南昌大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法期末考試試卷2009B卷答案

1、南昌大學(xué) 20082009學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 試卷編號(hào)：6031 (B)卷課程編號(hào)：H55020190 課程名稱： 數(shù)學(xué)物理方法 考試形式： 閉卷 適用班級(jí)：物理系07各專業(yè) 姓名： 學(xué)號(hào)： 班級(jí)： 學(xué)院： 專業(yè)： 考試日期： 題號(hào)一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分454015 100得分考生注意事項(xiàng)：1、本試卷共6頁(yè)，請(qǐng)查看試卷中是否有缺頁(yè)或破損。如有立即舉手報(bào)告以便更換。 2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場(chǎng)。一、填空題(每小題 3 分，共 45 分) 得分評(píng)閱人 說(shuō)明：有兩個(gè)空的小題，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空1分。1.復(fù)數(shù)_ 1i , 。2

2、.復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件為 u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)并滿足柯西黎曼條件 。3.若復(fù)變函數(shù)在區(qū)域B上解析，其實(shí)部為，則其虛部為 B （備選答案：A. ；B. ；C. ；D. ）。4. 0 。5.根據(jù)柯西公式，積分；。第 6 頁(yè) 共 6頁(yè)6.函數(shù)有_1_個(gè)極點(diǎn)，為_(kāi)1_階極點(diǎn)，在極點(diǎn)處的留數(shù)為_(kāi)2_。7.閉區(qū)域E的內(nèi)點(diǎn)為 某一鄰域及其本身均屬于E的點(diǎn) ；境界點(diǎn)為任一鄰域及其本身均部分屬于，部分不屬于點(diǎn)集E的點(diǎn) 。8.雙邊冪級(jí)數(shù)為 包含負(fù)冪項(xiàng)的冪級(jí)數(shù) ，其主要部分為 負(fù)冪部分 ，解析部分為 正冪部分 。9.在原點(diǎn)的鄰域上，可展開(kāi)為，可展開(kāi)為。10. 函數(shù) 的傅里葉變換為。11.

3、的拉普拉斯變換為。12.數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的適定性是指解的_存在性_，_唯一性_，_穩(wěn)定性_。13.一根兩端(左端為坐標(biāo)原點(diǎn)而右端）固定的弦，用手在離弦左端長(zhǎng)為處把弦朝橫向撥開(kāi)距離，然后放手任其振動(dòng)。橫向位移的初始條件為 。14.偏微分方程的類型為 A (備選答案：A.雙曲型B.拋物型 C. 橢圓型 D. 混合型)；為了得到標(biāo)準(zhǔn)形，可以采用的自變量函數(shù)變換為。15.判斷下面的說(shuō)法是否正確，正確的在題后的“（）”中打，錯(cuò)誤的打×。（1）若函數(shù)在點(diǎn)解析，則函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，反之亦然。 （×）（2）復(fù)通區(qū)域上的回路積分不一定為零。同樣，單通區(qū)域上的回路 積分也可以不為零。 （）（3

4、）設(shè)為復(fù)數(shù)，則。 （×）二、求解題(每小題 10 分，共 40 分)得分評(píng)閱人 說(shuō)明：要求給出必要的文字說(shuō)明和演算過(guò)程。1. 用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分。解：被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)對(duì)積分有貢獻(xiàn)：?jiǎn)螛O點(diǎn)，兩階極點(diǎn)。 -(2分)留數(shù)分別為 -(6分)根據(jù)留數(shù)定理得 -(2分)2. 用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分。解：根據(jù)留數(shù)定理有：在上半平面所有奇點(diǎn)留數(shù)之和-(2分)所以-(3分)-(3分) -(2分)3. 解常微分方程初值問(wèn)題已知，。(可使用拉普拉斯變換或其它任何方法)。解：對(duì)方程拉普拉斯變換并化簡(jiǎn)得-(5分)解之得-(2分)由拉普拉斯逆變換得 -(3分)4. 設(shè)滿足方程和邊界條件，其中可為任意實(shí)數(shù)，試根

5、據(jù)的可能取值求解方程，并根據(jù)邊界條件確定本征值和本征函數(shù)。 解：可分為三種情況討論：1) ，解為，由邊界條件只能得到平庸解，顯然沒(méi)有意義。 -(3分) 2) ，解為，代入邊界條件得，于是為任意常數(shù)。 -(2分) 3) ，解為,代入邊界條件得a) 當(dāng) 的取值使得 時(shí)，必有 ，這和上兩種情況一樣沒(méi)有意義。b) 當(dāng) 的取值使得 時(shí)， 不必為零，這種是有意義的情況。此時(shí)由 得到本征值: 綜合2）和3）兩種情況得本征值 此時(shí)，本征解為 -(5分)三、數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題 (共15 分)1.（8分）考查半無(wú)限長(zhǎng)弦定解問(wèn)題：，初始條件為，端點(diǎn)處邊界條件為。 （1）尋找泛定方程的一個(gè)特解再作變換 使得的邊界條件滿足； （2）利用的邊界條件滿足將該問(wèn)題延拓為達(dá)朗貝爾公式定解問(wèn)題； （3）給出達(dá)朗貝爾公式，并求解該問(wèn)題。 解：（1） -(2分) （2）作變換后，的定解問(wèn)題為，。根據(jù)邊界條件，做奇延拓，即假定時(shí)，。 -(2分) （3）若方程的初始條件為，則其解為，此即達(dá)朗貝爾公式。-(2分) 根據(jù)此公式，容易求得，當(dāng) 時(shí)，當(dāng)， -(2分) 2. 矩形區(qū)域上的定解問(wèn)題是否可直接利用分離變數(shù)法求解？為什么？然后將之變換為可利用分離變數(shù)法求解的問(wèn)題。（提示：尋找滿足泛定方程和邊界條件的一個(gè)特解再作變換 使得的泛定方程以及在方向上的兩個(gè)邊界