三多面體和旋轉體的體積

1、三 多面體和旋轉體的體積 §27 體積的概念與公理 §28 棱柱、圓柱的體積 一、素質教育目標（一）知識教學點1體積的概念與公理5、公理62棱柱、圓柱的體積公式（二）能力訓練點1理解并掌握公理5及其推論1、2和公理62理解并掌握棱柱、圓柱的體積公式并會應用它求棱柱、圓柱的組合體的體積（三）德育滲透點1使學生認識求棱柱、圓柱的體積是人類生產實踐的需要，進一步培養(yǎng)學生實踐第一的觀點2通過公理6（祖暅原理）把棱柱、圓柱的體積問題轉化成可求體積的等積體長方體的體積問題，使學生懂得一般與特殊間關系及化歸的解題意識3通過祖暅原理的提出比國外早1200年的事實，激發(fā)學生的愛國熱情二、教學

2、重點、難點和疑點1教學重點：公理5、6，棱柱、圓柱的體積公式及其應用2教學難點：對公理6的理解及利用公理6、5推出棱柱、圓柱的體積公式3教學疑點：把棱柱、圓柱的體積轉化成等積的長方體，這個長方體的存在性三、課時安排1課時四、教與學過程設計（一）體積的概念師：在生產建設和科學實驗中，經常會遇到關于物體體積的問題，這些問題與各種幾何體的體積有關，那么什么叫做幾何體的體積？生：幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積師：同度量長度、面積一樣，要度量一個幾何體的體積，首先要選取一個單位體積作為標準，然后求出幾何體的體積是單位體積的多少倍，這個倍數(shù)就是這個幾何體的體積的數(shù)值通常取棱長等于單位長度（例如1cm

3、、1m等）的正方體的體積作為體積單位作為推算體積的基礎，我們把下面的兩個事實當作公理（二）兩個公理公理5 長方體的體積等于它的長、寬、高的積V長方體=abc推論1 長方體的體積等于它的底面積S和高h的積V長方體=Sh推論2 正方體的體積等于它的棱長a的立方V正方體=a3公理6 夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等圖2-48表示，夾在平行平面、之間的兩個形狀不同的幾何體，被平行于平面、的任意一個平面所截，如果截面P和Q的面積總相等，那么它們的體積一定相等師：公理6的條件有三個：（1）這兩個幾何體夾在兩個平行平

4、面之間；（2）兩個幾何體被平行于這兩個平面的任意平面所截；（3）兩個截面的面積總相等三個條件缺一不可，否則不能得出兩個幾何體的體積相等師：我國古代數(shù)學家祖暅，早在公元五世紀，就在實踐的基礎上，總結出這個公理，并首先用這個公理證明了球的體積公式，因而我們把公理6也叫做祖暅原理祖暅比外國人早十二世紀提出這個事實在古代我國數(shù)學家對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻也是很大的（三）棱柱、圓柱的體積師：下面我們用以上兩個公理來求棱柱和圓柱的體積師問：棱柱、圓柱的截面有什么性質？生：平行于底面的截面與底面相等師：設棱柱與圓柱的底面積都為S、高都為h，根據(jù)祖暅原理，那么它們的體積相等，但等于多少呢？為此還必須引進一個底面積

5、為S、高為h的長方體，而這樣的長方體、棱柱、圓柱的體積都相等由公理5的推論1和V長方體=Sh，于是得到下面的定理：定理 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S和高h的積V柱體=Sh推論 底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是 V圓柱=r2h（四）例題例1 有一堆相同規(guī)格的六角螺帽毛坯（圖2-50）共重5.8kg，已知底面六邊形的邊長是12mm，高是10mm，內孔直徑是10mm問約有毛坯多少個（鐵的比重是7.8g/cm3）分析：要先求出一個螺絲帽的體積，而一個螺絲帽的體積等于一個正六棱柱與一個圓柱體積之差象這樣，由若干個簡單體組合而成的幾何體，叫做組合體求組合體積的關鍵是掌握簡單體的體積公式這是一

6、個實際題，是屬于近似計算的，由于所給的數(shù)據(jù)都具有兩位有效數(shù)字，因此運算過程中都取三位有效數(shù)字，結果取二位有效數(shù)字解：六角螺帽毛坯的體積是一個正六棱柱的體積與一個圓柱的體積之差毛坯的體積V=3.74×103-0.785×1032.96×103（mm3）=2.96（cm3）5.8×103÷（7.8×2.96）2.5×102（個）答：這堆毛坯約有250個例2 三棱柱的底面是ABC，AB=13cm，BC=15cm，CA=12cm，側棱AA的長是20cm，如果側AA與底面所成的角是60°，求這個三棱柱的體積分析：求三棱柱的體

