割補法在高中立體幾何解題中的應(yīng)用研究

1、割補法在高中立體幾何解題中的應(yīng)用研究【內(nèi)容摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，可以使學(xué)生到達融會貫穿的要求，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加輕松。高中立體幾何中割補法是一種非常重要的方法，使用割補法可以降低題目的難度，快速有效的解決問題。本文立足于此，對高中立體幾何中割補法的教學(xué)進展討論。【關(guān)鍵詞】割補法 高中立體幾何 應(yīng)用研究在高中立體幾何中，割補法是一種特殊的方法，通過對幾何體的割補，可以得到一個新的幾何體，新的幾何體和原來的幾何體具有一定的聯(lián)絡(luò)，從而可以將所求問題進展轉(zhuǎn)化，到達簡化問題的目的。割補法中蘊含著構(gòu)造的思想，也是對立統(tǒng)一哲學(xué)思想的反映，培養(yǎng)學(xué)生的割補思想，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和創(chuàng)新才能的培

2、養(yǎng)具有重要的意義。一、補形法補形法就是將原有的立體幾何圖形補充一部分，形成一個新的立體幾何圖形，在新的立體幾何圖形中研究圖形的體積等性質(zhì)。一般使用補形法時，原有的立體幾何圖形的相知和數(shù)量求取方法比較復(fù)雜，通過補充后，新的圖形和補充的部分?jǐn)?shù)量關(guān)系求法比較簡單。1.構(gòu)造正方體法正方體是一個比較特殊有簡單的幾何體，通過割補法構(gòu)造正方體，可以將復(fù)雜的問題簡單化，可以找到解題的簡單方法。例1：過正方形ABCD的頂點A作PA面AC，且PA=AB。求平面PAB和面PCD所成二面角。分析：由于是正方形ABCD，PA垂直該面且PA=AB，這樣構(gòu)造出一個正方體，正方體的邊長與AB長一樣，所求的平面PAB和面PCD

3、所成二面角，就是正方體的一條邊所在的面和其所在的對角面所成的夾角，為45。例2：一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在一球面上，求此球的外表積。分析1：正四面體ABCD的棱長為，四個頂點都在球上，球的球心與四面體的中心一樣，設(shè)ACD的重心為E，那么球心在線段BE上，可以通過直角三角形求出，但是計算比較復(fù)雜。分析2：將四面體ABCD補成正方體，補成的正方體與正四面體的外接球是同一個球，由于正四面體棱長為 ，所以正方體的棱長為1，外接球的半徑為 ，所以球的面積為3。2.臺體補成錐體法臺體與錐體具有一定的關(guān)系，臺體可以通過錐體截取一部分得到，它們的性質(zhì)相似，假設(shè)臺體中有些性質(zhì)比較難解答時，可以將臺體補

4、充一個小的錐體，得到一個大的錐體，使問題得到轉(zhuǎn)化，從而找到簡便的解答方法。例3：三棱臺ABC-ABC的側(cè)面AACC是底角互余的梯形，且該側(cè)面垂直于底面，ACB=90，求證：三棱臺另兩個側(cè)面互相垂直。分析：要證明三棱臺ABC-ABC的側(cè)面AABB與側(cè)面BBCC互相垂直，可以使用面面垂直斷定定理或者證明這兩個面所成的二面角是直二面角，但是兩種方法只靠原立體圖形是很難證明的，可以考慮將三棱臺ABC-ABC補成三棱錐P-ABC。二、分割法分割法是將幾何體分割成假設(shè)干個部分，利用整體與部分的關(guān)系來解決所求問題。使用分割法時，要將原有的幾何體分割成比較常見的幾何體，使原來所求的問題更加簡單。1.從整體分割

5、出部分幾何體例4：一個斜三棱柱的ABC-ABC的一個側(cè)面AABB的面積為S，側(cè)棱CC到側(cè)面AABB的間隔 為h，求該三棱柱的體積。分析：根據(jù)三棱柱的體積公式，要求三棱柱的體積，要知道三棱柱的底面積和高度，但是這道題根據(jù)條件無法求出底面積和高。根據(jù)條件側(cè)面AABB的面積為S，側(cè)棱CC到側(cè)面AABB的間隔 為h，可以看作為將側(cè)面AABB作為底面，C為頂點的四棱錐C-AABB的底面積和高，再根據(jù)四棱C-AABB與三棱柱之間的關(guān)系求出三棱柱的體積。2.把整體分割成幾個互相關(guān)聯(lián)的部分例5：正四面體的棱長為a，求其內(nèi)部任一點P到各個面的間隔 之和。分析：由于PS是正四面體內(nèi)部的任一點，具有不定性，無法確定點P到個面的間隔 ?？梢詫作為頂點，將P點與其他頂點連接，可以得到四個以P為頂點的三棱錐，P點到各面的間隔 是各個三棱錐的高，利用正四面體的體積是四個三棱錐體積之和的關(guān)系，就可以求出P點到各面的間隔 之和。Sh2、 Sh3、 Sh4，正四面體的體積為三、小結(jié)割補法在高中立體幾何中具有廣泛的應(yīng)用，立體幾何中的許多定理和結(jié)論都來自于生活理論，與平面幾何之間具有很重要的關(guān)聯(lián)。所以在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想實際模型，加強學(xué)生的立體想象才能，使學(xué)生的頭腦中形成立體幾何圖形的模型，對于割補法具有更形象的理解，從而進步學(xué)生解決立體幾何問題的才