù)目。 1、C(10,2)+(10,1)C(5,1)+1 2、C(10,3)+C(10,2)C(5,1)+C(10,1)C(5,2) 1.26 S=1,2,.,1000,a,bS,使ab=0mod5,求數(shù)偶a,b的數(shù)目。 解：偶數(shù)有500個(gè)，200個(gè)5的倍數(shù)，100個(gè)10的倍數(shù)。 單獨(dú)是5的倍數(shù)不是10的倍數(shù)有100個(gè)，偶數(shù)

12、中除去10的倍數(shù)有400個(gè)， C(100,1)C(400,1)+C(100,1)(900,1) 1.27 6位男賓，5位女賓圍一圓桌而坐。 女賓不相鄰有多少種方案？ 所有女賓在一起有多少種方案？ 一女賓A和兩位男賓相鄰又有多少種方案？ 5!*6*5*4*3*2 6!5! P(6,2)8! 1.28 k和n都是正整數(shù)，kn位來賓圍著k張桌子而坐，試求其方案數(shù)。 1.29 從n個(gè)對(duì)象中取r個(gè)作圓排列，求其方案數(shù)。C(n,r)(r-1)!),(.),(),()!1(nnCnnknCnknCnk 1.30 試證下列等式nrrnCrnrnCa1),1, 1(),()()1,1()!1()!()!1( )

13、!1()!()!1(!)!(!),(rnCrnrrnnrnrrrnnnrrnnrnCnrrnCrrnrnCb1),1,(1),()()1,()!1()!1(!1 )!1()!)(1(!)1(!)!(!),(rnCrnrrnnrrnrrrnrnnrnrrnnrnCnrrnCrnrnCc1),1, 1(),()(),1(!)!1()!1( !)!1)()!1(!)!(!),(rnCrnnrrnnrnnrrnrnnnrrnnrnC 1.31 試證任意r個(gè)相鄰數(shù)的連乘 (n+1)(n+2).(n+r)=(n+r)!/n!被r!除盡。從n+r個(gè)元素中取r個(gè)的組合數(shù)，C(n+r,r)=(n+r)!/n!r

14、! 1.32 在a,b,c,d,e,f,x,x,x,y,y的排列中，要求y必須夾在兩個(gè)x之間，問這樣的排列數(shù)等于多少？7！把xyxyx看作一個(gè)元素來看待。 1.33 已知r,n,k都是正整數(shù)，rnk,將r個(gè)無區(qū)別的球放在n個(gè)有標(biāo)志的盒子里，每盒至少k個(gè)球，試問有多少種方案？C(n+r-nk-1,r-nk) 1.34 在r,s,t,u,v,w,x,y,z的排列中，求y居x和z中間的排列數(shù)。 解：2*7！ 1.35 凸十邊形的任意三條對(duì)角線不共點(diǎn)，試求這凸十邊形的對(duì)角線交于多少個(gè)點(diǎn)交點(diǎn)指內(nèi)部交點(diǎn)，頂點(diǎn)及外部交點(diǎn)除外）。任意4點(diǎn)的兩條對(duì)角線有一個(gè)交點(diǎn)，C10，4） 1.36 試證一整數(shù)是另一整數(shù)的平

15、方的必要條件是除盡它的數(shù)的數(shù)目是整(奇)數(shù)。 解：如果一個(gè)數(shù)能寫成另一個(gè)整數(shù)的平方的形式。那么hhhhkkkkkkkm222212212.).(2121 除盡m的數(shù)的個(gè)數(shù)是:是奇數(shù))12).(12)(12(21h1.37 給出下式的組合意義), 1(),()0 ,(.)2 , 2()2, 2() 1 , 1() 1, 1()0 ,(),(mrnCmmrCmnCrCmnCrCmnCrCmnC路徑問題1.38 給出下式的組合意義) 1, 1(),(.), 2(), 1(),(rnCrnCrrCrrCrrC解：解：C(n+1,r+1)C(n+1,r+1)是指從是指從n+1n+1個(gè)元素個(gè)元素a1, a

