常微分方程課件_第15講(29)

1、1Lecture 15Review (復(fù)習(xí)復(fù)習(xí))2第一章第一章 緒論緒論一、基本概念一、基本概念: :熟練掌握下列基本概念熟練掌握下列基本概念微分方程微分方程 常微分方程常微分方程( (組組) )與偏微分方程偏微分方程( (組組)C/P16)C/P16微分方程的階微分方程的階C/P16C/P16正規(guī)型微分方程正規(guī)型微分方程( (組組) )與隱微分方程隱微分方程( (組組) C/P17) C/P17線性微分方程線性微分方程( (組組)齊次齊次/ /非齊次非齊次 與非線性微分方程非線性微分方程( (組組)C/P17)C/P17線性微分方程線性微分方程( (組組) )的解的解 通解通解( (隱式通解

2、隱式通解) )與特解特解( (隱式特解隱式特解) ) C/PP17-18C/PP17-18定解條件定解條件 初值條件初值條件 與定解問題定解問題 初值問題初值問題C/P18C/P18二、會建立一些簡單的微分方程模型二、會建立一些簡單的微分方程模型C/PP2-7/C/PP2-7/例例1,1,例例2,2,例例3;C/P74/3,4;C/P165/5;C/P183/4;C/P189/3;C/P74/3,4;C/P165/5;C/P183/4;C/P189/例例11駐定駐定 自治自治 與非駐定非駐定 非自治非自治 微分方程微分方程C/P21C/P21相空間相空間 相平面相平面 、積分曲線、積分曲線與軌

3、線、平衡解軌線、平衡解 駐定解、駐定解、常數(shù)解、奇點、平衡點常數(shù)解、奇點、平衡點C/P22+P253C/P22+P2533第二章第二章 一階微分方程的初等解法一階微分方程的初等解法1.什么叫一階微分方程初等解法什么叫一階微分方程初等解法?C/P302.是否任何一階微分方程都可用初等方法求解是否任何一階微分方程都可用初等方法求解?C/P723.哪些類型的一階微分方程可用初等方法求解哪些類型的一階微分方程可用初等方法求解?C/PP70-71基本要求基本要求: :熟練掌握下列知識熟練掌握下列知識4.什么是變量可分離方程及變量已分離方程什么是變量可分離方程及變量已分離方程?如何求解如何求解?C/P30

4、對于不是變量可分離方程對于不是變量可分離方程,如何尋找合適的變量變換化為如何尋找合適的變量變換化為變量可分離的方程變量可分離的方程. 這一般而言是困難的這一般而言是困難的!4第二章第二章 一階微分方程的初等解法一階微分方程的初等解法1.什么叫一階微分方程初等解法什么叫一階微分方程初等解法?C/P302.是否任何一階微分方程都可用初等方法求解是否任何一階微分方程都可用初等方法求解?C/P723.哪些類型的一階微分方程可用初等方法求解哪些類型的一階微分方程可用初等方法求解?C/PP70-714.什么是變量可分離方程及變量已分離方程什么是變量可分離方程及變量已分離方程?如何求解如何求解?C/P303

5、6-)PP34?( ) 1 (如何求解什么是齊次方程齊次方程? , 37,-PP36 )2(222111222111如何求解的方程或更一般地形式為cybxacybxafdxdycybxacybxadxdy74-PP72P43/2,3P38 )3(其其它它形形式式基本要求基本要求: :熟練掌握下列知識熟練掌握下列知識5第二章第二章 一階微分方程的初等解法一階微分方程的初等解法1.什么叫一階微分方程初等解法什么叫一階微分方程初等解法?C/P302.是否任何一階微分方程都可用初等方法求解是否任何一階微分方程都可用初等方法求解?C/P723.哪些類型的一階微分方程可用初等方法求解哪些類型的一階微分方程

6、可用初等方法求解?C/PP70-714.什么是變量可分離方程及變量已分離方程什么是變量可分離方程及變量已分離方程?如何求解如何求解?C/P305.什么是一階線性微分方程與常數(shù)變易法什么是一階線性微分方程與常數(shù)變易法?如何求解如何求解?C/PP44-456.什么是伯努利什么是伯努利(Bernoulli)微分方程微分方程?如何求解如何求解?C/P477.什么是恰當微分方程什么是恰當微分方程?如何判別一個給定的微分方程是否為如何判別一個給定的微分方程是否為恰當方程恰當方程判別準則判別準則?如何求解如何求解?C/PP51-538.什么是積分因子什么是積分因子?如何尋找積分因子如何尋找積分因子?找積分因

