高考數(shù)學(xué) 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積教材

1、第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積考 點(diǎn) 串 串 講1兩向量的夾角如圖所示，已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB(0180)叫做向量a與b的夾角，記作a，b當(dāng)0時，a與b同向；當(dāng)180時，a與b反向；如果a與b的夾角是90，我們說a與b垂直，記作ab.注意(1)作a與b所成的角時，應(yīng)注意“平移共始點(diǎn)”(2)兩條相交直線的夾角是指這兩條直線所成的銳角或直角，而向量的夾角可以是鈍角，其取值范圍是0180.2兩個向量數(shù)量積的定義已知非零向量a，b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.注意(1)結(jié)

2、合物理學(xué)中力做功的背景來理解向量的數(shù)量積定義(2)兩個向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量而不是向量，它的值為兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角的余弦決定(3)兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法，又稱“點(diǎn)乘”，與以前所學(xué)實(shí)數(shù)的乘法是有區(qū)別的在書寫時，一定要嚴(yán)格區(qū)分，不可省略不寫或混淆3向量數(shù)量積的幾何意義對于ab|a|b|cos，其中|b|cos叫做向量b在a方向上的數(shù)量(為向量a與b的夾角)當(dāng)為銳角時，它是正值；當(dāng)為鈍角時，它是負(fù)值；當(dāng)90時，它是0；當(dāng)0時，它是|b|；當(dāng)180時，它是|b|.注意(1)|b|cos叫做b在a方向上的數(shù)量，是實(shí)數(shù)而不是向量b在a方向上的數(shù)量|b|

3、cosb.(2)當(dāng)a0時，由ab0不能推出b0，這是因?yàn)楫?dāng)b與a的夾角為90時，都有ab0.4平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)(1)交換律：abba.(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)(3)分配律：(ab)cacbc.注意向量數(shù)量積運(yùn)算所滿足的是交換律、數(shù)乘結(jié)合律及加乘分配律，但不適合乘法結(jié)合律如：(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線，故二者未必相等向量的數(shù)量積不滿足運(yùn)算的消去律，如abcb/ ac.5平面向量數(shù)量積的性質(zhì)若a，b是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角，則(1)eaae|a|

4、cos.(2)abab0.(3)若a與b同向，則ab|a|b|，若a與b反向，則ab|a|b|.特別地，aa|a|2或|a|.(4)若為a，b的夾角，則cos.(5)|ab|a|b|.注意aaa2|a|2|a|a|，即|a|，這些性質(zhì)在化簡、求證中涉及向量長度的相關(guān)問題中起到重要作用cos是平面向量數(shù)量積公式的變形，常用來求兩向量的夾角問題ab0a與b垂直|ab|a|b|可用于證明不等式問題6平面向量數(shù)量積的幾何表示與坐標(biāo)表示(1)平面向量的數(shù)量積幾何表示定義：ab|a|b|cos(a0，b0,0180) 0a0坐標(biāo)表示abx1x2y1y2(2)平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)幾何表示|a|cos|a

5、b|a|b|坐標(biāo)表示|a|cos|x1x2y1y2|典 例 對 對 碰題型一 數(shù)量積的概念例1設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線給出下列命題：(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b與c不可能垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命題的有()ABC D分析由數(shù)量積的概念、性質(zhì)及其運(yùn)算去判斷解析(ab)c是與向量c平行的向量，(ca)b是與向量b平行的向量，因此(ab)c與(ca)b不一定相等故不正確；因?yàn)閍、b、c是任意的非零向量，且相互不共線，則根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知正確；由于(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)

6、0，因此(bc)a(ca)b與c垂直，不正確；(3a2b)(3a2b)9a24b29|a|24|b|2.正確，故選D.答案D變式遷移1已知下列各式：|a|2a2，(ab)2a2b2，(ab)2a22abb2.其中正確的有()A1個 B2個C3個 D4個答案B解析中a2aa|a|a|cos0|a|2，所以正確中a，b不共線時，無意義中(ab)2(|a|b|cos)2|a|2|b|2cos2a2b2cos2，所以不正確由向量的數(shù)量積的運(yùn)算律知，正確故選B.題型二 向量的模與數(shù)量積例2已知a、b滿足|ab|ab|，|a|b|1，求|3a2b|.解析由|ab|ab|得，|ab|23|ab|2，即(ab

