數(shù)學(xué)分析多元函數(shù)積分學(xué)

1、 第四章 多元函數(shù)積分學(xué)一、本章知識脈絡(luò)框圖重積分概 念二重積分與累次積分二重積分換元法計(jì)算二重積分極坐標(biāo)法其他換元法概 念三重積分與累次積分二重積分換元法計(jì)算三重積分柱面坐標(biāo)法橢球坐標(biāo)法其他換元法應(yīng) 用幾何應(yīng)用物理應(yīng)用體 積重心、引力、轉(zhuǎn)動慣量l為D的邊界第二類曲線積分（與l的方向有關(guān)）Green公式第一類曲線積分曲線積分 第一類曲面積分 曲面積分第二類曲面積分（與l的方向有關(guān)） Guass公式 Stokes公式 (的側(cè)與的方向按右手法則) 二、本章重點(diǎn)及難點(diǎn)本章需要重點(diǎn)掌握以下幾個方面內(nèi)容：l 二重積分及其幾何意義、二重積分的計(jì)算（化為累次積分、極坐標(biāo)變換、一般坐標(biāo)變換）.l 三重積分、三

2、重積分計(jì)算（化為累次積分、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)變換）.l 重積分的應(yīng)用（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等）.l 含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運(yùn)算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運(yùn)算順序的可交換性.l 第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計(jì)算.l 第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計(jì)算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件.l 曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關(guān)系.3、 本章的基本知識要點(diǎn)二重積分1.性質(zhì)：假設(shè)性質(zhì)中所涉及的函數(shù)的積分均存在（1）有界性 若

3、在上可積，則在上有界，（可積的必要條件）.（2）線性性 若均在上可積，為任意實(shí)常數(shù)，則仍在上可積，且.（3）區(qū)域可加性 設(shè)，其中與的內(nèi)部不相交則在上可積的充要條件是在和上均可積，且=+.（4）單調(diào)性 若在任區(qū)域上，則.特別地：當(dāng)時，有.當(dāng)時，有，其中表示的面積.（5）.（6）中值公式 若在上連續(xù)，在上可積且不變號，則存在，使。特別，當(dāng)時，其中表示的面積.2. 可積的條件 充要條件：若在上有界，則在上可積當(dāng)且僅當(dāng): ，存在的某分割，使得， 其中稱為在上的振幅. 充分條件：設(shè)在上連續(xù)且有界，則在上可積.設(shè)在上只有有限個間斷點(diǎn)且有界，則在上可積.若在上有界且不連續(xù)點(diǎn)分布在內(nèi)的一條或有限條光滑或逐斷光

4、滑的曲線上，則在上可積.3兩類典型的簡單區(qū)域（1）型區(qū)域：其中 其圖形如下圖所示.（2） 型區(qū)域：，其中. 其圖形如下圖示.4常用計(jì)算方法（1）化為單重積分計(jì)算若在型區(qū)域上連續(xù)，均在上連續(xù)，則.若在型區(qū)域上連續(xù)，均在上連續(xù)，則.（2）利用變量替換如果利用變量替換將平面上的有界閉區(qū)域一一地變成平面上的有界閉區(qū)域，且，. 若在上連續(xù)， 則.其中：如果利用廣義極坐標(biāo)變換將平面上的有界閉區(qū)域一一地變成平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，則.特別地，當(dāng)則上式變?yōu)闃O坐標(biāo)變換公式.若區(qū)域是由兩族光滑曲線中各取兩條曲線 所圍成，且在上連續(xù)，則可以作變量替換，從而得到，其中為的反函數(shù)組.注：=.幾種特殊的可轉(zhuǎn)化為一元積

