第一章《勾股定理》專題復習(含答案)

1、第一章勾股定理專項練習專題一：勾股定理考點分析：勾股定理單獨命題的題目較少，常與方程、函數(shù)，四邊形等知識綜合在一起考查，在 中考試卷中的常見題型為填空題、選擇題和較簡單的解答題典例剖析例1. (1)如圖1是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸(單位：mm )，計算兩圓孔中心A和B的距離為mm .(2)如圖2，直線I上有三個正方形 a, b, c,若a, c的面積分別為5和11,則b的面積為()A. 4B. 6C. 16D. 55分析：本題結(jié)合圖中的尺寸直接運用勾股定理計算即可.解：(1)由已知得：AC=150-60=90, BC=180-60=120,由勾股定理得:AB=902

2、+1202=22500,所以 AB=150 (mr)i(2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故選C.求第三邊時，往點評：以上兩例都是勾股定理的直接運用，當已知直角三角形的兩邊,EE52往要借助于勾股定理來解決.例2.如圖3,正方形網(wǎng)格的每一個小正方形的 邊長都是1，試求Z A1E2A2 Z A4E2C4 丄 A4E5C4 的度數(shù).解：連結(jié)A3E2 .*A3A-A|A?,A2E2= A2E2， A3A2E2= A1A2E2= 90 ,二 Rt A3A2E2 Rt AA2E2 (SAS .:乙 AEA2 AA2.由勾股定理，得：C4E5 二一 2212= 5 二 C3E2,AE5一421

3、2萬二AE2,t A4C4 = A3C3 = 2， A4C4 E5 厶 A3C3E2 ( SSS).，也AEC4 Z AE2A2亠.A4E2CA4E5C4= -A3E2C4亠.A4E2C4 亠.A3E2C3= - A E2C4由圖可知 E2C2C4為等腰直角三角形. . A2E2C4 =45.即.A1E2A2 . A4E2C4 . A4E5C4 =45；.點評：由于在正方形網(wǎng)格中，它有兩個主要特征：（1）任何格點之間的線段都是某正方形或長方形的邊或?qū)蔷€，所以格點間的任何線段長度都能求得.（2）利用正方形的性質(zhì)，我們很容易知道一些特殊的角，如45、9O0、1350，便一目了然以上兩例就是根據(jù)網(wǎng)

4、格的直觀性，再結(jié)合圖形特點，運用勾股定理進行計算，易求得線段和角的特殊值，重點考查學生的直覺觀察能力和數(shù)形結(jié)合的能力.專練、 ABC 中，/ A:Z B:Z C=2: 1: 1, a, b, c 分別是/ A、/ B、/ C 的對邊，則下列各等式中成立的是（）(A)a2b2二 c2 ；(B)a2二 2b2 ；( C)c2 = 2a2 ；(D)b2 = 2a22、若直角三角形的三邊長分別為2, 4, x,貝U x的可能值有（）(A) 1 個;(B)2 個；（C） 3 個；(D)4個3、一根旗桿在離底面4.5米的地萬折斷，旗桿頂端洛在離旗桿底部6米處，則旗桿折斷前高為（）(A) 10.5 米；(B

5、)7.5 米；(C) 12 米；(D)8米4、下列說法中正確的有（)（1）如果/A+/ B+/ C=3:4:5,則厶ABC是直角三角形；（2）如果/A+/B=/C,那么圖4 ABC是直角三角形；（3）如果三角形三邊之比為 6: 8: 10,則ABC是 直角三角形；（4）如果三邊長分別是 n2 -1,2n, n2 1（n -1），則ABC是 直角三角形。（A） 1 個；（B） 2 個；（C） 3 個；（D） 4 個5、如圖4是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則判斷正確的是（）2.2 2 2.2 2A. a c B . b c C . 4a +b =c D . a +b =c6、 已知直角三角形兩邊長

6、分別為3、4,則第三邊長為 .7、已知直角三角形的兩直角邊之比為3: 4，斜邊為10,則直角三角形的兩直角邊的長分別為8、利用圖5 （1）或圖5 （2）兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學中一個十分著名的定理，這個定理稱為 ，該定理的結(jié)論其數(shù)學表達式是圖 5（ 1）bCBA12、已知一個等腰三角形的底邊和腰的長分別為12 cm和10 cm，求這個三角形的面積9、 一棵樹因雪災于 A處折斷，如圖所示，測得樹梢觸地點B到樹根C處的距離為4米，/ ABC勺45,樹干AC垂直于地面，那么此樹在未折斷之前的高度約為 米（答案可保留根號）10、 如圖6,如果以正方形 ABCD勺對角線AC為邊作第二個

