微積分試卷及答案6套.

1、微積分試題 (A卷)一 .填空題 (每空 2分,共20分)1.已知 limf ( x)A,則對于0，總存在 >0，使得當(dāng)x 1時(shí)，恒有 ?(x) A< 。2.已知 liman2bn 52 ，則 a =，b3n2n=。3.若當(dāng) xx0 時(shí)，與是等價(jià)無窮小量，則lim。x x04.若 f (x)在點(diǎn) x = a處連續(xù)，則 lim f ( x)。xa5.f ( x)ln(arcsin x) 的連續(xù)區(qū)間是。6.設(shè)函數(shù) y =?(x)在 x0 點(diǎn)可導(dǎo)，則f ( x03h) f ( x0 )limh_。h 07.曲線 y = x2 2x 5 上點(diǎn) M 處的切線斜率為6，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為。8.

2、d ( xf ( x)dx)。9.設(shè)總收益函數(shù)和總成本函數(shù)分別為R24Q2Q2， C Q25 ，則當(dāng)利潤最大時(shí)產(chǎn)量 Q 是。二 .單項(xiàng)選擇題 (每小題 2分,共 18 分)1.若數(shù)列 xn 在 a 的 鄰域（ a-, a+ ）內(nèi)有無窮多個(gè)點(diǎn)，則（）。(A) 數(shù)列 xn 必有極限，但不一定等于a(B) 數(shù)列 xn 極限存在，且一定等于 a(C) 數(shù)列 xn 的極限不一定存在(D) 數(shù)列 xn 的極限一定不存在2. 設(shè) f ( x)arctg11 為函數(shù) f ( x ) 的（）。則 xx1(A)可去間斷點(diǎn)(B) 跳躍間斷點(diǎn)(C) 無窮型間斷點(diǎn)(D) 連續(xù)點(diǎn)3.lim (11 )3 x 1（）。xx

3、(A) 1(B)(C)e2(D) e3pp4.對需求函數(shù) Qe5 ，需求價(jià)格彈性 Ed。當(dāng)價(jià)格 p （）時(shí)，5需求量減少的幅度小于價(jià)格提高的幅度。(A) 3(B) 5(C) 6(D) 105.假設(shè) lim f ( x)0,lim g(x) 0； f ( x), g ( x) 在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi) ( x0可以除外 ) 存xx0x x0在，又 a 是常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（(A)若 lim f ( x)a 或，則 lim f (x)x x0 g( x)x x0 g (x)(B)f (x)a 或f (x)若 lim，則 limxx0 g ( x)xx0 g (x)）。a 或a 或(C)若 li

4、mf ( x) 不存在，則lim f ( x) 不存在xx0 g ( x)xx0 g( x)(D) 以上都不對6.曲線 f ( x)x3ax2bxa 2 的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)是（） 。(A)0(B)1(C) 2(D) 37.曲線 y4x1（）。( x2) 2(A)只有水平漸近線；(B) 只有垂直漸近線；(C)沒有漸近線；(D) 既有水平漸近線，y又有垂直漸近線xo8.假設(shè) f ( x) 連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如右圖所示，則f ( x) 具有 ()(A) 兩個(gè)極大值一個(gè)極小值(B)兩個(gè)極小值一個(gè)極大值(C) 兩個(gè)極大值兩個(gè)極小值(D)三個(gè)極大值一個(gè)極小值9.若 ?(x)的導(dǎo)函數(shù)是 x 2 ，則 ?(x)有一個(gè)

5、原函數(shù)為() 。(A) ln x ；(B)ln x；(C)x 1；(D) x 3三 計(jì)算題 ( 共 36 分)1 x1 x1 求極限 lim（6 分）x 0x12 求極限 lim (ln x) x（6 分）xsin 2xx0x3 設(shè) f (x)x0 ，求 a ,b 的值，使 f (x) 在 (-a， + ) 上連續(xù)。 (61bx0xsinx分 )4 設(shè) ex yxy1，求 y 及 y x 0 （ 6 分）5 求不定積分xe 2 x dx （ 6 分）6 求不定積分4x2 dx. （ 6 分）四利用導(dǎo)數(shù)知識列表分析函數(shù)y1(14 分)1 x2 的幾何性質(zhì)，求漸近線，并作圖。五 設(shè) f ( x)