16、2,an+1a1, a2,an+1中任取中任取r+1r+1個(gè)個(gè)進(jìn)行組合的方案數(shù)。左邊：若一定要選進(jìn)行組合的方案數(shù)。左邊：若一定要選an+1,an+1,則方案數(shù)為則方案數(shù)為C(n,r).C(n,r).若不選若不選an+1,an+1,一定要選一定要選an,an,則方案數(shù)為則方案數(shù)為C(n-1,r).C(n-1,r).若不選若不選an+1,an,ar+2,an+1,an,ar+2,則方案數(shù)為則方案數(shù)為C(r,r). C(r,r). 所有這些可能性相加就得到了總方案數(shù)。所有這些可能性相加就得到了總方案數(shù)。1.39 證明),(2) 0 ,(),(.) 1, 1() 1 ,(),() 0 ,(nmCnmC

17、nmCnmCmCnmCmCn證：組合意義證：組合意義, ,右邊：右邊：m m個(gè)球個(gè)球, ,從中取從中取n n個(gè)個(gè), ,放入兩個(gè)盒子放入兩個(gè)盒子,n,n個(gè)球中個(gè)球中每個(gè)球都有兩種放法每個(gè)球都有兩種放法, ,得到可能的方案數(shù)。左邊：第得到可能的方案數(shù)。左邊：第i i項(xiàng)的意義是項(xiàng)的意義是一個(gè)盒子中放一個(gè)盒子中放i i個(gè)個(gè), ,另一個(gè)盒子放另一個(gè)盒子放n-in-i個(gè)個(gè), ,所有的方案數(shù)相加應(yīng)該等所有的方案數(shù)相加應(yīng)該等于右邊。于右邊。ninnininininmCinCnmCnmCinininnmninminnmimiimminimCimC00000),(2),(),(),()!( !)!)(!)!)()

18、!(!)(!),(),(左邊1.40 從n個(gè)人中選r個(gè)圍成一個(gè)圓圈，問有多少種不同的排列。解：C(n,r)(r-1)!1.43 對(duì)于給定的正整數(shù)n，證明，當(dāng)k滿足下式時(shí)，C(n,k)是取大值。是偶數(shù)若是奇數(shù)若或nnnnnk,2,2121證：取證：取C(n,k)C(n,k)和和C(n,k-1)C(n,k-1)進(jìn)行比較。進(jìn)行比較。C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/kC(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k。要使要使C(n,k)C(n,k-1)C(n,k)C(n,k-1)，必須，必須k(n+1)/2k(n+1)/2取取C(n,k)C(n,k)和和C(n,k+1)C(n,k+1

19、)進(jìn)行比較。進(jìn)行比較。C(n,k)/C(n,k-1)=(k+1)/(n-k)C(n,k)/C(n,k-1)=(k+1)/(n-k)。要使要使C(n,k)C(n,k+1)C(n,k)C(n,k+1)，必須，必須k(n-1)/2k(n-1)/2因此，當(dāng)(n-1)/2k(n+1)/2時(shí)取最大值。1.44 (a)用組合方式證明下列式子都是整數(shù)。nnnnn32)!3(2)!2(和(a)設(shè)有2n個(gè)不同球放入n個(gè)不同的盒子里，每盒兩個(gè)，這個(gè)方案數(shù)應(yīng)該是整數(shù)。對(duì)2n個(gè)球進(jìn)行排列得到方案數(shù)為(2n)!。而把2個(gè)球放入同一個(gè)盒子里不計(jì)順序，應(yīng)該把全排列數(shù)除掉這些重復(fù)計(jì)算的次數(shù)，n個(gè)盒子內(nèi)部的排列共重復(fù)計(jì)算了2n次

20、。得到2n個(gè)不同球放入n個(gè)不同的盒子里，每盒兩個(gè)的方案數(shù)(2n)!/2n若有3n個(gè)不同的球,放入n個(gè)不同盒子,故同理得(3n)!/(3!)n是整數(shù)。1.44 (b)用組合方式證明下列式子都是整數(shù)。12)!()!(nnn有n個(gè)不同的球，放入n個(gè)相同的盒子里，每盒n個(gè)，求方案數(shù)，方案數(shù)應(yīng)該是一個(gè)整數(shù)。按前面(a)的方法，應(yīng)該得到(n2)!/(n!)n是整數(shù)。另外由于n個(gè)盒子相同，放入不同的盒子是沒有區(qū)別的，應(yīng)該把n個(gè)盒子的排列數(shù)n!除去。因此得到(n2)!/(n!)n+1是整數(shù)。 1.45 (a)在2n個(gè)球中，有n個(gè)相同。求從這2n個(gè)球中選取n個(gè)的方案數(shù)。 (b)在3n+1個(gè)球中，有n個(gè)相同。求從

