數(shù)值分析題庫及答案

1、模 擬 試 卷（一）一、填空題（每小題3分，共30分）1有3個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度是 次的.2設(shè)，則= .，= _.3已知y=f(x)的均差（差商），, 那么均差= .4已知n=4時(shí)NewtonCotes求積公式的系數(shù)分別是：則 .5解初始值問題的改進(jìn)的Euler方法是 階方法；6求解線性代數(shù)方程組的高斯塞德爾迭代公式為 ， 若取, 則 .7求方程根的牛頓迭代格式是                   &

2、#160;.8是以整數(shù)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則= .9解方程組的簡(jiǎn)單迭代格式收斂的充要條件是 .10設(shè)，則的三次牛頓插值多項(xiàng)式為 ，其誤差估計(jì)式為 .二、綜合題（每題10分，共60分）1求一次數(shù)不超過4次的多項(xiàng)式滿足：，.2構(gòu)造代數(shù)精度最高的形式為的求積公式，并求出其代數(shù)精度. 3用Newton法求方程在區(qū)間內(nèi)的根, 要求.4用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.35用矩陣的直接三角分解法解方程組.6 試用數(shù)值積分法建立求解初值問題的如下數(shù)值求解公式，其中.三、證明題（10分）設(shè)對(duì)任意的，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都存在且,對(duì)于滿足的任意，迭代

3、格式均收斂于的根.參考答案一、填空題15； 2. 8, 9 ; 3. ； 4. ； 5. 二； 6. , (0.02，0.22，0.1543)7. ; 8. ; 9. ; 10. 二、綜合題1差商表：11122151515575720204272152230781其他方法：設(shè)令，求出a和b.2取，令公式準(zhǔn)確成立，得：, , , .時(shí)，公式左右；時(shí)，公式左, 公式右 公式的代數(shù)精度.3此方程在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根，而且在區(qū)間（2，4）內(nèi)。設(shè)則， ，Newton法迭代公式為， 取，得。 4 ，.解方程組，其中 ， 解得： 所以， . 5解 設(shè)由矩陣乘法可求出和解下三角方程組 有，.再解上三角

4、方程組 得原方程組的解為，.6 解 初值問題等價(jià)于如下形式，取，有，利用辛卜森求積公式可得.三、證明題證明 將寫成，由于 ，所以所以迭代格式均收斂于的根.模 擬 試 卷（二）一、填空題（每小題3分，共30分）1分別用2.718281和2.718282作數(shù)的近似值，則其有效位數(shù)分別有 位和 位 ；2 設(shè)，則= _，= .3對(duì)于方程組, Jacobi迭代法的迭代矩陣是=_.4設(shè)，則差商=_，=_.5已知, 則條件數(shù)_.6為使兩點(diǎn)的數(shù)值求積公式具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點(diǎn)應(yīng)為=_， =_7解初始值問題近似解的梯形公式是 8求方程根的弦截法迭代公式是    

5、;                9. 計(jì)算積分，取4位有效數(shù)字，用梯形公式計(jì)算求得的近似值是 ， 用辛卜生公式計(jì)算的結(jié)果是 10任一非奇異矩陣的條件數(shù) ，其一定大于等于 二、綜合題（每題10分，共60分）1 證明方程在區(qū)間有且只有一個(gè)根，若利用二分法求其誤差不超過近似解，問要迭代多少次？2 已知常微分方程的初值問題：試用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算的近似值，取步長(zhǎng).3 用矩陣的分解法解方程組 .4 用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬

6、合.x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1685 設(shè)方程組，試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯賽德爾迭代法的收斂性。6 按冪法求矩陣的按模最大特征值的近似值，取初始向量，迭代兩步求得近似值即可.三、證明題（10分）已知求的迭代公式為：證明：對(duì)一切 ， 且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂.參考答案一、填空題16， 7； 2. 9, ; 3 . ; 4. 1, 0; 5. 9; 6. , ; 7. ;8. ； 9. 0.4268, 0.4309; 10. , 1二、綜合題1 解 令，則，且 故在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)根. 利用二分法求它的誤差不超過的近似解，則

7、 解此不等式可得 所以迭代14次即可.2、解：3 解 設(shè) 利用矩陣乘法可求得， ，解方程組 得，再解方程組 得.4 解 令，則容易得出正規(guī)方程組，解得 .故所求經(jīng)驗(yàn)公式為 . 5 解 （1）由于，所以在內(nèi)有根且，故利用雅可比迭代法不收斂.（2）由于所以，故利用高斯賽德爾迭代法收斂.6 解 因?yàn)?，故，且?從而得，.三、證明題 證明: 由于 故對(duì)一切，又所以 ，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂.模 擬 試 卷（三）一、填空題（每小題3分，共30分）1設(shè)是真值的近似值，則有 位有效位數(shù)，相對(duì)誤差限為 ；2 若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分 次。3有n個(gè)節(jié)

