廣東省廣州市2012-2013學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）新人教A版

1、2012-2013學(xué)年廣東省廣州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，則UA=（）A B1，3 C2，4，5 D1，2，3，4，5考點(diǎn)：補(bǔ)集及其運(yùn)算分析：根據(jù)補(bǔ)集的定義直接求解：UA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構(gòu)成的集合解答：解：根據(jù)補(bǔ)集的定義，UA是由所有屬于集合U但不屬于A的元素構(gòu)成的集合，由已知，有且僅有2，4，5符合元素的條件UA=2，4，5故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查了補(bǔ)集的定義以及簡(jiǎn)單求解，屬于簡(jiǎn)單題2（5分）已知點(diǎn)P（

2、3，4）是角終邊上的一點(diǎn)，則tan=（）ABCD考點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)的定義專題：三角函數(shù)的求值分析：直接利用正切函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論解答：解：點(diǎn)P（3，4）是角終邊上的一點(diǎn)，tan=，故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查正切函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3（5分）若直線y=ax+3與直線y=2x+a垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A2B2CD考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系專題：直線與圓分析：由給出的直線的方程求出兩條直線的斜率，因?yàn)閮蓷l直線互相垂直，所以斜率之積等于1，列式后可以求得實(shí)數(shù)a的值解答：解：直線y=ax+3的斜率為k1=a，直線y=2x+a的斜率為k2=2因?yàn)橹本€y=ax+3與直

3、線y=2x+a垂直，所以k1k2=1，即a×（2）=1，解得：a=故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的一般式方程與直線垂直的關(guān)系，解答此類問題時(shí)，如果不需要討論，可以求出兩直線的斜率，利用斜率之積等于1解決，若y的系數(shù)含有字母，可直接利用兩直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件為A1A2+B1B2=0解決此題是基礎(chǔ)題4（5分）要用一根鐵絲焊接圍成一個(gè)面積為9的矩形框，不考慮焊接損耗，則需要鐵絲的長(zhǎng)度至少為（）A24B12C6D3考點(diǎn)：基本不等式；函數(shù)最值的應(yīng)用專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則xy=9，鐵絲的長(zhǎng)度為2（x+y），利用基本不等

4、式，即可得到結(jié)論解答：解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y，則xy=9鐵絲的長(zhǎng)度為2（x+y）2=12當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)，鐵絲的長(zhǎng)度最小為12，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題5（5分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，分別以A、B、C、D為圓心、1為半徑作圓，在正方形ABCD內(nèi)的四段圓弧所圍成的封閉區(qū)域記為M（陰影部分），則點(diǎn)P取自區(qū)域M的概率是（）ABCD考點(diǎn)：幾何概型專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是正方形面積S=2×2，而陰影部分區(qū)域可以看作是由邊長(zhǎng)為2的正方形面積減去半徑為1的圓的面積

5、得到，最后利用幾何概型的概率公式解之即可解答：解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是矩形面積S=2×2=4，陰影部分區(qū)域的面積是4，由幾何概型公式得到P=1，故選C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了幾何概型，解題的關(guān)鍵求陰影部分的面積，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題6（5分）某幾何體的三視圖（均為直角三角形）及其尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD1考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積專題：空間位置關(guān)系與距離分析：先根據(jù)三視圖判斷出幾何體的形狀及長(zhǎng)度關(guān)系，然后利用棱錐的體積公式求出幾何體的體積解答：解：由三視圖知，該幾何體為底面為直角邊長(zhǎng)分別為1和2的直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面，

6、幾何體的高為1，該幾何體的體積為V=Sh=××1×2×1=故選B點(diǎn)評(píng)：解決三視圖的題目，關(guān)鍵是由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長(zhǎng)度，然后利用幾何體的面積及體積公式解決7（5分）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）ABCD考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理專題：探究型分析：利用根的存在定理，分別判斷，各區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符合是否相反，從而確定零點(diǎn)所在的區(qū)間解答：解：函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以，所以根?jù)根的存在性定理可知函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的關(guān)系，利用根的存在定理去判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，是解決本題的關(guān)鍵8（5分）已知等差數(shù)列an的首

7、項(xiàng)為4，公差為4，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列 的前n項(xiàng)和為（）ABCD考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出Sn，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出數(shù)列 的前n項(xiàng)和解答：解：Sn=4n+=2n2+2n，數(shù)列 的前n項(xiàng)和=故選A點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”是解題的關(guān)鍵9（5分）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，則=（）A4B2C2D4考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算專題：計(jì)算題分析：依照向量模的幾何意義求出兩向量的模，再求出夾角，計(jì)算即可解答：解：易知，所以原式=2×2×=4故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)量積的基本

8、運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題此題易錯(cuò)點(diǎn)在于兩向量夾角應(yīng)為135°，而非45°10（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在與x無關(guān)的正常數(shù)M，使|f（x）|M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則稱f（x）為有界泛函有下面四個(gè)函數(shù)：f（x）=1； f（x）=x2； f（x）=2xsinx； 其中屬于有界泛函的是（）ABCD考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題專題：計(jì)算題；新定義分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)有界泛函的定義進(jìn)行判定：對(duì)于可以利用定義直接加以判斷，對(duì)于可以利用絕對(duì)值的性質(zhì)將不等式變形為|x|m，對(duì)于，即|2sinx|M，只需M2，對(duì)于，將不等式變形為M，可以求出符合條件的m的最小值解答：解：對(duì)于

9、，顯然不存在M都有1M|x|成立，故錯(cuò)；對(duì)于，|f（x）|=|x2|M|x|，即|x|M，不存在這樣的M對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故不是有界泛函；錯(cuò)對(duì)于，f（x）|=|2xsinx|M|x|，即|2sinx|M，當(dāng)M2時(shí)，f（x）=3xsinx是有界泛函對(duì)對(duì)于，|）|M|x|，即M，只需，對(duì)綜上所述，故選B點(diǎn)評(píng)：本題屬于開放式題，題型新穎，考查數(shù)學(xué)的閱讀理解能力知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強(qiáng)的分析問題解決問題的能力，對(duì)選支逐個(gè)加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.11（5分）已知冪函數(shù)f（x）=x的圖

10、象過點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的定義域是0，+）考點(diǎn)：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域?qū)ｎ}：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：依題意可求得=2，從而可求f（x）的定義域解答：解：f（x）=x的圖象過點(diǎn)（2，），2=，=，f（x）=x，函數(shù)f（x）的定義域是0，+）故答案為：0，+）點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，求得是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題12（5分）如圖給出的是計(jì)算值的一個(gè)程序框圖，當(dāng)程序結(jié)束時(shí)，n的值為2013考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)專題：計(jì)算題分析：利用循環(huán)結(jié)構(gòu)的功能和判斷框即可得出解答：解：當(dāng)i=2012時(shí)，i2013，執(zhí)行“是”后得到i=2013，20132013不成立，執(zhí)行“否”，輸出S故答案為2013點(diǎn)評(píng)：正確理解循

11、環(huán)結(jié)構(gòu)的功能和判斷框是解題的關(guān)鍵13（5分）已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，4，0），B（2，0，3），C（2，2，z），若C=90°，則z的值為1或4考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用分析：由C=90°，可得，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得z值解答：解：=（0，2，z），=（0，2，z3），因?yàn)镃=90°，所以，即02×2+z（z3）=0，解得z=1或4，故答案為：1或4點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題14（5分）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則x2+y2的取值范圍是8，34考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃專題：計(jì)算題

12、；不等式的解法及應(yīng)用分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的ABC及其內(nèi)部，設(shè)P（x，y），可得x2+y2=|OP|2表示O、P兩點(diǎn)距離的平方之值，因此運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P并加以觀察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x2+y2的范圍解答：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的ABC及其內(nèi)部，其中A（3，5），B（3，1），C（1，3）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)則|OP|=，因此x2+y2=|OP|2表示O、P兩點(diǎn)距離的平方之值當(dāng)P與A重合時(shí)|OP|=達(dá)到最大值，當(dāng)P與原點(diǎn)O在BC上的射影D重合量，|OP|=2達(dá)到最小值|OP|2的最小值為8，最大值為34，即x2+y2的取值范圍是8，34故

13、答案為：8，34點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求x2+y2的取值范圍，著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟和推證過程.15（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（3，1），C（1，0）（1）求以點(diǎn)C為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)A的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l的方程為x2y+9=0，判斷直線l與（1）中圓C的位置關(guān)系，并說明理由考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程專題：直線與圓分析：（1）因?yàn)閳AC的圓心為C（1，0），可設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x1）2+y2=r2把點(diǎn)A（3，1）代入

14、圓C的方程求得r2=5，從而求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）由于圓心C到直線l的距離為，大于半徑，可得直線l與圓C相離解答：解：（1）因?yàn)閳AC的圓心為C（1，0），可設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x1）2+y2=r2因?yàn)辄c(diǎn)A（3，1）在圓C上，所以（31）2+12=r2，即r2=5所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x1）2+y2=5（2）由于圓心C到直線l的距離為因?yàn)?，即dr，所以直線l與圓C相離點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題16（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）若，求的值考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法專

15、題：三角函數(shù)的求值分析：（1）利用兩角和的正弦公式及周期即可得出；（2）利用（1）及已知可得sin，進(jìn)而得到cos，于是可得解答：解：（1）=所以函數(shù)f（x）的最小正周期是2（2）由（1）得，因?yàn)?，所以?因?yàn)椋运?4sincos=點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查周期的概念，考查三角恒等變換的運(yùn)算以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想17（14分）對(duì)某校高二年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取N名學(xué)生作為樣本，得到這N名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率3，6）10m6，9）np9，12）4q12，1520.05合計(jì)N1（1）求出表中N，p及圖中a的值

16、；（2）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于9次的學(xué)生中任選2人，求至少有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間12，15內(nèi)的概率考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式；頻率分布直方圖專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：（1）由分組12，15）內(nèi)的頻數(shù)是2，頻率是0.05，可得，所以N=40再由10+n+4+2=40，解得n=24，由此求得以及的值（2）記“至少有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間12，15）內(nèi)”為事件A這個(gè)樣本中參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)不少于9次的學(xué)生共有4+2=6人從這6人中任選2人的所有可能結(jié)果，用列舉法求得共15種，事件A包含的結(jié)果有9種，由此求得事件A發(fā)生的概率解答：解：（1）由分組12，15）內(nèi)的頻數(shù)是2，頻率

17、是0.05，可得，所以N=40因?yàn)轭l數(shù)之和為40，所以10+n+4+2=40，解得n=24所以，因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組6，9）的頻率與組距的商，所以，（2）記“至少有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間12，15）內(nèi)”為事件A這個(gè)樣本中參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)不少于9次的學(xué)生共有4+2=6人記在區(qū)間9，12）內(nèi)的4人為a1，a2，a3，a4，在區(qū)間12，15）內(nèi)的2人為b1，b2從這6人中任選2人的所有可能結(jié)果有：a1，a2，a1，a3，a1，a4，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，a4，a2，b1，a2，b2，a3，a4，a3，b1，a3，b2，a4，b1，a4，b2，b1，b2，共15種事件A包含的結(jié)果有

18、：a1，b1，a1，b2，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，a4，b1，a4，b2，b1，b2，共9種所以所求概率為點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查頻數(shù)、頻率等基本概念，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題18（14分）如圖所示，AB是O的直徑，點(diǎn)C是O圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，PA平面ABC，點(diǎn)E是線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，且MOAC（1）求證：BC平面PAC；（2）求證：平面EOM平面PAC考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；平面與平面平行的判定專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離分析：（1）由PA平面ABC，證出PABC，由直徑所對(duì)的圓周角證出BCAC，再利用線面垂直判定定理，即可證出BC平面P

19、AC（2）根據(jù)三角形中位線定理證出EOPA，從而得到EO平面PAC，由MOAC證出MO平面PAC，再結(jié)合面面平行判定定理即可證出平面EOM平面PAC解答：解：（1）點(diǎn)C是以AB為直徑的O圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，ACB=90°，即BCACPA平面ABC，BC平面ABC，PABCAC平面PAC，PA平面PAC，ACPA=A，BC平面PAC（2）點(diǎn)E是線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，EOPAPA平面PAC，EO平面PAC，EO平面PACMOAC，AC平面PAC，MO平面PAC，MO平面PACEO平面EOM，MO平面EOM，EOMO=O，平面EOM平面PAC點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊錐體

20、，求證線面垂直并證明面面平行，著重考查直線與平面垂直的判定、平面與平面平行的判定定理等知識(shí)，考查空間想象能力，屬于中檔題19（14分）已知數(shù)列an滿足a1=1，（nN*，為常數(shù)），且a1，a2+2，a3成等差數(shù)列（1）求的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)數(shù)列bn滿足bn=，證明：bn考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與不等式的綜合專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）利用數(shù)列遞推式，結(jié)合a1，a2+2，a3成等差數(shù)列，即可求的值；（2）由（nN*），可得（n2），利用疊加法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）確定數(shù)列bn的通項(xiàng)，可得其單調(diào)性，即可證明結(jié)論解答：（1）解：因?yàn)閍1=1，（nN*），所以，因?yàn)閍1，a2+2，a3成等差數(shù)列，所以a1+a3=2（a2+2），即2+6=2（3+2），解得=2（2）解：由（1）得，=2，所以（nN*），所以（n2）當(dāng)n2時(shí)，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+22+23+2n=2n+13又a1=1也適合上式，所以數(shù)列（，a的通項(xiàng)公式為（nN*）（3）證明：由（2）得，所以因?yàn)?，?dāng)n3時(shí)，（n1）2+20，所以當(dāng)n3時(shí)，bn+1bn0，即bn+1bn又，所以（nN*）點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列的概念，考查數(shù)列