7、積先要求棱柱的底面積和高解：設A在平面ABC上的射影為H，則AH是棱柱的高，AAH=60°（圖2-51）在RtABC中，AB=3，BC=5，CA=12，AB2=BC2+CA2，C=90°根據(jù)柱體的體積公式，得（五）課堂練習1用棱長為1的正方體的體積作為體積單位圖2-47中長方體體積為24，假如將體積單位改用棱長為2的正方體的體積，這個長方體的體積為多少？為什么？解：這個長方體的體積為3因為新體積單位的體積是原來的8倍，2一個正方體和一個圓柱等高，并且側面積相等，比較它們的體積哪個大？大多少？解：設正方體棱長為x，則圓柱的高h=xS正方體側=4x2 V正方體=x3 S圓柱側=

8、2rxS正方體側=S圓柱側，（六）總結這節(jié)課我們學習了公理5、6及公理5的兩個推論，學習了棱柱、圓柱的體積公式及這些公式的簡單的應用五、作業(yè)P98中2、3、4、7、8、11六、板書設計27 體積的概念與公理28 棱柱、圓柱的體積一、體積的概念及體積的度量二、公理5 V長方體=abc推論1 V長方體=Sh推論2 V正方體=a3公理6 （見課本P94）三、V柱體=Sh V圓柱=r2h例1例2 §29 棱錐、圓錐的體積 一、素質教育目標（一）知識教學點1等底面積等高的兩個錐體體積之間的相等關系2棱錐、圓錐的體積公式（二）能力訓練點1理解并掌握等底面積等高的兩個錐體的體積相等2理解并掌握棱錐

9、、圓錐的體積公式并會應用它解有關的問題（三）德育滲透點1使學生認識求錐體體積是人類生產實踐的需要，進一步培養(yǎng)學生實踐第一的觀點2通過等底面積等高的錐與柱的體積關系的實驗及證明，向學生揭示認識事物先感性認識、后理性認識的規(guī)律3通過用割補方法推導錐體體積公式，讓學生了解事物間的內在聯(lián)系、進而提高數(shù)形結合的解題意識二、教學重點、難點1教學重點：錐體體積公式及其應用2教學難點：錐體體積公式的證明三、課時安排1課時四、教與學過程設計（一）引入新課得底面弧長為2.8m，母線長為2.2m，這堆谷重約多少（谷的比重720kg/m3）？師：這問題的關鍵是求這堆形谷的體積先來做一個實驗等底面積、等高的圓柱形和錐形

10、容器各一個，把圓錐容器裝滿細沙倒入圓柱中，連續(xù)三次，發(fā)現(xiàn)剛好裝滿圓柱由這個實驗可得出什么結論？師：若把實驗中的圓柱形、圓錐形容器改為三棱柱、三棱錐（條件：底面積相等、高相等不變）可得什么結論？師：我們先研究等底面積、等高的任意兩個錐體體積之間的關系取任意兩個錐體，設它們的底面積都是S、高都是h（圖2-53）把這兩個錐體放在同一平面上，這時它們的頂點都在和平面平行的同一個平面內，用平行于的任意平面去截它們，截面分別與底面相似設截面和頂點的距離是h，截面面積分別是S1、S2，那么，根據(jù)祖暅原理這兩個錐體的體積相等定理 等底面積等高的兩個錐體的體積相等現(xiàn)在，我們來證明三棱錐的體積公式因此我們可考慮把

11、三棱錐1以ABC為底面、AA為側棱補成一個三棱柱，然后再把這個三棱柱分割成三個三棱錐1、2、3（如圖2-54）（借助模型）三棱錐1、2底ABA、BAB面積相等，高也相等（頂點都是C）；三棱錐2、3的底BCB、CBC的面積相等，高也相等（頂點都是A），V三棱柱=Sh，證明過程的書寫見課本（讓學生看書3分鐘）最后，因為和一個三棱錐等底面積等高的任何錐體都和這個三棱錐的體積相等，所以我們得到下面的定理：定理 如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積是S，高是h，那么它的體積是推論 如果圓錐的底面半徑是r，高是h，那么它的體積是接下去我們來計算這堆谷的重量問題解：圓錐底面周長=4×2.8=11.2

12、（m）谷的重量=1.07×720770（kg）例2 正四面體PABC的高為h，M為底面ABC內部的點，M到三個側面PAB、PBC、PCA的距離分別為h1、h2、h3，求h1+h2+h3的值分析：先考慮這樣一個問題：設等邊三角形的高為h，M是邊BC上的點，M到邊AB、AC的距離分別為h1、h2，則h1、h2與h有什么關系？為什么？（讓學生討論后發(fā)表證法）生：h1+h2=h證法一連AM則SABC=SABM+SACM證法二h1+h2=MBsinB+MCsinC=BCsin60°=h證法三作MNAC交AB于N，作BDAC于D交MN于G（圖2-55），易知h2=DG，而BMN為正三角