6、在 0, 1上連續(xù)，在 ( 0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，且f (0) f (1) 0, f (1) 1，試證：1, 1)2(1) 至少存在一點(diǎn)，使f ( )；( 2(2) 至少存在一點(diǎn)(0, ) ，使 f ( ) 1；(3)對任意實(shí)數(shù)，必存在 x0(0,) ，使得 f ( x0 ) f (x0 )x0 1。 (12 分)微積分試題 (B 卷)一 .填空題 ( 每空 3分,共18分 )b10.f x b dxa.11.e 2x dx.012. 關(guān)于級數(shù)有如下結(jié)論： 若級數(shù)un un0n 1 若級數(shù)un un0n 1收斂，則1 發(fā)散.n 1 u n發(fā)散，則1 收斂.n 1 u n 若級數(shù)un 和vn 都發(fā)散

7、，則(un vn ) 必發(fā)散 .n 1n 1n 1 若級數(shù)un 收斂，vn 發(fā)散，則(un vn ) 必發(fā)散 .n 1n 1n 1 級數(shù)kun （ k為任意常數(shù)）與級數(shù)un 的斂散性相同 .n1n 1寫出正確結(jié)論的序號.13. 設(shè)二元函數(shù) z xex y( x 1) ln 1 y ，則dz (1, 0 ).14. 若 D 是由 x 軸、 y 軸及 2x + y 2 = 0 圍成的區(qū)域，則dxdy.D15. 微分方程 xyy0滿足初始條件y(1)3 的特解是.二 .單項(xiàng)選擇題 (每小題 3分,共 24分 )設(shè)函數(shù) f ( x)x1)(t2)dt ，則 f ( x) 在區(qū)間 -310.(t， 2

8、上的最大值為（） .0(A)2(B)10(C)1(D)43311.設(shè) I1cosx 2y 2 d, I 2cos(x2y2 )d ,I 3cos(x2y 2 ) 2d，其中DDDD ( x, y) x 2y 21 ，則有（） .(A) I1I2I3(B)I3I2I1(C)I2I1I3(D)I3I1I212. 設(shè) un0, n 1,2,3 ，若un 發(fā)散，( 1) n 1 un 收斂，則下列結(jié)論正確的是 ().n 1n 1(A)u2n 1收斂，u2n 發(fā)散(B)u2 n 收斂，u2 n 1 發(fā)散n 1n 1n1n1(C)(u2 n1u2n ) 收斂(D)(u2n1u2 n ) 收斂n 1n113

9、.函數(shù) f ( x, y) 在點(diǎn) P( x, y) 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是 f ( x, y) 在該點(diǎn)可微的 ( )條件 .(A)充分非必要（ B）必要非充分（ C）充分必要（ D）既非充分又非必要14.下列微分方程中，不屬于一階線性微分方程的為（） .(A)xyyxcos ln x(B)xy ln xy3x(ln x1) ，ln x(C)(2 yx) yy2x(D)( x21) yxy2015.設(shè)級數(shù)an絕對收斂，則級數(shù)(11 ) n an（）.n 1n 1n(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)不能判定斂散性散16.設(shè) F (x)x2esin t sin tdt ，則 F (

10、x)（） .x(A)為正常數(shù)(B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零(D)不為常數(shù)17.設(shè) uf ( xy, yz, tz) ，則uuuu（） .xyzt(A)2 f 1(B)2 f 2(C)2 f 3(D) 0四 .計(jì)算下列各題 ( 共 52 分)1.2cos xcos3x dx （ 5分）22. 求曲線22x,y0,x1,x3 所圍成的平面圖形的面積.y x（6分）3.已知二重積分x2 d ，其中 D 由 y 11 x 2 , x 1以及 y0圍成 .D()請畫出 D 的圖形，并在極坐標(biāo)系下將二重積分化為累次積分；（3 分）( )請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系下分別用兩種積分次序?qū)⒍胤e分化為二次積分；（4 分）( )