7、子的一找積分因子的一些常用準則些常用準則.困難困難!PP56-579.一階隱式微分方程與參數(shù)表示及其解法一階隱式微分方程與參數(shù)表示及其解法C/PP62-69及例子及例子.基本要求基本要求: :熟練掌握下列知識熟練掌握下列知識6C/PP70-72對于一階微分方程對于一階微分方程0) ,(yyxF的若干類型的初等解法，歸納起來就是：的若干類型的初等解法，歸納起來就是：),(yxfy 或或0),(),(dyyxNdxyxM 主要介紹了五種類型的方程（變量分離方程、齊次方主要介紹了五種類型的方程（變量分離方程、齊次方程、線性方程、程、線性方程、BernoulliBernoulli方程及恰當方程）的初等

8、解法方程及恰當方程）的初等解法. .要求熟練掌握這五種類型一階微分方程的初等解法要求熟練掌握這五種類型一階微分方程的初等解法. .但實際但實際上作為基礎(chǔ)的只有變量分離方程與恰當方程，其他類型的上作為基礎(chǔ)的只有變量分離方程與恰當方程，其他類型的方程可借助變量變換或積分因子化為這兩種類型，這可簡方程可借助變量變換或積分因子化為這兩種類型，這可簡略地用下圖表示：略地用下圖表示：解出，即方程取形式解出，即方程取形式就就若方程若方程 0) ,( 1yyyxF、7) 2 , 1( iyibxiauxyu/dxxPexcy)()()(1yyNxM 1dxxPneny)() 1(1dxxPe)(nyz1221

9、1baba0坐坐標標變變換換0),(yxfy 或或0),(),(dyyxNdxyxM8dydppyfpyfppy),(),(1或或dxdppxfpxfppx),(),(它們是導(dǎo)數(shù)已解出的微分方程它們是導(dǎo)數(shù)已解出的微分方程. . 如果用分離變量法或恰當方程法如果用分離變量法或恰當方程法求得通解為求得通解為0) ,(yyxF 0) ,( 2解解出出，即即方方程程可可化化為為或或就就若若方方程程xyyyxF、 , ) ,(yyfxyxfy或或 , 之間的一階微分方程之間的一階微分方程或或與與把問題化為求解關(guān)于把問題化為求解關(guān)于后后則令則令yxppy 0),(cpx0),(cpy或或則它的參數(shù)形式的通

10、解為：則它的參數(shù)形式的通解為：),(0),(pxfycpx),(0),(pyfxcpx或9引入?yún)?shù)引入?yún)?shù)t t, , 將方程表示為參數(shù)形式：將方程表示為參數(shù)形式：)()(tytx或或)()(tytycdttty)( )(或或cdtttx)()( 0) ,(yyxF , , 0) ,( 3但但方方程程的的形形式式為為 解解出出或或不不能能就就若若方方程程yxyyyxF、0) ,(yxF或或0) ,(yyF求求得得利利用用恒恒等等式式 , dxydy 于是，原方程的參數(shù)形式的通解為：于是，原方程的參數(shù)形式的通解為：cdtttytx)( )()(或或)()()( tycdtttx10幾點補充說明幾

11、點補充說明要要視視具具體體問問題題而而定定到到底底哪哪個個是是未未知知函函數(shù)數(shù)與與, . 2yx1.對于一個給定的一階微分方程對于一個給定的一階微分方程,首先會判斷它是哪種類型首先會判斷它是哪種類型?P72, ,P P4 46 6/ /例例2 24 42 2- -見見P PP P4 41 111命題命題C/P78/C/P78/證明見證明見程的初值問題程的初值問題積分方程對應(yīng)于微分方積分方程對應(yīng)于微分方 . 3 C/ ;P P4 49 9/ /1 1( (1 16 6) )見見C C/ /P P4 43 3/ /4 4. )( ,)(2)()( )( 00 xfdttfxdttftxxfxx試試

12、求求且且滿滿足足可可微微，設(shè)設(shè)例例如如. 2)0( ,yydxdy11幾點補充說明幾點補充說明要要視視具具體體問問題題而而定定到到底底哪哪個個是是未未知知函函數(shù)數(shù)與與, . 2yx1.對于一個給定的一階微分方程對于一個給定的一階微分方程,首先會判斷它是哪種類型首先會判斷它是哪種類型?P72, ,P P4 46 6/ /例例2 24 42 2- -見見P PP P4 41 1! 分方程的初值問題分方程的初值問題有時甚至是一個高階微有時甚至是一個高階微. )( )()( )( 00 xfdtxttfdttfxxfxx試試求求，且且滿滿足足可可微微，設(shè)設(shè)例例如如. 1)0( , 1)0( , 0yy

13、yy11命題命題C/P78/C/P78/證明見證明見程的初值問題程的初值問題積分方程對應(yīng)于微分方積分方程對應(yīng)于微分方 . 3 C/ ;P P4 49 9/ /1 1( (1 16 6) )見見C C/ /P P4 43 3/ /4 412幾點補充說明幾點補充說明要要視視具具體體問問題題而而定定到到底底哪哪個個是是未未知知函函數(shù)數(shù)與與, . 2yx1.對于一個給定的一階微分方程對于一個給定的一階微分方程,首先會判斷它是哪種類型首先會判斷它是哪種類型?P72:. 4其它難點其它難點型型換化為可求解的方程類換化為可求解的方程類會作一些簡單的變量變會作一些簡單的變量變) 1 (化化為為恰恰當當方方程程

