數(shù)學(xué)解題思維障礙的突破技巧

1、數(shù)學(xué)解題思維障礙的突破技巧摘要：數(shù)學(xué)解題能力是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力高低的一個(gè)重要指標(biāo)，當(dāng)前高考的能力立意命題也說明高中數(shù)學(xué)教學(xué)要更多的關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)能力 本次講座我們研究下面三個(gè)問題：高中數(shù)學(xué)解題的思維策略數(shù)學(xué)思維障礙的成因與突破高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)建議正文：一 高中數(shù)學(xué)解題的思維策略數(shù)學(xué)思維的變通性 根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案 數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案 （1）善于觀察 (2006,重慶，理，12)若且則的最小值為（ ） A B C D【分析】看到給定的條件，感覺應(yīng)該使用均

2、值不等式求最小值，但變形過程受阻，得不到待求的結(jié)構(gòu)【點(diǎn)撥】由且得： ，則()或者由得又， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知條件和待證結(jié)論的變形的具體方向，發(fā)現(xiàn)兩者之間的關(guān)系【答案】D 心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法（2）善于聯(lián)想(2002天津理科16) 已知

3、函數(shù)，那么。【分析】由于設(shè)定的問題較簡(jiǎn)單，可以直接分別求值，再求和；但問題是，如果待求的和式較復(fù)雜怎么辦？【點(diǎn)撥】聯(lián)想數(shù)列的求和方法，不難發(fā)現(xiàn)該式隱藏的秘密所在：?！敬鸢浮?。聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入（3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2004，全國一，12)已知的最小值為（ ）ABCD+【分析】由于受給定條件的暗示，考生多第一感覺選擇利用重要不等式求最值 于是聯(lián)想到，只能得到的最大值，似乎求最小值還需更進(jìn)一步變形，結(jié)果走上不歸路，求解

4、失敗【點(diǎn)撥】再次研究給定的條件，發(fā)現(xiàn)由可以得到a、b、c的值，即待求目標(biāo)只能取有限個(gè)值，從其中挑選最大的得到最大值，挑選最小的得到最小值【答案】B數(shù)學(xué)家G . 波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問題它表現(xiàn)就是記類型、

5、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的反思性提出獨(dú)特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信(2004湖北卷理科6) 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（A） （B）3 （C） （D）【分析】學(xué)生一般會(huì)認(rèn)為P為直角頂點(diǎn)，從而公式求解得到答案C；【點(diǎn)撥】通過選項(xiàng)分析，若直角頂點(diǎn)不確定，則應(yīng)有多個(gè)值可選擇，而答案沒有提供多值選項(xiàng)，因此，直角頂點(diǎn)是確定的從圖形分析可知，必

6、為焦點(diǎn)，因?yàn)橛械臋E圓并不存在張角為直角的點(diǎn)，于是得到正確答案半個(gè)通徑【答案】D(2004湖南理20)直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B求實(shí)數(shù)的取值范圍；【解析】將直線的方程代入雙曲線C的方程后，整理得:依題意，直線與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，注意到，應(yīng)該利用根的分布求解而我們多利用韋達(dá)定理求解,解得的取值范圍為數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，

7、不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性考察問題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無誤(2004，全國一，15)已知數(shù)列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，求an的通項(xiàng)公式【分析】對(duì)a1+2a2+3a3+(n1)an1認(rèn)識(shí)不清，看不到本質(zhì)，沒法進(jìn)行下去； 利用條件an=a1+2a2+3a3+(n1)an1，得到an1=a1+2a2+3a3+(n2)an2，兩式相減得到，即 ，再由迭乘法，于是【點(diǎn)撥】數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，研究數(shù)列也應(yīng)有定