11、選擇一種積分次序計(jì)算出二重積分的值.（4分）4. 設(shè)函數(shù) uf x, y, z 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 且 zx, y 是由方程 xezyeyzez 所確定的二元函數(shù)，求u ,u 及 du . （ 8 分）xy5. 求冪級數(shù)(1) n x2 nS(x). （ 8 分）2n的收斂域及和函數(shù)n 16.求二元函數(shù)f ( x, y)( x 2y)e2 y 的極值 . （ 8 分）7.求微分方程y 2 ye 2 x 的通解，及滿足初始條件f (0) 1, f (0) 0 的特解 .(6分 )五 .假設(shè)函數(shù)f (x) 在 a, b 上連續(xù) ,在 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，且f (x) 0 ，記F ( x)1x0.（

12、6分）xf (t ) dt ，證明在 ( a, b) 內(nèi) F (x)a a微積分試卷(C)一 .填空題 ( 每空 2分,共20分)1.數(shù)列 xn 有界是數(shù)列 xn 收斂的條件。2.若y sin x2，則dy。3.函 數(shù) yx類間斷點(diǎn)，且為t, x 0 是 第a nx間斷點(diǎn)。4.若 lim axb3 ，則 a =， b =。x 1 x15. 在 積 分 曲 線 族 2 xdx 中 ， 過 點(diǎn) （ 0 ， 1 ） 的 曲 線 方 程是。6.函 數(shù) f ( x)x 在 區(qū) 間 1,1上羅爾定理不成立的原因是。xe t dt ，則 F (x)7.已知 F (x)。08.某商品的需求函數(shù)為 Q 12P6

13、 時(shí)的需求價(jià)格彈性為， 則 當(dāng) p =2EQ。EP二.單項(xiàng)選擇題( 每小題 2分, 共 12 分)1.若 lim3，則 lim（）。xx0x x0(A) 2(B)0(C)123(D)32.在 x1處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)是（）。(A)y1(B) y x1(C) y ln( x21)x 1(D) y(x1) 23. 在區(qū)間（ - 1，1）內(nèi)，關(guān)于函數(shù) (A)f ( x)1 x2 連不正確的敘述為 （）。續(xù)(B) 有界(C) 有最大值，且有最小值(D) 有最大值，但無最小值4. 當(dāng)x0 時(shí)，sin 2x是關(guān)于x 的（）。(A)同階無窮小(B)低階無窮小(C) 高階無窮小(D) 等價(jià)無窮小55. 曲線

14、yx x3在區(qū)間（）內(nèi)是凹弧。(A) (, 0)(B) (0,)(C)( ,)(D) 以上都不對x6. 函數(shù) e 與 ex滿足關(guān)系式（）。(A)exex(B)exex(C)exex(D) ex ex三計(jì)算題 ( 每小題 7 分, 共 42 分)x1求極限 lim x(e1) 。x 0 1 cos x2 求極限 lim 2nsinxn （ x 為不等于0 的常數(shù)）。n23 求極限 lim 12xx。x x4 已知 y 1xey ，求 y x 0 及 y x 0 。5 求不定積分sinxdx 。x6 求不定積分xln(x dx。1)四已知函數(shù)yx1分)x2，填表并描繪函數(shù)圖形。 (14定義域yy單

15、調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間極值點(diǎn)極值凹區(qū)間凸區(qū)間拐 點(diǎn)漸近線圖形 ：五證明題 ( 每小題 6 分, 共 12 分)1.設(shè)偶函數(shù)f ( x) 具有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且f ( x)0 。證明： x0為 f ( x) 的極值點(diǎn)。2.就 k 的不同取值情況，確定方程xsin xk 在開區(qū)間（ 0,）內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你22的結(jié)論。微積分試卷（ D卷）一、單項(xiàng)選擇題 （本題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）：1. 函數(shù) f ( x, y) 在 x, yx0 , y0 處的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該處可微的（）條件。A.充分；B.必要；C. 充分必要；D. 無關(guān)的2. 函數(shù)ln x3y311z）處的全微分 dz（）。