7、)23(ab)2，a22abb23(a22abb2)，8ab2a22b22|a|22|b|24，即ab，|3a2b|.點(diǎn)評在向量的非坐標(biāo)運(yùn)算中，向量的數(shù)量積與向量模的轉(zhuǎn)化公式|a|2a2起著相當(dāng)重要的作用，在解題中要善于根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.變式遷移2若|a|13，|b|19，|ab|24，則|ab|的值為_答案22解析由(ab)2|ab|2，可得a22abb2|ab|2.整理得1692ab361576，2ab46.則有|ab|22.題型三 夾角問題例3設(shè)a(cos，sin)，b(cos，sin)，且a與b具有關(guān)系|kab|akb|(k0)(1)a與b能垂直嗎？(2)若a與b的夾角

8、為60，求k的值解析(1)|kab|akb|，(kab)23(akb)2，且|a|b|1.即k212kab3(1k22kab)，ab，k210，ab0即a與b不垂直(2)a與b夾角為60，且|a|b|1，ab|a|b|cos60.k1.變式遷移3已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61求：(1)a與b的夾角；(2)|ab|和|ab|；(3)若a，b，作三角形ABC，求ABC的面積解析由(2a3b)(2ab)61，解得ab6，故(1)cos，又0180，120.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.同理可求|ab|.(3)SABC|a|b|sin43sin1203.題型四 向量

9、的平行、垂直與數(shù)量積例4已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t為正實(shí)數(shù)，向量xa(t21)b，ykab，(1)若xy，求k的最小值；(2)是否存在k，t使xy？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由解析(1)a(1,2)，b(2,1)，ab0，又xy，a(t21)b(kab)0，ka2b20，化簡整理得，k，t為正實(shí)數(shù)，k2，當(dāng)且僅當(dāng)t1時，k2，k的最小值為2.(2)xa(t21)b(2t21，t23)，ykab(k，2k)，假設(shè)存在正實(shí)數(shù)k，t使xy，則(2t21)(2k)(t23)(k)，整理得tk(t21)10，則滿足上述等式的正實(shí)數(shù)k，t不存在，所以不存在k，t使xy.點(diǎn)

10、評本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算第(1)問關(guān)鍵在于正確運(yùn)用兩向量垂直的充要條件來建立k與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用均值不等式求最值；第(2)問則是利用兩向量共線的充要條件列出k與t的等式，再根據(jù)k與t為正實(shí)數(shù)實(shí)施判斷.變式遷移4已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四點(diǎn)，則四邊形ABCD是()A梯形 B矩形C菱形 D正方形答案B解析(4,0)(1,2)(41,02)(3，2)，(8,6)(5,8)(85,68)(3，2)，四邊形ABCD為平行四邊形(5,8)(1,2)(4,6)，34(2)60，四邊形ABCD是矩形(8,6)(1,2)(7,4)，(5,8)(4,0)(1

11、,8)，7148390，與不垂直四邊形ABCD不是菱形，也不可能是正方形.題型五 平面向量與解三角形例5在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC.(1)若a3，b4，求|的值；(2)若C，ABC的面積是，求的值解析由(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，得(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，由兩角和與差的正弦公式展開得：2b2sinAcosB2a2cosAsinB.根據(jù)正弦定理有：2sinBcosB2sinAcosA，即sin2Bsin2A，A、B為三角形的內(nèi)角，AB或AB.(1)若a3，b4，則AB，AB，C

12、，|5.(2)若C，則C，AB，ab，三角形為等邊三角形由SABCa2sinC，解得a2.322cos6.點(diǎn)評三角形中的正弦定理、余弦定理從某種意義上理解是平面向量在三角函數(shù)中應(yīng)用的一種形式，運(yùn)用正弦定理、余弦定理可以解三角形；反之，給出三角形中的邊角關(guān)系，亦能解決有關(guān)三角形中的向量運(yùn)算.變式遷移5已知ABC的面積S滿足S3，且6，與的夾角為.(1)求的取值范圍；(2)求函數(shù)f()sin22sincos3cos2的最小值解析(1)由題意可知，|cos6，S|sin()|sin，得tan，即3tanS.由S3，得3tan3，即tan1，又為與的夾角，0，(2)f()sin22sincos3cos