7、正方形 ACEF再以對角線 AE為邊作第三個正方形 AEGH如此下去，已知正方形ABCD的面積3為1,按上述方法所作的正方形的面積依次為 S2, S3，Sn （ n為正整數(shù)），那么第8個正方形的面積 S8 =。11、如圖7，在4 ABC中，AB=AC=10 BC=8.用尺規(guī)作圖作BC邊上的中線AD （保留作圖痕跡，不要求寫作法、證明） 并求AD的長.13、在厶 ABC中，/ C=90 ,AC=2.1 cm, BG2.8 cm(1) 求這個三角形的斜邊 AB的長和斜邊上的高 CD的長.(2) 求斜邊被分成的兩部分 AD和BD的長14、如圖&要修建一個育苗棚，棚高h=1.8 m,棚寬a=2.4 m

8、,棚的長為12 m,現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜？圖815、如圖9,已知長方形 ABCD AB=8 cm,BC=10 cm,在邊CD上取一點 己，將厶ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長圖9專題二：能得到直角三角形嗎考點分析：本部分內(nèi)容是勾股定理及其逆定理的應用，它在中考試卷中不單獨命題，常與其它知識綜合命題典例剖析例1.如圖10, A B兩點都與平面鏡相距 4米，且A、B兩點相距6米，一束光線由 A射向平面鏡反射之后恰巧經(jīng)過 B點，求B點到入射點的距離.分析：此題要用到勾股定理，全等三角形，軸對稱及物理上的光的反射的知識解：作出B點關(guān)于CD的對稱點B,連

9、結(jié)AB,交CD于點O,則O點就是光的入射點, 因為 B D=DB 所以 B D=AC / B DO/ OCA90, Z B =Z CAO所以 B D3A ACOSSS,則 0C=0D=aB=1 x 6=3 米，連結(jié) OB在 Rt ODB , OD+bD=oB ,2 2所以0B=32+42=52,即OB=5（米）,所以點B到入射點的距離為 5米.評注：這是以光的反射為背景的一道綜合題,涉及到許多幾何知識，由此可見，數(shù)學是 學習物理的基礎例2 如果只給你一把帶刻度的直尺，你是否能檢驗Z MPN1不是直角，簡述你的作法.分析：只有一把刻度尺，只能用這把刻度尺量取線段的長度，若ZP是一個直角，Z P所

10、在的三角形必是個直角三角形，這就提示我們把ZP放在一個三角形中，利用勾股定理的逆定理來解決此題.作法：在射線 PM上量取PA=3 c血，確定A點， 在射線PN上量取 PB=4cc,確定 B點. 連結(jié)AB得厶PAB 用刻度尺量取 AB的長度，如果AB恰為5 cc,則說明Z P是直角，否則Z P不是直角.理由：PA=3cm, PB=4cm, PA2 +PB2 =32 +4 2 =5 2 ,若AB=5切，則PA2+PB2=AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理得PAB是直角三角形，/ P是直角.說明：這是一道動手操作題，是勾股定理的逆定理在現(xiàn)實生活中的一個典型應用學生既要會動手操作，又必須能夠把操作的步驟完整

11、的表述出來，同時要清楚每個操作題的理論基礎.專練二：1. 做一做：作一個三角形，使三邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm,哪條邊所對的角是直角？為 什么？2. 斷一斷：設三角形的三邊分別等于下列各組數(shù)：7, 8, 107, 24, 2512, 35, 3713, 11, 10(1) 請判斷哪組數(shù)所代表的三角形是直角三角形，為什么？(2) 把你判斷是 Rt的哪組數(shù)作出它所表示的三角形，并用量角器來進行驗證3算一算：.一個零件的形狀如圖 12,已知 AC=3cm, AB=4叫 BD=12cm,求：CD的長.A=13,4.一個零件的形狀如圖 13所示，工人師傅按規(guī)定做得 AB=3, BC=4, A