16、在（ ，A dxdy ； B2 dxdy ；C3 dxdy ；D 3 dxdy 23. 設(shè) D為： x2y 2R2 ，二重積分的值x2y 2 dxdy =（）。DA R2；B2 R2；C2 R3；D1 R4324. 微分方程 y4 y 5 ye xsin x 的特解形式為 ()。Aae xbsin x ；Bae xbcosxc sin x ；Caxe xbsin x ；Daxe xbcosx csin x 5. 下列級數(shù)中收斂的是（）。A(1)n；B1；C2n；Dsin 1 n 1nn 1 2n 1n 1 n2n 1n二、填空題 （本題共5 小題，每小題3 分，共 15 分）：1x2 arcs

17、in xdx。1.1 1 x22.f ( x)0x (t1)(t2)dt ，則在區(qū)間 -2， 3 上 f ( x) 在 x（ -1）處取得最大值。3.已知函數(shù)y(z=， z =。zxx) ，則0yx4.微分方程y '4x3 y 在初始條件y x 0 4 下的特解是 : y =。n105.冪級數(shù)n xn1的收斂半徑是： R =。n 1 10三、計(jì)算下列各題（本題共5 小題，每小題8 分，共 40 分）：1. 已知 zf ( xy, xy) ，其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2 z 。x y2.已知 xlnz ，求z ， z 。zyxy223.改換二次積分dxsin y2 dy 的積分次序

18、并且計(jì)算該積分。0x4. 求微分方程y4 y3y0 在初始條件y x 06 ， y ' x 010 下的特解。5. 曲線C 的方程為 yf ( x) ，點(diǎn) (3,2)是其一拐點(diǎn)，直線l1 , l2 分別是曲線 C 在點(diǎn) (0,0) 與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4)，設(shè)函數(shù)f ( x ) 具 有 三 階 導(dǎo) 數(shù) ， 計(jì) 算3x) f ( x)dx 。( x20四、 求冪級數(shù)( 1)n x2 n的和函數(shù) s( x) 及其極值 （ 10 分）。n 12n五、解下列應(yīng)用題（本題共2 小題，每小題 10 分，共 20 分）：311. 某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q x, y 100x 4y 4

19、 ，其中 x 為勞動力人數(shù)， y 為設(shè)備臺數(shù)，該企業(yè)投入5000 萬元生產(chǎn)該產(chǎn)品，設(shè)招聘一個(gè)勞動力需要15 萬元，購買一臺設(shè)備需要 25 萬元，問該企業(yè)應(yīng)招聘幾個(gè)勞動力和購買幾臺設(shè)備時(shí)，使得產(chǎn)量達(dá)到最高？2. 已知某商品的需求量Q對價(jià)格P 的彈性2P2 ，而市場對該商品的最大需求量為10000件，即 Q (0)=10000,求需求函數(shù)Q ( P) 。微積分試卷（ E 卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3 分，共 18 分）1.設(shè)函數(shù) fxx2 ;x11處可導(dǎo)，則（）ax b; x在 x1A. a0, b1B.a2, b1C. a3,b2D. a1,b 22.已知 fx在 x0 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f0f

20、x，則在 x0 處0,lim2x0 1 cos xf x滿足（）A. 不可導(dǎo)B. 可導(dǎo)C. 取極大值D.取極小值3.若廣義積分dxk收斂，則（）2xln xA.k1B.k1C.k1D.k 114.limex1()x1A 0B.C.不存在D.以上都不對5.當(dāng) x0 時(shí)，1cos x 是關(guān)于 x2 的（） .A同階無窮小 .B低階無窮小 .C高階無窮小 .D 等價(jià)無窮小 .6.函數(shù) f ( x) 具有下列特征：f (0) 1,f (0)0 ，當(dāng) x0 時(shí)， f0, x0(x) 0, f ( x)00, x則 f ( x) 的圖形為（）。yyyy1111oxoxoxox(A)(B)(C)(D)二、填

21、空（每小題3 分，共 18 分）sin x1.limx。x2.1x2 dx1。13. 已知 ff (x0 h)f (x0h)( x0 ) 存在，則 limh。h04設(shè) yln( x1) ，那么 y (n ) ( x)。d0t25 dxx2 edt。6某商品的需求函數(shù)Q75 P2 ，則在 P 4 時(shí)，需求價(jià)格彈性為P 4，收入對價(jià)格的彈性是ER。EPP 4三、計(jì)算（前四小題每題5 分，后四小題每題6共44分）xarctantdt10limxx211x2 x2 limxxe3 x ln xdx14dxx6 )x(1yxy x 的導(dǎo)數(shù) dy .5求由et dtcostdt 0 所決定的隱函數(shù) y00