13、21sin22cos22sin2cos22sin(2)，2，2，即時，f()取得最小值3.題型六 有關(guān)數(shù)量積的綜合題例6已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，且a、b滿足關(guān)系|kab|akb|(其中k0)(1)求證：(ab)(ab)；(2)求將a與b的數(shù)量積表示為關(guān)于k的函數(shù)f(k)；(3)求函數(shù)f(k)的最小值及取最小值時a與b的夾角.分析(1)ab，ab分別用坐標(biāo)表示，只要證(ab)(ab)0即可(2)將|kab|akb|兩邊平方，求ab或用向量的模的計算公式求解(3)用均值不等式求最值，用向量的夾角公式求.解析(1)證法一：由a(cos，sin)，b(cos，sin)，則a

14、b(coscos，sinsin)，ab(coscos，sinsin)，又(ab)(ab)(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin)cos2cos2sin2sin2110，(ab)(ab)證法二：由a(cos，sin)，b(cos，sin)，則(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2110，(ab)(ab)(2)abcoscossinsincos()解法一：kab(kcoscos，ksinsin)，akb(coskcos，sinksin)，|kab|2(kcoscos)2(ksinsin)21k22k(coscossinsin)1k22kcos()，|akb|2(coskc

15、os)2(sinksin)21k22k(coscossinsin)1k22kcos()，由|kab|akb|，得1k22kcos()31k22kcos()，8kcos()2(k21)，又k0，cos()，即ab(k0)f(k)(k0)解法二：|a|1，|b|1.由|kab|23|akb|2，得k2|a|22kab|b|23|a|26kab3k2|b|2,8kab2(k21)，即ab(k0)，故f(k)(k0)(3)k0，ab.當(dāng)k1時，等號成立，所以ab的最小值為.此時ab|a|b|cos，cos.又0，.變式遷移6設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為A，已知由A到A的映射f由f(x)x2(xa)a確

16、定，其中xA，a(cos，sin)，R.(1)當(dāng)?shù)娜≈蛋l(fā)生變化時，ff(x)的結(jié)果是否會發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論；(2)若|m|，|n|，ff(m2n)與ff(2mn)垂直，求m與n的夾角解析(1)a(cos，sin)，aa1.ff(x)fx2(xa)ax2(xa)a2x2(xa)a aax2(xa)a2(xa)ax，ff(x)的結(jié)果不會隨的變化而變化(2)由(1)知ff(m2n)m2n，ff(2mn)2mn，ff(m2n)ff(2mn)(m2n)(2mn)2m23mn2n23mn，由ff(m2n)與ff(2mn)垂直得3mn0，則mn|m|n|cosm，n，cosm，n1，m，n，故m與n的

17、夾角為.【教師備課資源】題型七 向量數(shù)量積的基本計算例7若a(3，4)，b(2,1)，試求(a2b)(2a3b)解析解法一a2b(3，4)2(2,1)(1，6)，2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)，(a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)18.解法二(a2b)(2a3b)2a2ab6b2232(4)232(4)16(2212)18.點(diǎn)評向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是依據(jù)坐標(biāo)來計算，二是依據(jù)模與夾角來計算具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，本題中向量a、b坐標(biāo)已知，可求a2、b2、ab，也可求a2b與2a3b的坐標(biāo)，進(jìn)而用(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2求解.變式遷

18、移7已知a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，試求：a(bc)和(ab)c的值解析a(bc)(bc)a(1)2(2)1a4(2,3)(8，12)同理(ab)c(16，8).方 法 路 路 通1平面向量數(shù)量積的定義平面向量a與b的數(shù)量積：ab|a|b|cos，它是一個實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值是兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積其中的取值范圍是0180.2向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的積的不同點(diǎn)實(shí)數(shù)的乘積向量的數(shù)量積結(jié)合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)ab0a0或b0ab0a0或b0或ab|ab|a|b|ab|a|b|(ab)2a2b2(ab)2a2b23.公式ab|a|b|cos，abxaxbyayb，|a|2(a)2x2y2的關(guān)系非常密切，必須能夠靈活、綜合應(yīng)用4abx1y2x2y10與abx1x2y1y20要區(qū)分清楚5數(shù)量積運(yùn)算中的常用公式(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b26a與b的數(shù)量積在書寫上是ab，而不能寫成ab.7ab0與a和b的夾角為銳角不等價，ab0還包含a和b同向的情形同樣ab0不僅包含a和b的