21、這3n+1個(gè)球中選取n個(gè)的方案數(shù)。 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+.+C(n,n)=2n C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+C(2n+1,2)+.+C(2n+1,n)相當(dāng)于從n個(gè)不同的小球中分別取出m個(gè)小球(0mn)，再從n個(gè)相同的小球中取出n-m個(gè)小球。共有方案：C(n,0)+C(n,1)+C(n,n)=2n種。(b)相當(dāng)于從2n+1個(gè)不同的小球中分別取出m個(gè)小球(0mn)，再從n個(gè)相同的小球中取出n-m個(gè)小球。共有方案：C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+C(2n+1,n)種。1.46證明在由字母表0,1,2生成的長度為n的字符串中.(a)0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有(3n

22、+1)/2個(gè)22,2132),(.2)2 ,(2)0 ,()(2nqqnCnCnCbnqnnn其中證：證：(a)(a)歸納法：歸納法：當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),0,0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有(30+1)/2=2(30+1)/2=2個(gè)個(gè)( (即即1,2),1,2),成立。成立。假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)時(shí),0,0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有(3k+1)/2(3k+1)/2種?？偟淖址N?？偟淖址杏?k3k種。種。0 0出現(xiàn)奇數(shù)次的字符串有出現(xiàn)奇數(shù)次的字符串有(3k-1)/2(3k-1)/2種。當(dāng)種。當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，時(shí)，0 0出出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串包括兩部分：

23、現(xiàn)偶數(shù)次的字符串包括兩部分：n=kn=k時(shí)時(shí),0,0出現(xiàn)偶數(shù)次再增加一位出現(xiàn)偶數(shù)次再增加一位不是不是0 0的，共有的，共有2(3k+1)/22(3k+1)/2種，種，0 0出現(xiàn)奇數(shù)次再增加一位出現(xiàn)奇數(shù)次再增加一位0,0,共有共有(3k(3k1)/21)/2種。所以共有種。所以共有2(3k+1)/2+(3k2(3k+1)/2+(3k1)/2=(3k+1+1)/21)/2=(3k+1+1)/2種，種，證畢。證畢。(b)(b)等式左邊第等式左邊第m m項(xiàng)是項(xiàng)是0 0出現(xiàn)出現(xiàn)m m次的字符串?dāng)?shù)，總和就是次的字符串?dāng)?shù)，總和就是0 0出現(xiàn)偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串?dāng)?shù)，右邊由次的字符串?dāng)?shù)，右邊由(a)(a)得是

24、得是0 0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串?dāng)?shù)，出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串?dāng)?shù)，兩邊顯然相等。兩邊顯然相等。 1.47 5臺(tái)教學(xué)機(jī)器m個(gè)學(xué)生使用，使用第1臺(tái)和第2臺(tái)的人數(shù)相等，有多少種分配方案？ 解：當(dāng)使用第1臺(tái)機(jī)器的學(xué)生為n個(gè)時(shí)，使用第2臺(tái)機(jī)器的學(xué)生也為n,從m個(gè)學(xué)生中選出2n個(gè)使用這兩臺(tái)機(jī)器，剩余的學(xué)生可以任意使用剩下的機(jī)器的組合數(shù)為C(m,2n)C(2n,n)3(m-2n)。所以qnnmnnnmC023),2)(2,(2mq1.49 在1到n的自然數(shù)中選取不同且互不相鄰的k個(gè)數(shù)，有多少種選取方案？C(n-k+1,k)1.50 (a)在由5個(gè)0，4個(gè)1組成的字符串中，出現(xiàn)01或10的總次數(shù)為4的字符串，有多少個(gè)？ (b)在由m個(gè)0，n個(gè)1組成的字符串中，出現(xiàn)01或10的總次數(shù)為k的字符串，有多少個(gè)？(a),先將5個(gè)0排成一列：00000，1若插在兩個(gè)0中間，“010”，那么出現(xiàn)2個(gè)“01或“10”;若插在兩端，則出現(xiàn)1個(gè)“01或“10”;要使出現(xiàn)“01”,“10總次數(shù)為4，有兩種辦法：(1)把兩個(gè)1插入0的空當(dāng)內(nèi)，剩下的1插入1的前面。(2)把1個(gè)1插入0得空當(dāng)內(nèi)，再取兩個(gè)1分別插入兩端，剩下的1插入1的前面。故總方案數(shù)為C(4,2)3+C(4,