5、分的二重積分（i）其中；（ii）, 其中；.利用對稱性計(jì)算二重積分設(shè)積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，表示的上半部分. （i）若在內(nèi)有，則；（ii）若在內(nèi)有，則；設(shè)積分區(qū)域關(guān)于直線對稱，表示的在上那半部分. 則（i）（ii）若在內(nèi)有，則；（iii）若在內(nèi)有，則； 三重積分1. 性質(zhì) 假設(shè)性質(zhì)中所涉及的函數(shù)均可積(1)有界性：:若在V上可積,則在上V有界.(2)線性性：:若 均在V上可積,為任意實(shí)常數(shù),則仍在V上可積,且.(3)可加性：設(shè)其中的內(nèi)部不相交,則在V上可積的充要條件是在上均可積且.(4)單調(diào)性：若在區(qū)域V上則.特別地: 當(dāng)時, , 其中表示V的體積.(5)(6)中值公式：若在V上連續(xù),在V上可積且

6、不變號,則存在,使 . (7)積分為零的幾種特殊情形：若在區(qū)域上非負(fù)連續(xù),則 ; 若在區(qū)域上連續(xù),則 總有 ; 若在區(qū)域上連續(xù)且對上任意可積函數(shù)， 都有, 則. 2. 幾類空間簡單區(qū)域坐標(biāo)型區(qū)域Z型區(qū)域:.其中為在平面上的投影區(qū)域.Y型區(qū)域:.其中為在平面上的投影區(qū)域.X型區(qū)域:.其中為在平面上的投影區(qū)域.關(guān)于坐標(biāo)軸的截面區(qū)域關(guān)于Z坐標(biāo)軸的截面區(qū)域,其中為過Z軸上點(diǎn)且與Z軸垂直的平面與相截得截面在平面上的投影區(qū)域.關(guān)于Y坐標(biāo)軸的截面區(qū)域,其中為過Y軸上點(diǎn)且與Y軸垂直的平面與相截得截面在平面上的投影區(qū)域.關(guān)于X坐標(biāo)軸的截面區(qū)域,其中為過X軸上點(diǎn)且與X軸垂直的平面與相截得截面在平面上的投影區(qū)域.3

7、常用計(jì)算方法化為累次積分（1+2）的計(jì)算公式若為Z型區(qū)域, 則. 進(jìn)一步地，如果區(qū)域還是平面上的簡單區(qū)域，則公式進(jìn)一步變?yōu)? 如果區(qū)域還是平面上的簡單區(qū)域，則公式進(jìn)一步變?yōu)? 若為Y型區(qū)域,則. 若為X型區(qū)域,則. 化為累次積分（2+1）的計(jì)算公式若V為關(guān)于Z軸的截面區(qū)域，則.若V為關(guān)于Y軸的截面區(qū)域，則.若V為關(guān)于X軸的截面區(qū)域,則.利用變量替換如果利用變量替換，將空間上的有界閉區(qū)域一一變成空間上的有界閉區(qū)域, , 則.利用坐標(biāo)變換, 將空間上的區(qū)域一一變成空間上的區(qū)域, 則.利用橢球坐標(biāo)變換, 將空間上的區(qū)域一一變成空間上的區(qū)域，則. 特別地，當(dāng)時,上式公式為球面坐標(biāo)變換公式,即利用球坐標(biāo)

8、變換, 將空間上的區(qū)域一一變成空間上的區(qū)域，則. 若為球形區(qū)域, 令, 則. 第一型曲線積分和曲面積分1.性質(zhì)（和二重積分、三重積分類似）第一型曲線（曲面）積分與定積分、重積分的性質(zhì)類似.2. 常用計(jì)算方法第一型曲線積分的參數(shù)方程計(jì)算公式設(shè)平面光滑曲線L的參數(shù)方程為，在L上連續(xù)，則.特別地，當(dāng)曲線L：時，。設(shè)空間光滑曲線L的參數(shù)方程為，在L上連續(xù)，則.第一型曲面積分的計(jì)算公式設(shè)在曲面S上連續(xù)，S的方程為，它在平面上的投影區(qū)域?yàn)镈，且在D上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則.設(shè)在曲面S上連續(xù)，曲面S用參數(shù)方程，表示，且中至少有一個不為零，則，其中。利用對稱性計(jì)算設(shè)平面光滑曲線：關(guān)于原點(diǎn)對稱，在上連續(xù)，（i）