14、會會求求一一些些特特殊殊積積分分因因子子)2(, ,P P4 46 6/ /例例2 24 42 2- -見見P PP P4 41 111命題命題C/P78/C/P78/證明見證明見程的初值問題程的初值問題積分方程對應(yīng)于微分方積分方程對應(yīng)于微分方 . 3 C/ ;P P4 49 9/ /1 1( (1 16 6) )見見C C/ /P P4 43 3/ /4 4! 分方程的初值問題分方程的初值問題有時甚至是一個高階微有時甚至是一個高階微13第三章第三章 一階微分方程的解的存在定理一階微分方程的解的存在定理1.掌握掌握Lipschitz條件的概念及其一個充分條件條件的概念及其一個充分條件2.會敘述

15、解的存在唯一性定理,了解其證明思路3.會求定理中解的存在區(qū)間4.理解微分方程初值問題與積分方程等價的含義理解微分方程初值問題與積分方程等價的含義5.會求逐次逼近解及逐次逼近解與精確解之間的誤差估計見P87/例16.了解解的延拓性定理 、解對初值的連續(xù)性和可微性定理14第四章第四章 高階微分方程高階微分方程1. .掌握齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程的解的疊加原理掌握齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程的解的疊加原理2.掌握函數(shù)的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性及其判別法掌握函數(shù)的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性及其判別法:朗斯基行列式朗斯基行列式3.掌握齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理掌握齊

16、次線性微分方程與非齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理;齊齊次線性微分方程的基本解組與標準基本解組次線性微分方程的基本解組與標準基本解組基本要求基本要求: :4.了解利用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的一個特解5.熟練掌握求常系數(shù)齊次線性微分方程及歐拉方程的一個基本解組熟練掌握求常系數(shù)齊次線性微分方程及歐拉方程的一個基本解組及通解表達式的特征值方法及通解表達式的特征值方法6.熟練掌握求常系數(shù)非齊次線性微分方程熟練掌握求常系數(shù)非齊次線性微分方程(包括歐拉方程包括歐拉方程)當非齊次當非齊次項是兩類特殊類型函數(shù)時的一個特解的比較系數(shù)法項是兩類特殊類型函數(shù)時的一個特解的比較系數(shù)法(待定系數(shù)法待定系數(shù)法)及及

17、其它其它P165/2(15,18,19,20);37. 掌握利用降階法求三類非線性高階方程的解掌握利用降階法求三類非線性高階方程的解PP167-1738. 了解高階方程的冪級數(shù)解法9. 會做一些簡單的證明題會做一些簡單的證明題C/P131/1;C/P132/5-7;C/P165/6-715第五章第五章 線性微分方程組線性微分方程組1. .掌握線性微分方程組的矩陣表示掌握線性微分方程組的矩陣表示( (包括矩陣函數(shù)的分析性質(zhì)包括矩陣函數(shù)的分析性質(zhì)););掌掌握高階線性微分方程與一階線性方程組等價的含義握高階線性微分方程與一階線性方程組等價的含義C/P194C/P194基本要求基本要求: :2.了解

18、矩陣函數(shù)的范數(shù),矩陣函數(shù)列及矩陣函數(shù)項級數(shù)一致收斂性等概念,線性微分方程組初值問題的存在唯一性定理見見PP340-341 /本章學(xué)習(xí)要點本章學(xué)習(xí)要點;及其本章中定理的證明及其本章中定理的證明3.掌握齊次線性微分方程組與非齊次線性微分方程組解的疊加原理掌握齊次線性微分方程組與非齊次線性微分方程組解的疊加原理5.掌握齊次線性微分方程組與非齊次線性微分方程組的解的結(jié)構(gòu)定掌握齊次線性微分方程組與非齊次線性微分方程組的解的結(jié)構(gòu)定理理;齊次線性微分方程組的解矩陣齊次線性微分方程組的解矩陣,基解矩陣與標準基解矩陣的概念基解矩陣與標準基解矩陣的概念4.掌握向量函數(shù)組的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性及其判別法掌握向量函數(shù)組的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性及其判別法:朗斯基行朗斯基行列式列式6.了解利用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程組的一個特解(向量)7.熟練掌握求常系數(shù)齊線性方程組一個基解矩陣的特征值方法熟練掌握求常系數(shù)齊線性方程組一個基解矩陣的特征值方法8. 會求常系數(shù)非齊線性方程組一個特解及通解表達式會求常系數(shù)非齊線性方程組一個特解及通解表達式1616第六章第六章 非線性微分方程非線性微分方程( (組組) )1. .了解非線性方程(組)的存在唯一