8、義域優(yōu)先意識(shí)，利用給定的條件an=a1+2a2+3a3+(n1)an1 ，得到an1=a1+2a2+3a3+(n2)an2 ，它們都是有條件的，并不是對(duì)所有的正自然數(shù)都成立的對(duì)數(shù)列而言，一般要考慮小項(xiàng)數(shù)從1開始，因此、的成立條件分別是n2、n3、n3忽視對(duì)項(xiàng)數(shù)的限制，必然得到錯(cuò)誤的結(jié)果【答案】在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無誤數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：概念模糊 概念是數(shù)學(xué)

9、理論體系中十分重要的組成部分它是構(gòu)成判斷、推理的要素因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤判斷錯(cuò)誤 判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤例如，“函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷推理錯(cuò)誤 推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式它是判斷和判斷的聯(lián)合任何一個(gè)論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說明思維不嚴(yán)密數(shù)學(xué)思維的開拓性對(duì)一個(gè)問題從多方面考慮、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度觀察、對(duì)一個(gè)題目運(yùn)用多種不同的解法 (2006全國卷一理科9)設(shè)平面向量、的和

10、如果向量、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則A B C D【分析】向量、的和向量、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與、同向，且，得不到、的具體表示 【點(diǎn)撥】其實(shí)，考查選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)：減號(hào)的位置放到哪？為什么會(huì)出現(xiàn)減號(hào)？力的合成問題！【答案】D（2006全國卷一理科11）用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為A BCD【分析】我們知道，當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，三邊越接近，其面積越大，這是等周問題中的一個(gè)基本結(jié)論?！军c(diǎn)撥】實(shí)際上，根據(jù)海倫公式，可以證明上述結(jié)論。用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長(zhǎng)為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為，選

11、B.顯然，這并不是規(guī)定的考試內(nèi)容，也就是說，并沒有確定的知識(shí)用于本題的解答。它誰說不是課本中的定理，卻是定理的背景，是定理產(chǎn)生的實(shí)踐基礎(chǔ)，在書上的閱讀材料“算術(shù)幾何平均不等式”中，就不難看到上述事實(shí)?！敬鸢浮緽2007考試大綱，在知識(shí)要求中，增加了知識(shí)相關(guān)背景的認(rèn)識(shí)，要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)了解知識(shí)的背景。數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對(duì)一個(gè)問題能從多方面考慮；對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多種角度觀察；對(duì)一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部?jī)?nèi)容，使之融會(huì)貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系

12、，主要是靠一題多解來完成的通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識(shí)；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡(jiǎn)捷解法數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1) 一題的多種解法(2) 一題的多種解釋二數(shù)學(xué)思維障礙的成因與突破1由于數(shù)學(xué)思維的膚淺性所致(2006，上海，理，12)三個(gè)同學(xué)對(duì)問題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形

13、為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 【分析】本題的出現(xiàn)使人耳目一新，特給出問題的解決過程，就解題的直覺而言，解一道題應(yīng)有多種思路，其中有效的做法是什么？簡(jiǎn)潔的做法是什么？這就需要從感性到理性，做出正確的判斷。如果學(xué)生對(duì)給出的問題認(rèn)識(shí)不清，自然就不會(huì)得出正確的判斷，從而胡亂的按照某人的解法從事。【點(diǎn)撥】認(rèn)真研究，不難發(fā)現(xiàn)甲的解題思路不對(duì)，因?yàn)榧捉o出的是充分條件，不是必要條件。如果按照甲的思路，可能會(huì)縮小a的范圍；丙的解題思路正確，是充要條件，不會(huì)改變a的范圍。但實(shí)施起

14、來非常麻煩，可能需要更長(zhǎng)的解題時(shí)間；再看乙的解題思路，符合分離變量的解題技巧，得到的是充要條件，因此應(yīng)該按照乙的解題思路進(jìn)行解題。由25|5|，。 設(shè)，。只需求得函數(shù)的最小值即可?！敬鸢浮肯旅婵紤]常規(guī)解法，去絕對(duì)值，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值等等。注意到，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；且，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；故； 當(dāng)取最小值時(shí)，也恰好取得最小值，這種解題的方法到底是通法，還是技巧呢？是提倡，還是不提倡呢？2由于數(shù)學(xué)思維的差異性所致(2006，全國卷二,理20)設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【分析】在命制導(dǎo)數(shù)問題中，既沒有“導(dǎo)