9、若，則，其中表示的右半部分；（ii）若，則；設(shè)平面光滑曲線：關(guān)于軸對稱，在上連續(xù).（i）若，則；（ii）若，則，其中表示的上半部分；設(shè)是空間有界閉區(qū)域，是關(guān)于平面對稱的分片光滑曲面，表示上半部分，函數(shù)在上連續(xù).（i）若，則；（ii）若，則； 第二型曲線積分與曲面積分1性質(zhì)第二型曲線（曲面）積分除只有第一型曲線（曲面）積分的運(yùn)算性質(zhì)（即線性性，曲線曲面可加性）外，還具有有向性，即；2.第一、二型積分之間的關(guān)系第一、二型曲線積分的關(guān)系設(shè)平面有向曲線L上任一點(diǎn)的切線正向的方向角為，則.設(shè)空間有向曲線L上任一點(diǎn)的切線正向的方向角為則.第一、二型曲面積分的關(guān)系3. 常用計(jì)算方法（1）第二型曲線積分計(jì)算公

10、式設(shè)平面有向光滑曲線的參數(shù)方程為，且當(dāng)參數(shù)由變到時，曲線上動點(diǎn)從的起點(diǎn)A運(yùn)動到終點(diǎn)B，在上連續(xù)，則.特別地，當(dāng)：，時，且起點(diǎn)對應(yīng)，終點(diǎn)對應(yīng)，則.當(dāng)：時且起點(diǎn)對應(yīng)終點(diǎn)對應(yīng)則.設(shè)空間有向光滑曲線的才參數(shù)方程為。其中L的起點(diǎn)對應(yīng)，終點(diǎn)對應(yīng)，則.第二型曲面積分的基本公式設(shè)P、Q、R是定義在有向光滑曲面S上的連續(xù)函數(shù)，且S的方程為，其中為S在平面上的投影，則，其中S取上則。同理，當(dāng)S的方程為時，有類似的計(jì)算公式其他常用公式格林公式：設(shè)平面有界區(qū)域D的邊界為L，在D及邊界L上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則，其中L取正向。格林第二公式：，其中D為光滑封閉曲線L所圍成的區(qū)域，分別表示u,v沿L的外法線的方向?qū)?shù)，

11、，L取正向。注：，其中，表示L的法線正向的方向角。奧高公式：設(shè)空間有界區(qū)域V的邊界為S，函數(shù)P,Q,R在V及S上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則，其中S取正側(cè)。注：當(dāng)V為單連通時，S的正則為外側(cè)；當(dāng)V為多連通時，S的正則由外邊界的外側(cè)和內(nèi)邊界的內(nèi)側(cè)構(gòu)成。斯托克斯公式：設(shè)S是逐片光滑曲面，其邊界為逐段光滑曲線L，曲面S的正側(cè)與L的正向符合右手法則，如果P,Q,R在S及L上均具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則注：右手法則：設(shè)S是空間上的光滑曲面，其邊界曲線為L，取定S的一側(cè)為正側(cè)，伸開右手手掌，以拇指方向指向此側(cè)的法線方向，其余四指伸開微曲，并使曲面S在手掌的左側(cè)，則其余四指所指的方向就是邊界曲線L的正向，反之亦然