12、G5, CD=12,假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計算一下這塊鋼板的面積嗎?5. 如圖14,等邊三角形 ABC內(nèi)一點P, AF=3, BP=4,6若 ABC勺三邊長為a, b,c，根據(jù)下列條件判斷(1)a2+b2+c2+200=12a+l6b+20c(2)7 請在由邊長為1的小正三角形組成的虛線網(wǎng)格中，畫出1個所有頂點均在格點上，且至長油紙.圖15專題三：螞蟻怎樣走最近考點分析:勾股定理在實際生活中的應用較為廣泛，它常常單獨命題，有時也與方程、函數(shù)，四邊形等知識綜合在一起考查，在中考試卷中的常見題型為填空題、選擇題和較簡單的解答題典例剖析例1如圖16 ( 1)所示，一個梯子 AB長2.5米,

13、頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端 B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在 DE位置上，如圖10 (2)測得得BD=0.5米，求梯子頂端 A下落了多少米?分析：梯子頂端A下落的距離為AE,(1)圖 16(2) (2)即求AE的長.已知AB和BC,根據(jù)勾股定理可求 AC,只要求出EC即可。解：在 Rt ACB中，AC=A-BC2=2.5 2-1.5 2=4,AC=2, / BD=0.5,. CD=2在ECD 中，EC 二 ED -CD =2.5 - 2 =2.25 EC=1.5, - AE = AC - EC = 2 - 15 = 05，所以，梯子頂端下滑了0.5 米.點評：在實際生活、生產(chǎn)及建

14、筑中，當人們自身高度達不到時，往往要借助于梯子，這時對梯子的選擇，及梯子所能達到的高度等問題，往往要用到勾股定理的知識來解決.但要 注意：考慮梯子的長度不變.例2.有一根竹竿，不知道它有多長.把竹竿橫放在一扇門前，竹竿長比門寬多4尺; 把竹竿豎放在這扇門前，竹竿長比門的高度多 2尺；把竹竿斜放，竹竿長正好和門的對角 線等長.問竹竿長幾尺？分析：只要根據(jù)題意，畫出圖形，然后利用勾股定理，列出方程解之2 2 2解：設竹竿長為x尺。則：(x 4) + (x 2) =x X1=10 , X2=2 (不合題意舍去) 答：竹竿長為10尺。評注：本題是勾股定理與方程的綜合應用問題，它綜合考查了同學們的建模思

15、想和方法圖17的理解和運用，符合新課程標準的理念，請注意這類問題！例3.如圖17,客輪在海上以30km/h的速度由B向C航行,在B處測得燈塔 A的方位角為北偏東80；,測得C處的方位角為南 偏東25，航行1小時后到達C處，在C處測得A的方位角為北偏東20，則C到A的距離是（ ）A. 15、. 6 km; B. 15、2 km; C. 15（ ., 6 亠；2） km; D. 5（6 亠 3、. 2） km分析：本題是一道以航海為背景的應用題，由已知條件分析易知厶ABC不是直角三角形，這就需要作三角形的高，將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形， 問題便可得到解決.解：由條件易得：/ C=45i,Z A

16、BC=75,則/ A=6C,過B作BD丄AC 垂足為D,.A BCD是等腰直角三角形，又BC=30km由勾股定理得：2CD=302,. CD=15、,2 , BD=15、2，設 AD=x,則 AB=2x,由勾股定理得：BD=, 3x ,、3x = 15,2 , x=5-6 , AC=15,2+5、6，故選 D.點評：在航海中，有時需要求兩船或船與某地方的距離，以保證航海的安全，有時就 需要用勾股定理及判定條件來加以解決，熟練應用勾股定理是解題的關(guān)鍵.專練三:1. 小明從家走到郵局用了8分鐘，然后右轉(zhuǎn)彎用同樣的速度走了分鐘到達書店（如圖18）,已知書店距離郵局 640米，那么小明家距離書店 米.

17、2. 一根新生的蘆葦高出水面 1尺，一陣風吹過，蘆葦被吹倒一邊,頂端齊至水面，蘆葦移動的水平距離為 5尺，則水池的深度和蘆葦?shù)拈L度各是 3. 小明叔叔家承包了一個矩形養(yǎng)魚池，已知其面積為48m2，其對角線長為10m,為建起柵欄，要計算這個矩形養(yǎng)魚池的周長，你能幫助小明算一算，周長應該是4. 求圖19所示（單位mr）i矩形零件上兩孔中心A和B的距離（精確到 0. Imm）.A出發(fā)先向5. 假期，小王與同學們在公園里探寶玩游戲，按照游戲中提示的方向，他們從正東走了 800米，再向正北走了 200米，折向正西走 300米，再向正北走 600米，再向正東走100米，到達了寶藏處 B,問A、B間的直線距