15、數(shù)”字樣或符號(hào)的直接提示，也沒有“切線”、“單調(diào)性”、“極值、最值”等的間接提示，使得思維的方向一時(shí)不能明朗，給解題帶來一些障礙?？梢钥吹?，近幾年考查導(dǎo)數(shù)的解答題，對(duì)學(xué)生的審題能力的要求更高，呈現(xiàn)能力立意的味道更濃。解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，若對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立，只需函數(shù)g(x) 在x0上的最小值0即可。對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a，令g(x)0，解得xea11，不知如何操作以求得函數(shù)g(x) 的最小值，解題受阻?！军c(diǎn)撥】(i)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對(duì)x0，都有g(shù)(x)g(0)，即

16、當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于所有x0，都有f(x)ax (ii)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對(duì)0xea11，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時(shí)，不是對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是(，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，注意到g(0)0，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a，不知如何操作，解題受阻?！军c(diǎn)撥】令g(x)0，解得xea11，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性問題。當(dāng)xea11時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)1xea11，g(x)0，g(

17、x)為減函數(shù)， 所以要對(duì)所有x0都有g(shù)(x)g(0)充要條件為ea110由此得a1，即a的取值范圍是(，1 另解：當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，對(duì)任意的，都有f(x)ax成立； 當(dāng)x >0時(shí)，f(x)ax等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)。下面求函數(shù)g(x)在x >0上的值域。 ，令g(x)0，不會(huì)解方程！ 構(gòu)造函數(shù)， ， 為上的單調(diào)增函數(shù)，注意到， 對(duì)x >0恒成立。因此，對(duì)x >0恒成立，即函數(shù)g(x)為上的單調(diào)增函數(shù)。如何求函數(shù)g(x)的“最小值”呢，g(x)在x0處沒有定義，怎么辦？ ， 對(duì)x >0恒成立。 a1，對(duì)x >0恒成立。綜上所述，對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立

18、，a的取值范圍是(，1(2007全國卷一理科20) 設(shè)函數(shù)（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）若對(duì)所有都有，求的取值范圍【解析】（）的導(dǎo)數(shù)由于，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）（）令，則，（）若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即（）若，方程的正根為，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是【解析】解：對(duì)任意，都有，即成立. 當(dāng)時(shí)，成立 當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立令，則當(dāng)時(shí)，為上增函數(shù).，即當(dāng)時(shí)，令，則，即，即為(0,1)增函數(shù).，即.，即為上增函數(shù). 又，所以使恒成立，即由可知.綜上所述， (2006，重慶，理，20) 已知函數(shù)，其中為常數(shù)。若，且，試證：?！痉治觥坑山o

19、定的條件和待證的目標(biāo)，容易想到應(yīng)該消去c，從而構(gòu)造出關(guān)于b的不等式，利用求解不等式的解，得到待證的目標(biāo)。解題的障礙就是對(duì)于給定的極限式型無從下手，得不到c與b的具體關(guān)系。一般地，對(duì)于型極限，求解的關(guān)鍵是想辦法在分子分母中消去零因子，但本題沒有辦法如此處理。【點(diǎn)撥】注意到，則有。 又，故得：。 ，即，又，整理得：解得。本題所給的極限式使我們聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的定義，回歸定義，回歸本源，是數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重要的著力點(diǎn)。3由于思維定勢(shì)的消極性所致(2005廣東18) 箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數(shù)量比為現(xiàn)從箱中每次任意取出一個(gè)球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其放回箱中