12、。幾個常用特殊結(jié)果平面區(qū)域D的面積公式：，其中L為D的正向；設(shè)L為任一條封閉光滑曲線，則；高斯積分（i）=，其中，L為無重點(diǎn)的封閉光滑曲線，表示L的外法線方向.(ii)=,其中S是光滑封閉曲面，表示S的外法線方向.利用對稱性計(jì)算設(shè)平面有向光滑曲線：關(guān)于原點(diǎn)對稱，在上連續(xù).（i）若，則，其中表示的右半部分；（ii）若，則；（iii）若，則，其中為的右半部分；（ii）若，則；設(shè)平面有向光滑曲線：關(guān)于軸對稱，在上連續(xù).（i）若，則，其中表示的上半部分；（ii）若，則；（iii）若，則，其中為的上半部分；（ii）若，則；是關(guān)于平面對稱的分片光滑曲面，為上半部分，函數(shù)在上連續(xù).（i）若，則；（ii）若，

13、則；四、基本例題解題點(diǎn)擊【例1】記, 其中, 則之間的大小關(guān)系是_?！咎崾尽坎捎脴O坐標(biāo)變換，將被積函數(shù)進(jìn)行大小比較。應(yīng)填寫：?！纠?】設(shè)L是順時針方向的橢圓,其周長為,則=_.【提示】本題可以通過定義去做，但計(jì)算量不小。如果利用對稱性計(jì)算則簡單很多.【解】對稱性得，而.從而.【例3】設(shè)為連續(xù)偶函數(shù)，試證明,其中D為正方形?！咎崾尽勘绢}左邊被積函數(shù),可以考慮運(yùn)用變換.【證明】作變換，則。積分范圍 .故左邊. 又為連續(xù)偶函數(shù)，故，其中為的右半部分. 即： .從而.【例4】求,其中是球面與柱面()的交線（），L的方向規(guī)定為沿L的方向運(yùn)動時軸正向往下看，曲線L所圍部分總在左邊. 【提示】直接通過L的參

14、數(shù)方程進(jìn)行計(jì)算是不現(xiàn)實(shí)的，我們考慮用斯托克斯公式，而且計(jì)算過程中盡量利用被積函數(shù)和積分曲線的對稱性?！窘狻坑汱所圍球面部分的外側(cè)為，由已知所規(guī)定方向知為正側(cè).如圖：其中是球面 上每一點(diǎn)處的單位法向量。 顯然： 。 因此 。又因?yàn)榍骊P(guān)于平面對稱，所以.從而。其中D為在平面中的投影.【例5】計(jì)算,其中是由所圍的區(qū)域，是連續(xù)函數(shù)?！咎崾尽看祟}中被積函數(shù)有兩部分，其中一部分稍簡單，可以考慮分開計(jì)算.【解】令, 原積分區(qū)域如上圖。因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以。從而。【例6】計(jì)算, 其中.【提示】因?yàn)榉e分區(qū)域?qū)ΨQ性強(qiáng)，但是利用函數(shù)奇偶性卻效果不大，因此可以考慮試試?yán)梅e分區(qū)域關(guān)于對稱.【解】因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于對稱.

15、，因此【例7】計(jì)算積分，其中是以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的正方形的邊界逆時針方向.【提示】顯然直接計(jì)算和利用格林公式都不能解決問題，由積分路線具有對稱性去考慮可以找到突破口.【解】設(shè)，則.從而由積分路線關(guān)于軸對稱得，從而.設(shè), 則.從而由積分路線關(guān)于軸對稱得.【例8】設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求積分，其中C是從點(diǎn)到的線段。【提示】被積函數(shù)兩部分有關(guān)聯(lián)，且可導(dǎo)，是否可以考慮積分與路徑無關(guān)？【解】設(shè), 則. 從而積分與路徑無關(guān)。故將積分路徑改為是從點(diǎn)到的線段和從到的線段連接起來的折線。在上式右邊第一個積分中令得：原式.【擴(kuò)展提示】事實(shí)上，將題中兩點(diǎn)改為，其中可求出積分為。見桂文豪所著大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽與研究生入學(xué)考試