18、離是6. 如圖20所示，為修鐵路需鑿通隧道AC測得/ A=53,/ B=37. AB=5km BC=4km 若每天鑿 0.3km ,試計算需要幾天才能把隧道AC鑿通.米.7. 如圖21,有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm BC=8cm現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊 AB上,且與AE重合,你能求出CD的長嗎？&觀察下列表格:列舉猜想3、4、532=4+55、12、1325 =12+137、24、2527 =24+2513、b、c132=b+c請你結(jié)合該表格及相關(guān)知識，求出b、c的值。9.如圖22所示的一塊地， AD=12m CD=9m / ADC=90 , AB=39m B

19、C=36m求這塊地的面積.參考答案專練一：32001. ; 2. 12, 13; 3 . 28;35. 10006. 解：因為/ A=53，/ B=37./ ACB=90 ,AC 3在 Rt ABC 中，AC2 =AB2 -BC 2 =5 2 -4 2 =9，所以 AC=3 需要的時間 t=100.30.3(天) 答：需要10天才能把隧道 AC鑿通。7. 由勾股定理得： AB=10,設CD=x貝U DE=x BD=8-x, BE=4,由勾股定理得：2 2 24+x=(8-x)，解得 x=3,即即 CD=3& 12, 59 連結(jié) AC 在 Rt ADC中,AC2 二 CD2 AD2 =122 9

20、2 =225, AC = 15，在 ABC中，AB2=15212 2 2AC2 BC2 =152362 =1521, AB = AC BC , . ACB =90CD2= 216(m2)1 1Sabc - s.Ac AC BC iAD1115 36129 =270 -5422答：這塊地的面積是 216平方米。專練二:1. 做一做：5 cm所對的角是直角，因為在直角三角形中直角所對邊最長.2. 斷一斷：(1) / 72+242=252, 12 2+352=372 (2) 略3. 解：在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理：BC2 =AC2 +AB2 =32 +42 =25，在直角三角形2 2 2 2

21、CBD中，根據(jù)勾股定理：CD =BC +BD =25+12 =169,二 CD=134. v 42+32=52,5 2+122=132,即 AW+BC=AC,故/ B=90 ,同理，/ ACD9011S 四邊形 abc=Sabc+Saac= X 3 X 4+ X 5X 12=6+30=36.225. 解：如圖，以AP為邊作等邊 APD連結(jié)BD則/ 1=60/BAP / 2,在厶 ADBm AP(中,ADAP / 1 = / 2, AB=AC ADB2A ADCSAS BD=PC=5, 又 PD=AF=3, BF=4 BP+PD=42+32=25=BD / BPD90 / APB/ APD-/

22、BPD=1502 2 2 2 2 26. (1) T a+b+c+100=12a+16b+20c,. (a 12a+36)+(b 16b+64)+( c 20c+100)=0 ,即(a 6) 2+(b 8)2+(c 10)2=02 2 2 2 2 2 a 6=0, b 8=0, c 10=0,即 a=6, b=8, c=10,而 6 +8 =100=10 , a +b =c , ABC為直角三角形3223(2 )( a a b)+( ab b) (ac bc )=0 , a (a b)+ b (a b) c (a b)=0 , (a b)( a +b2c )=0 a b=0或a2+b2 c2=

23、0,.此三角形 ABC為等腰三角形或直角三角形 7. 解：本題答案不惟一，只要符合要求都可以，以下答案供參考.&解：將圓筒展開后成為一個矩形，如圖，整個油紙也隨之分成相等4段只需求出AC長108 即可，在 Rt ABC中，AB=36, BC= 274由勾股定理得 AC2 =AB2 +BC2 =36 2 +27 2 AC=45故整個油紙的長為 45X 4=180 (cm).專練三：1、C; 2、B;3、B;4、C;5、D 6、5,7 ; 7、6,8;8、勾股定理,a2b C2;9、4 4.2 ； 10、128;11、(1 )作圖略;11(2)在厶 ABC 中，AB=AC AD是厶 ABC 的中線，二 ADL BQ BD = CD = BC = 乂 8 = 4 22在 Rt ABD中，AB= 10 , BD= 4, AD2 BDAB2 ,.AD AB2 -BD2 =、.1