20、，并繼續(xù)從箱中任意取出一個(gè)球，但取球的次數(shù)最多不超過n次以表示取球結(jié)束時(shí)已取到白球的次數(shù)求的分布列；【解析】的所有允許取值依次為0，1，2，n。取出黃球的概率是，取出白球的概率是，則， ， ， ， ，的分布列是012(2005浙江理科19)袋子A中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，若有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列?！窘馕觥侩S機(jī)變量的取值為0、1、2、3.由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式Pn(k)=,得P(=0)=, P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.隨機(jī)變量的分布列是0123P(2007全國卷理科1

21、9)四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小【解析】解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面DBCAS因?yàn)椋?，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的角為三高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)建議1. 加強(qiáng)審題指導(dǎo)，是提高解題能力的必要條件(1)弄清已知條件和解題目標(biāo)這包括： 有幾個(gè)已知條件，能否把各個(gè)已知條件分開； 解題的目標(biāo)是什么？要求是什么？ 是否需要畫圖，如果能畫圖，最后畫圖，并在圖中標(biāo)出必要的條件和數(shù)據(jù)，畫圖的過程是一個(gè)熟悉

22、問題的過程，是一個(gè)對(duì)已知條件和解題目標(biāo)再認(rèn)識(shí)的過程.（2004重慶文14）已知曲線，則過點(diǎn)的切線方程是_.本題可以判斷點(diǎn)在曲線上，所以，大部分同學(xué)的解法是，由得切線方程為，即.但是,這個(gè)結(jié)果并不完整,這是因?yàn)轭}目并沒有告訴點(diǎn)是否為切點(diǎn),而上面的解法是把點(diǎn)當(dāng)作切點(diǎn)求解的.其實(shí), 點(diǎn)也可能不是切點(diǎn).正確的解法是:設(shè)切點(diǎn)為,則,切線方程為.因?yàn)樵谇芯€上,則,從而有,解得,于是, 過點(diǎn)的切線方程為和. (2)注意題目的隱含條件（2006遼寧理科12）設(shè),點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 【解析】 解得: ,因點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),所以,即滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范

23、圍是,故選擇答案B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的表示方法,向量的基本運(yùn)算,定比分點(diǎn)中定比的范圍等等.可見，審題的第一步就是弄清問題的已知條件和未知條件，在弄清條件時(shí)，對(duì)題目一定要字斟句酌，解錯(cuò)這道題，就是因?yàn)闆]有看“求什么”的時(shí)候就倉促下筆所以，熟悉問題是審題的重要步驟，在熟悉問的過程中，要弄清已知條件和未知條件，仔細(xì)的重復(fù)這些已知條件，如果問題與圖形有關(guān)，還應(yīng)該畫圖，在圖上標(biāo)示已知條件和未知條件及符號(hào). (3)弄清已知條件之間以及已知條件與所求目標(biāo)之間的相互聯(lián)系（2005浙江卷理科10）已知向量，|1，對(duì)任意tR，恒有|t|，則(A) (B) () (C) () (D) ()()【解析】常規(guī)處理

24、是從|t|變形得：ABCDAAAA得,即,選(C)。反思向量，|1，對(duì)任意tR，恒有|t|，可以從向量本身的意義來考慮,如圖：，則，設(shè)，由題意，僅當(dāng)時(shí)才能實(shí)現(xiàn)，即()。 (4)思考所求解的題目與以前做過的哪道題目相類似（2004湖南理科12）設(shè)分別是定義在上奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集是（ ）（A）（B）（C）（D）這是一個(gè)比較生疏的題目，遇到比較生疏的題目就要思考:“平時(shí)是否作過類似的問題？”仔細(xì)審題，就會(huì)得到一為上奇函數(shù)，一為上偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，而，則在時(shí)為增函數(shù)，經(jīng)過這一分析，再想，是否見過類似的題目呢？回答是，見過這就是：“函數(shù)為奇函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，求的解集”，于是生