13、形，故h2=BG，故h1+h2=BG+GD=h從中我們能有什么啟發(fā)？仿證法一，解為下：設正四面體PABC的一個面的面積為S、連MP、MA、MB、MC則VMPAB+VMPBC+VMPCA=VPABC師：若M為正四面體內任一點，它到四個面的距離分別為h1、h2、h3、h4；則h1、h2、h3、h4與h有什么關系？為什么？（讓學生課后思考）讓學生看課本P102中例1、2（二）課堂練習P103中練習1、2 習題十三1、2（練習2動筆證，其余用口答形式）（三）總結的證明是一個難點先補后割，割后的三個三棱錐有兩兩等底等高的關系要分辨清楚例2是用割補法解題的又一例子五、作業(yè)P103中習題十三38六、板書設計

14、§29 棱錐、圓錐的體積定理 等底面積等高的兩個錐體的體積相等例1例2 §210 棱臺、圓臺的體積 一、素質教育目標（一）知識教學點棱臺、圓臺的體積公式（二）能力訓練點1理解并掌握棱臺、圓臺的體積公式并會應用它解有關的問題2了解柱體（棱柱和圓柱）、錐體（棱錐和圓錐）、臺體（棱臺和圓臺）有區(qū)別又有聯(lián)系，可以轉化（三）德育滲透點通過柱體、錐體、臺體間的區(qū)別、聯(lián)系及轉化關系的教學，提高學生從事物間的聯(lián)系和變化中來認識事物的能力二、教學重點、難點1教學重點：棱臺、圓臺的體積公式及其應用2教學難點：用S、S、h表示截去錐體的高三、課時安排1課時四、教學過程的設計（一）引入新課師：什么

15、叫做棱臺、圓臺？生：用平行于棱錐（圓錐）、底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺（圓臺）師：此定義可理解為棱臺、圓臺分別是棱錐、圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的而錐體的體積我們已經會計算，因此臺體的體積可以用兩個錐體的體積差來計算若已知臺體的上、下底面的面積分別是S、S，高是h，那么這個臺體的體積是多少？設截得臺體時去掉的錐體的高是x，去掉的錐體和原來的錐體的體積分別是V、V（如圖2-57）V臺體=V-V師：表達式還含未知數(shù)x，能否進一步用S、S、h來表示x呢？注意原錐體與去掉的錐體有什么關系？生：相似關系師：相似形有什么性質？生：對應面積比等于相似比的平方比代入上式

16、，得因此我們得到下面的定理：定理 如果臺體（棱臺、圓臺）的上、下底面的面積分別是推論 如果圓臺的上下底面半徑分別是r、r，高是h，那么它的體積是最后，我們注意到，在臺體的體積公式中若設S=S，就得到柱體這樣，柱體、錐體、臺體的體積之間可表示為下圖：例1 有一個正四棱臺形油槽，可以裝煤油190升，假如它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm，求它的深度解：上底面面積S=402=1600，下底面面積S=602=3600，由已知V=190升=190000cm3，答：油槽深度是75cm例2 表面積為16的球內切于一圓臺，已知此圓臺側面展開圖的圓心角為216°，求這個圓臺的體積解：球的表面積為

17、16，球的半徑R=2圓臺的高h=2R=4（師：球體積還需求兩底半徑）設圓臺上、下底面半徑分別為r、r則其母線l=r+r（師：r、r兩個未知數(shù)才得一個方程，還要設一個方程相比條件怎么用它有什么性質？）如圖2-58在RtAOD中由OEAD得OE2=DE·AE即rr=4解得r=4，r=1答：此圓臺的體積為28（二）練習P107中練習習題十四1、5（三）總結這節(jié)課我們學習了棱臺、圓臺的體積公式及柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系五、作業(yè)P107中習題十四2、3、4、7、8、9復習一下P79中習題4六、板書設計棱臺、圓臺的體積二、例1例2 §211 球的體積 一、素質教育目標（一）

18、知識教學點球的體積公式（二）能力訓練點1充分分析平行于半球截面面積表達式S=R2-l2的幾何意義、特征，從而找出滿足祖暅原理又可計算體積的幾何體提高學生分析問題、解決問題的能力2掌握球的體積公式，并會應用它解決有關的問題（三）德育滲透點通過先用實驗方法進行驗證，然后再用證明球的體積的方法，使學生懂得對事物的認識往往是先有感性認識，然后再從理論上去證明，進而把感性認識提高到理性認識，這就是認識事物的規(guī)律二、教學重點、難點1教學重點：球的體積公式及其應用2教學難點：球的體積公式的證明，特別是找那個滿足祖暅原理又可計算體積的幾何體三、課時安排1課時四、教與學過程設計（一）引入新課師：我們前面學習了公理5及其推論，又學習了祖暅原理（公理6），并以這兩個公理為基礎推出了柱體、錐體的體積這一節(jié)課我們要應用祖暅原理推出球體的體積公式先做這樣一個實驗：取一個半徑為R的半球，再各取一個底面半徑與高都是R的圓柱桶和圓錐先把圓錐放入圓柱桶內，再將半球里面裝滿細沙，把這些細沙倒入圓柱桶內，這時圓柱桶恰好裝滿（見圖2-59），這個實驗給我們什么啟示？我們回憶一下祖暅原理（