常系數(shù)高階齊次線性微分方程ppt課件

1、 高階常系數(shù)齊次線性方程高階常系數(shù)齊次線性方程一、定義一、定義二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法三、三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法一、定義一、定義)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的規(guī)范方式階常系數(shù)線性微分方程的規(guī)范方式0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的規(guī)范方式二階常系數(shù)齊次線性方程的規(guī)范方式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的規(guī)范方式二階常系數(shù)非齊次線性方程的規(guī)范方式n n階常系數(shù)線性微分方程的規(guī)范方式階常系數(shù)線性微分方程的規(guī)范方式(1) )(1)1(1)(xfypypypynnnn n n階常

2、系數(shù)齊次線性微分方程的規(guī)范方式階常系數(shù)齊次線性微分方程的規(guī)范方式(2) 01)1(1)( ypypypynnnn )2(的的特特點(diǎn)點(diǎn)：的的項(xiàng)項(xiàng)的的特特點(diǎn)點(diǎn)及及由由rxey 的的解解是是(2) rxe,)()(rxnnrxere 0111 rxnrxnrxnrxnepreperper(3) 0111 nnnnprprpr。為為即即：特征根 r(2)的特征方程二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特

3、征根0 qyypy1. 1. 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為2. 2. 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡(jiǎn)，代入原方程并化簡(jiǎn)，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexu

4、y 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為3. 3. 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根,1 ir ,2 ir ,)(1xiey ,)(2xiey )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)式式實(shí)實(shí)根根21rr 實(shí)實(shí)根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程

5、的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱(chēng)為特征方程法確定其通解的方法稱(chēng)為特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例1 1.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2三、三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPr

6、Pr特征根特征根對(duì)應(yīng)的特解對(duì)應(yīng)的特解rk重重實(shí)實(shí)根根rxkrxrxexxee1, ik 根根重重共共軛軛復(fù)復(fù)xexxxexexexxxexexkxxxkxx sin,sin,sincos,cos,cos11 注注 1、n次代數(shù)方程恰有次代數(shù)方程恰有n個(gè)根。個(gè)根。2、屬于不同特征根的解線性無(wú)關(guān)。、屬于不同特征根的解線性無(wú)關(guān)。留意留意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個(gè)根個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各一個(gè)且每一項(xiàng)各一個(gè)恣意常數(shù)恣意常數(shù).nnyCyCyCy 2211特征根為特征根為, 154321irrirrr 故所求通解為故所求通解

7、為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例3 3四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的普通步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的普通步驟:1寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程;2求出特征根求出特征根;3根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見(jiàn)下表見(jiàn)下表)02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)式式實(shí)實(shí)根根21rr 實(shí)實(shí)根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1

8、xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 思索題思索題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思索題解答思索題解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 那么那么, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解

9、下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一個(gè)二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程求作一個(gè)二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 設(shè)圓柱形浮筒設(shè)圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當(dāng)稍當(dāng)稍向下壓后突 然放開(kāi)向下壓后突 然放開(kāi), ,浮筒 在水中上 下振動(dòng)的浮筒 在水中上 下振動(dòng)的s2周期為周期為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、xeCCy

10、421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ； 4 4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :為為兩兩個(gè)個(gè)xe, 1線性無(wú)關(guān)的解線性無(wú)關(guān)的解) )四、四、195 Mkg.kg.微分方程的運(yùn)用題微分方程的運(yùn)用題 例例1. 某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行間隔，某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行間隔，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘，以增大阻力，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停

11、下使飛機(jī)迅速減速并停下. 現(xiàn)有一質(zhì)量為現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的程度速度的飛機(jī)，著陸時(shí)的程度速度為為700km/h. 經(jīng)測(cè)試，減速傘翻開(kāi)后，飛機(jī)所受的總經(jīng)測(cè)試，減速傘翻開(kāi)后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比比例系數(shù)為阻力與飛機(jī)的速度成正比比例系數(shù)為 問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)間隔是多？問(wèn)從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)間隔是多？注注: kg表示千克，表示千克，km/h表示千米表示千米/小時(shí)小時(shí).).100 . 66k 【分析】【分析】 此題是規(guī)范的牛頓第二定理的運(yùn)用，此題是規(guī)范的牛頓第二定理的運(yùn)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可。列出關(guān)系式后再解微分方程即可?！窘狻窘?】 由題設(shè)

12、，飛機(jī)的質(zhì)量由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時(shí)，著陸時(shí)的程度速度的程度速度hkmv/7000 從飛機(jī)接觸跑道開(kāi)場(chǎng)記時(shí)，設(shè)從飛機(jī)接觸跑道開(kāi)場(chǎng)記時(shí)，設(shè)t時(shí)辰飛機(jī)的滑行時(shí)辰飛機(jī)的滑行間隔為間隔為x(t)，速度為，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得根據(jù)牛頓第二定律，得kvdtdvm dxdvvdtdxdxdvdtdv 又又由以上兩式得由以上兩式得 dvkmdx .)(Cvkmtx 0)0(,)0(0 xvv0vkmC )()(0tvvkmtx 積分得積分得 由于由于故得故得從而從而 0)(tv).(05. 1100 . 67009000)(60kmkmvtx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)間

13、隔為所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)間隔為1.05km.例例2 2 如下圖，平行與如下圖，平行與 軸的動(dòng)直線被曲軸的動(dòng)直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQPQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積, , 求曲線求曲線 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).22(32xxeyx 23xyy )1(022121tmkekmktkkv 答答:例例4 4 拋物線的光學(xué)性質(zhì)拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例實(shí)例: : 車(chē)燈的反射鏡面車(chē)燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面解解軸軸設(shè)設(shè)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸 ox如圖如圖),0 , 0(光源在光源在)(:xyyL xyoMTNRL為上任一點(diǎn)，為上任一點(diǎn)，設(shè)設(shè)),(yxM,yMT 斜斜率率為為為為切切線線,1,yMN 斜斜率率為為為為法法線線,NMROMN yNMRyxyxyyOMN1tan11tan, 022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMRO