3.5二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布ppt課件

1、 在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論: 我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題，然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形題，然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形. 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量X1, X2, ,Xn的聯(lián)合分的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù) Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布?3.5二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布由由(X,Y)的分布導(dǎo)出的分布導(dǎo)出Z=g(X,Y)的分布的分布一、(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則有則有 kjizyxgjikyY

2、xXPzZP),(, kjizyxgjikyYPxXPzZP),(例例1 設(shè)設(shè)(X,Y)的分布律為的分布律為:X Y 1 1 2 2 1 01/12 2/12 2/121/12 1/12 02/12 1/12 2/12試求試求Z=X+Y的分布律的分布律解解: 由已知由已知,可得可得:(X,Y)( 2, 1) ( 2,1) ( 2,2) ( 1, 1) P1/12 2/12 2/12 1/12Z 3 1 0 2(X,Y) ( 1,1) ( 1,2) (0, 1) (0, 1) (0,2)P 1/12 0 2/12 1/12 2/12Z0 1 1 1 2Z=X+Y的分布律為的分布律為:Z 3 2

3、1 0 1 2P1/12 1/12 4/12 3/12 1/12 2/12二、(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量1.一般函數(shù)的分布一般函數(shù)的分布 即即Z的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是(X,Y)落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域D: g(x,y)z的概率的概率FZ(z)=PZz =Pg(X,Y)z zyxgDdxdyyxf),( :),( fZ(z)=FZ(z) 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y), 求求Z=X+Y的的密度密度. 解解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線x+

4、y =z 左下方的半平面左下方的半平面.2. Z=X+Y型分布型分布 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y的概率密度為的概率密度為: 由由X和和Y的對稱性的對稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和以

5、上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊的邊緣密度分別為緣密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個(gè)公式稱為卷積公式這兩個(gè)公式稱為卷積公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我們用卷積公式來求下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度的概率密度例例2 設(shè)設(shè)X和和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N

6、(0,1).試求試求:Z=X+Y的概率密度的概率密度解解: xexfxX ,21)(22 yeyfyY ,21)(22 FZ(z)=PZz=PX+Yz zyxdxdyyxf),(22221)()(),(yxYXeyfxfyxf xyx+y=zdyedxzFxzyxZ 22221)( 令令y=tx那么那么dtedxzFzxtxZ2)(2221)(dtdxezxtx 212)(22 dxezfxzxZ 2)(2221)( dxezxzx 2222221 dxeezxz 22)2(421 令令2zxm 那么那么dmeezfmzZ 22421)( 4221ze 4221ze )121( 22)2(21

7、22122)2(22 dxemdexm 利利用用可見，可見，ZN(0, 2)分布分布 普通普通, X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且且 XN(1,12), YN(2,22)則則Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布,且且 ZN(1+2,12+22), 還可推廣還可推廣: 有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布例例3 設(shè)設(shè)X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們的概率密度它們的概率密度分別為分別為:試求試求: Z=X+Y的概率密度的概率密度解解: zyxZdxdyyxfzF),()( 0 , 00 ,)(; , 010 , 1)(yyey

8、fxxfyYX其其它它 其它其它 , 00, 10 ,)()(),(yxeyfxfyxfyYX當(dāng)當(dāng)z0時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng)0z0時(shí)時(shí),dxedyzFzyyxZ 0)2(02)(dyeezyy 02)1(2z 221FZ(z)=0 其它其它 , 00, 0,2)()(),()2(yxeyfxfyxfyxYX 0 , 00 ,)2(2)()(2zzzzFzfZZ4. Z=maxX,Y或或Z=minX,Y的分布的分布(1) Z=maxX,Y的分布函數(shù)的分布函數(shù):FZ(z)=PZz若若X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立 則則FZ(z)=PXzPYz=FX(z)FY(z)=PXz,Yz(2) Z=minX,Y的分布函數(shù)的分

9、布函數(shù):FZ(z)=PZz =1PZz=1PXz,Yz若若X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立 那么那么 FZ(z)=1PXzPYz=11PXz1PYz=11FX(z)1FY(z)例例5 對某種電子裝置的輸出測量了對某種電子裝置的輸出測量了5次次,得到的觀察值為得到的觀察值為X1, X2, X3, X4, X5,設(shè)它們設(shè)它們是相互獨(dú)立的裝置是相互獨(dú)立的裝置,且都服從同一分布且都服從同一分布 試求試求: Z=maxX1, X2, X3, X4, X54的概率的概率 0 , 00 ,1)(82zzezFzPZ4=1PZ4=1FZ(4)由已知由已知 ,有有FZ(z)=F(z)5則則PZ4=1F(4)5=1(1e2)5解解:1.要理解二維隨機(jī)變量的概念及其分布函要理解二維隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)的定義及性質(zhì)數(shù)的定義及性質(zhì)3.要理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與要理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分布的關(guān)系聯(lián)合分布的