8、點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為 次.4設(shè)，要使迭代格式局部收斂到，則的取值范圍是 5設(shè)線性方程組有唯一解，在不考慮系數(shù)矩陣擾動(dòng)的情況下，若方程組右端項(xiàng)的擾動(dòng)相對(duì)誤差 ，就一定能保證解的相對(duì)誤差；6給定線性方程組，則解此線性方程組的Jacobi迭代公式是 ，Gauss-Seidel迭代公式是 7插值型求積公式的求積系數(shù)之和是 8數(shù)值求解初值問題的龍格-庫塔公式的局部截?cái)嗾`差是 9. 已知函數(shù)，用此函數(shù)表作牛頓插值多項(xiàng)式，那么插值多項(xiàng)式的系數(shù)是 10 設(shè)，為使可分解為，其中是對(duì)角線元素為正的下三角矩陣，則的取值范圍是 。二、綜合題（每題10分，共60分）1用Newton法求方程在區(qū)間內(nèi)的根, 要求.

9、2設(shè)有方程組，其中，已知它有解，  如果右端有小擾動(dòng)，試估計(jì)由此引起的解的相對(duì)誤差。3試用Simpson公式計(jì)算積分的近似值, 并估計(jì)截?cái)嗾`差.4設(shè)函數(shù)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試用埃爾米特插值法求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式，使其滿足，并寫出誤差估計(jì)式。5，給出用古典Jacobi方法求的特征值的第一次迭代運(yùn)算。 6用梯形方法解初值問題， 證明其近似解為，并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解。 三、證明題（10分）若有個(gè)不同的實(shí)根，證明 .參考答案一、填空題1. 3, ; 2. 10; 3. ; 4. ; 5. ; 6. , 7. ; 8. ; 9. 2.4; 10 .

10、 二、綜合題1此方程在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根，而且在區(qū)間（2，4）內(nèi)。設(shè)則， Newton法迭代公式為， 取，得。 2解 ，由公式，有3 ， ， 截?cái)嗾`差為4由所給條件可用插值法確定多項(xiàng)式， (由題意可設(shè)為確定待定函數(shù)，作輔助函數(shù)：,則在上存在四階導(dǎo)數(shù)且在上至少有5個(gè)零點(diǎn)（為二重零點(diǎn)），反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，知至少有一個(gè)零點(diǎn)，使，從而得。故誤差估計(jì)式為，。5首先取，因，故有，于是， 6. 梯形公式為，由，得，所以，用上述梯形公式以步長(zhǎng)經(jīng)步計(jì)算得到，所以有，所以三、證明題證明 由于有個(gè)不同的實(shí)根，故,于是記 ，則，再由差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系知.模 擬 試 卷（四）一、填空題（每小題3分，共30分）1 為了減少運(yùn)

11、算次數(shù)，應(yīng)將算式改寫為 ，為減少舍入誤差的影響，應(yīng)將算式改寫為 。2， ， 。3設(shè)在的根 附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則當(dāng) 時(shí)迭代過程是線性收斂的，則當(dāng) 時(shí)迭代過程是平方收斂的。4設(shè)，則當(dāng)滿足 時(shí)，有5用列主元消去法解線性方程組時(shí)，在第k1步消元時(shí)，在增廣矩陣的第k列取主元，使得 。6已知函數(shù)，則= ，= ，的二次牛頓插值多項(xiàng)式 7求解方程，若可以表成，則用簡(jiǎn)單迭代法求根，那么 滿足 ，近似根序列一定收斂。8點(diǎn)插值型數(shù)值積分公式的代數(shù)精度至少是 次，最高不超過 次。9.寫出初值問題 在上歐拉計(jì)算格式 10解初始值問題的梯形方法是 階方法二、綜合題（每題10分，共60分）1證明方程在區(qū)間1，2內(nèi)有

12、唯一根x*，用牛頓迭代法求x*(精確至3位小數(shù))。2用列主元消去法解線性方程組;3給定數(shù)據(jù)x=0,1,2,3，對(duì)應(yīng)函數(shù)值分別為y=1,3,2,4，求三次拉格朗日或牛頓插值多項(xiàng)式。4設(shè)有矩陣 用“規(guī)范化”的方法求其按模最大的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量（注：求迭代4次即可）5用改進(jìn)的Euler方法求初值問題 , . 6給定數(shù)據(jù)，求一次最小二乘擬合多項(xiàng)式。三、證明題（10分）設(shè)線性方程組為，（1） 證明用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解此方程組要么同時(shí)收斂，要么同時(shí)發(fā)散；（2） 當(dāng)同時(shí)收斂時(shí)，比較它們的收斂速度。參考答案一、填空題1. , ; 2. 6, 6; 3. , ; 4. ; 5. ; 6. 2, 1, ; 7. ; 8. ，; 9. 10. 二二、綜合題1. 由牛頓迭代公式 ，取x0=1.2，得 或取，, 所以.2 , 故. 3. 或 4取，由乘冪法得， ，, ,5改進(jìn)的Euler方法， 取，經(jīng)計(jì)算得 ：;，經(jīng)計(jì)算得 ： ，經(jīng)計(jì)算得 ：;，經(jīng)計(jì)算得 ：;，經(jīng)計(jì)算得 ：;