22、dxsin x6已知是 f ( x) 的原函數(shù)，求xf (x)dx 。7求由曲線yx3 與 x1, y0 所圍成的平面圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。8求曲線 yx2 與直線 ykx1所圍平面圖形的面積，問k 為何時(shí)，該面積最??？四、(A 類12 分)列表分析函數(shù)x2y函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并作出1x函數(shù)圖形。解： (1)函數(shù)的定義域 D: (,1) (1,) ，無對稱性；(2) yx 22x0 , 得 x12, x20x) 2(1(2x2)(1x) 22( x22x)(1x)2y1x 4(1 x) 3(3) 列表：x(- ，-2)- 2（- 2，- 1）（ - 1，0）0(

23、 0,+)y'00y"y, 極大值 -4 , , 極小值 0 ,y(4) 垂直漸近線： x1；斜漸近線： y x 1(5) 繪圖，描幾個(gè)點(diǎn)( 2, 4), (0,0), (1, 1 ), (2, 4)23ox(B 類 12 分 )列表分析函數(shù)yln(1x 2 ) 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并作出函數(shù)圖形。解： 函數(shù)定義域 D:(-， + ) ，偶函數(shù)關(guān)于Y 軸對稱； y2x0 , 得 x0x212(1 x 2 )2x 2x2(1x)(1 x)0 ,得 x11 , x 2 1yx 22(1x 2 ) 21 列表： ( 只討論（ 0,+ ）部分 )yx0(0,1)1(1

24、,+ )y'0y"0y極小值,拐點(diǎn) ,xo極小值 f (0) = 0 ；拐點(diǎn)（ 1,ln2） 該函數(shù)無漸近線； 繪圖，描幾個(gè)點(diǎn)： （ 0， 0），（ -1 ， ln2 ），（ 1， ln2 ）五、（B 類 8 分） 設(shè) fx 連續(xù)，證明：xux00 f t dt du0 x u f u du證明：令F ( x)xuG( x)xu) f (u)du 只需證明 F ( x)G ( x) （ 3 分）0f (t )dt(x00F (x)xf (t )dt0G( x)xf (u)duxxuf (u)du00G ( x)xxf ( x)x0f (u)du xf (x)f (u)du0所

25、以 F (x)G (x)（8 分）（ A 類 8 分）設(shè) f ( x) 在 a, b上連續(xù)在 (a ,b) 內(nèi)可導(dǎo)且 f (x) 0F ( x)1x(a, b)xaf (t)dt , xa試證（ 1） F ( x) 在 (a ,b)內(nèi)單調(diào)遞減(2) 0F (x)f ( x)f (a)f (b)證（ 1）( x a) f (x)xf (t)dtF ( x)a( xa)2積分中值定理 (xa)f(x)f()(x a)（ a,x）(xa)2f(x)f()xa由 f ( x)0 知 f (x) 單調(diào)減 ,即在 ( a ,b)內(nèi)當(dāng)x 時(shí)有 f ( x)f( ) 又 (x a)0 可得F ( x)0 .即

26、 F (x) 在 (a ,b)內(nèi)單調(diào)減 .( 2) 因 F ( x) f (x)1xf (t )dt f ( x)x a a積分中值定理 f(） f(x) 0又由 f ( x) 單調(diào)減知 , f(a)f ( )f(x)f(b) 于是有0F(x)f(x)f(a)f(b)微積分試卷（ F 卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3 分，共 18 分）1.設(shè)函數(shù) fxx2 ;x11 處可導(dǎo)，則（axb; x在 x）1A.a0, b1B.a2, b1C. a3, b2D. a1,b22.當(dāng) x0 時(shí)，1cos x 是關(guān)于 x2 的（） .A同階無窮小 .B低階無窮小 .C高階無窮小 .D等價(jià)無窮小 .3.若廣義積分dx收斂