25、題變成了熟題，畫出圖像，不難求出的解集為（D） 總之，審題是解題的一個(gè)重要步驟，通過審題，收集信息，加工信息，熟悉題目并深入到題目?jī)?nèi)部去思考，就會(huì)找到解題的入口，也會(huì)在解題的全部過程中，不忽視任何一個(gè)細(xì)節(jié) 審題決定成敗審題是通向成功的起點(diǎn)，也是成功的歸宿2關(guān)注解題細(xì)節(jié)，是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的必由之路。（1）研究解題細(xì)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)（2004年，天津卷，理21）已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，其中為常數(shù)，為非零常數(shù).（）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；本題主要考查函數(shù)，數(shù)列，等比數(shù)列和極限等概念，考查靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。 對(duì)于第（）問，許多同

26、學(xué)都是這樣證明的：由已知，即所以是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.這樣求解有沒有破綻?許多同學(xué)找不出毛病，其實(shí)，按照等比數(shù)列的定義，應(yīng)該證明與的比是一個(gè)常數(shù)，而要求“比”，就要證明數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，這可以由題設(shè)條件，得出，再由遞推公式及數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)所有，這是證明等比數(shù)列的前提，而上面的證明恰恰忽略了這一點(diǎn)。 第（）問是求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 由（）可以得出的通項(xiàng)公式 由的定義，。 這就涉及到求等比數(shù)列的前項(xiàng)之和。而對(duì)等比數(shù)列求和，又要對(duì)公比及分類討論，這樣一個(gè)細(xì)節(jié)，在平時(shí)教學(xué)中，老師肯定多次提醒，但是，換了一個(gè)解題環(huán)境，是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，就有不少考生忽略了分類。 第三個(gè)細(xì)節(jié)就是得出的結(jié)果之后：這里

27、的題目并沒有給出，因此，要用表示，許多考生也忽略了。正確的答案是細(xì)節(jié)總?cè)菀诪槿怂雎?，所以往往最能反映一個(gè)人的真實(shí)狀態(tài)，因而也最能表現(xiàn)一個(gè)人的習(xí)慣.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生重視學(xué)習(xí)中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，有利于學(xué)生良好學(xué)習(xí)品質(zhì)的形成.作為教師，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤是重要，但更重要的是通過教學(xué)中的一些細(xì)節(jié)，使學(xué)生遇事能認(rèn)真分析，能認(rèn)真思考每一個(gè)環(huán)節(jié)的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì). (2005年，江西卷，文19)A、B兩位同學(xué)各有五張卡片,現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲,當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時(shí)A贏得B一張卡片,否則B贏得A一張卡片.如果某人已贏得所有卡片,則游戲終止.求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時(shí)游戲終止的概率.【解析】本題的

28、關(guān)鍵是擲硬幣的次數(shù)不大于7次時(shí),正面和反面各出現(xiàn)多少次,才能贏得所有卡片.為此,設(shè)表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù),又設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為,反面出現(xiàn)的次數(shù)為.由題意,可得方程組解得： （2）關(guān)注細(xì)節(jié)，提高學(xué)生的思維深度細(xì)節(jié)決定成敗(2000年,上海卷) 已知()對(duì)任意恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;()當(dāng)?shù)闹涤蚴?試求實(shí)數(shù)的值.【解析】本題的第（）問是一個(gè)恒成立問題, 對(duì)任意恒成立。等價(jià)于對(duì)任意恒成立,又等價(jià)于時(shí),的最小值成立.由于在上為增函數(shù),則,所以 .第()問是一個(gè)恰成立問題,這相當(dāng)于的解集是.當(dāng)時(shí),由于時(shí), ,與其值域是矛盾,當(dāng)時(shí), 是上的增函數(shù).所以,的最小值為,令,即不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題1.恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最小值大于,若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于.2. 能成立問題若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最大值大于,若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于.3. 恰成立問題若不等式在區(qū)