16、輔導(dǎo)【例9】設(shè)曲線C為，。試證：。【證明】令,則.從而。即得【例10】計(jì)算其中, 取外側(cè).【解】設(shè)的左側(cè),。則原式= (由對稱性) ,【例11】計(jì)算，其中分別為：（1） 從（0,0）到（1,1）的直線段：（2） 從（0,0）到（1,1）的拋物線的一段：（3） 從（0,0）到（1,0）的直線段和從（1,0）到（1,1）的直線段所構(gòu)成有向折線?！窘狻?（1）的方程為：，所以（2）的方程為：，所以（3）的方程為：，的方程為：，所以【例12】求 其中為【提示】 若在面的投影區(qū)域?yàn)镈，則.【解】 五、擴(kuò)展例題解題點(diǎn)擊【例1】求【提示】直接通過放縮法等去求此極限有一定困難，可以考慮用定積分的定義/【解】

17、將 將分成個小區(qū)域，每個小區(qū)域的面積都是，取則【例2】計(jì)算積分【提示】此題關(guān)鍵要利用符號函數(shù) 的性質(zhì) 【解】【例3】設(shè)函數(shù)與都是上遞增的連續(xù)函數(shù)，且都不是常值函數(shù)。證明 .【證明】 令.則交換與的位置得所以 因與都是遞增的連續(xù)函數(shù)，故因與都不是常值函數(shù)，所以即S>0，從而【例4】計(jì)算積分 .【解】 【例5】設(shè)f是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明【證明】由于對任意實(shí)數(shù)u，皆有因而 【例6】 已知函數(shù)在上連續(xù)，證明【證明】 【例7】 已知及求?！窘狻?【例8】 設(shè)，試證明不等式【證明】 .被積函數(shù)是萊布尼茲型級數(shù)，因此有 .由于 . .故 .【例9】求【解】 .【例10】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，對任意，設(shè)是以

18、為中心，含與D內(nèi)且各邊與D的邊平行的最大正方形，若總有，證明在D上【證明】 對，設(shè)不妨設(shè)，如右圖，取正方形，則由題設(shè)有記，則如此下去得其中當(dāng)時，當(dāng)時，因此 若存在，有，不妨設(shè)，則由于連續(xù)，故存在包含，且全部位于D內(nèi)的正方形使在上，故 另一方面矛盾，故在D上【例11】設(shè)上連續(xù)，證明【證明】改變積分順序得【例12】.給定積分。作正則變換，區(qū)域D變成，如果變換滿足，試證：【證明】由積分變換公式知，而，則.所以.【例13】設(shè)是上二盜連續(xù)可微函數(shù)且,計(jì)算積分.【提示】本題被積函數(shù)有一階偏導(dǎo)，而已知條件為二階偏導(dǎo)，可以考慮昝用曲線曲面積分與二重積分之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換?！窘夥ㄒ弧坎捎脴O坐標(biāo)：，則 ?！窘夥ǘ吭O(shè)為曲面（部分）上側(cè)，則在平面內(nèi)的投影區(qū)域?yàn)榍?。從而令為：下?cè)，為與所圍區(qū)域。則。從而【例13】已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：；【提示】可直接通過定義進(jìn)行計(jì)算.【證明】左邊=;左邊=;所以左邊=右邊.因?yàn)?所以。從而6、 訓(xùn)練題提示點(diǎn)評【訓(xùn)練題1】證明.【提示與點(diǎn)評】采用柱面坐標(biāo)系，先計(jì)算對的二重積分，再對求積分?！居?xùn)練題2】若為連續(xù)函數(shù)，且L為分段光滑的閉曲線，則?！咎崾九c點(diǎn)評】此時為連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，故不能利用積分與路徑無關(guān)的充要條件：，但令,則可推出.【訓(xùn)練題3】設(shè).(1)計(jì)算;(2)設(shè)在D上連續(xù)，且,.證明：存在使得;【提示與點(diǎn)評】(1)