第2章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(2)

1、第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Chapter 2 Mathematical model of control system2.3 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2.3.12.3.12.3.22.3.22.3.32.3.3傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)微分方程形式的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會(huì)遇微分方程形式的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際應(yīng)用中一般會(huì)遇到如下的困難：到如下的困難： 1）微分方程式的階次一高，求解就有難度，）微分方程式的階次一高，求解就有難度，且計(jì)算的工作量大。且計(jì)算的工作量大。 2）對(duì)于控制系統(tǒng)的

2、分析，不僅要了解它在給）對(duì)于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)，而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)定信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)，而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與其性能間的關(guān)系。對(duì)于后者的要求，顯然、參數(shù)與其性能間的關(guān)系。對(duì)于后者的要求，顯然用微分方程式去描述是難于實(shí)現(xiàn)的。用微分方程式去描述是難于實(shí)現(xiàn)的。 在控制工程中，一般并不需要精確地求系統(tǒng)在控制工程中，一般并不需要精確地求系統(tǒng)微分方程式的解，作出它的輸出響應(yīng)曲線(xiàn)，而是希微分方程式的解，作出它的輸出響應(yīng)曲線(xiàn)，而是希望用簡(jiǎn)單的辦法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定及其在動(dòng)態(tài)過(guò)程望用簡(jiǎn)單的辦法了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定及其在動(dòng)態(tài)過(guò)程中的主要特征，能夠判別某些參數(shù)的改變或校正裝中

3、的主要特征，能夠判別某些參數(shù)的改變或校正裝置的加入對(duì)系統(tǒng)性能的影響。置的加入對(duì)系統(tǒng)性能的影響。下面以一個(gè)簡(jiǎn)單的下面以一個(gè)簡(jiǎn)單的R-C電路為例，說(shuō)明卷積積分的電路為例，說(shuō)明卷積積分的應(yīng)用。應(yīng)用。 已知一已知一R-C電路如圖電路如圖2-12所示，其中輸入電壓為所示，其中輸入電壓為 ，輸出為電容兩端的充電電壓輸出為電容兩端的充電電壓 。由基爾霍夫定律得。由基爾霍夫定律得因?yàn)橐驗(yàn)?，則上式便改寫(xiě)為，則上式便改寫(xiě)為這就是該電路的微分方程式。這就是該電路的微分方程式。 方程兩端進(jìn)行拉氏變換方程兩端進(jìn)行拉氏變換rucurcuuiR dtduCic rccuudtduRC )()()0()(sUsURCusR

4、CsUrccc2.3.1 2.3.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(transfer function)(transfer function)的定義的定義若若 則有則有) 0(1)(11)(crcuRCsRCsURCssU其中，其中， RCT )(*0tuurRCtcRCtceueutu) 0()1 ()(00) 0(cu若若 則有則有)(11)(sURCssUrc( )G s( )R s( )C s11)()(RCssUsUrc當(dāng)當(dāng)初始電壓初始電壓為為零零時(shí)，電路時(shí)，電路輸出函數(shù)輸出函數(shù)的拉氏變換函數(shù)的拉氏變換函數(shù)與與輸入函數(shù)輸入函數(shù)拉氏變換之比，是一個(gè)只與電路結(jié)構(gòu)與拉氏變換之比，是一個(gè)只與電路結(jié)構(gòu)與參

5、數(shù)有關(guān)的函數(shù)，稱(chēng)為參數(shù)有關(guān)的函數(shù)，稱(chēng)為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)。式中，式中， 為系統(tǒng)的輸入量；為系統(tǒng)的輸入量； 為系統(tǒng)的輸出量。為系統(tǒng)的輸出量。在零初始條件下，在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得)(tr)(tc)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn mn )()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 設(shè)線(xiàn)性定常數(shù)系統(tǒng)的微分方程式為設(shè)線(xiàn)性定常數(shù)系統(tǒng)的微分方程式為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為 與與 之比，即之比，

6、即 )()()(sRsGsC )()(tcLsC )()(trLsR )(sC)(sRnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(于是得于是得其中其中在在零初始條件零初始條件( )下，線(xiàn)性定常系統(tǒng)下，線(xiàn)性定常系統(tǒng)輸出量輸出量的拉氏變換與引起該輸?shù)睦献儞Q與引起該輸出的出的輸入量輸入量的拉氏變換之比。的拉氏變換之比。據(jù)此得出線(xiàn)性定常系統(tǒng)（或元件）傳遞函數(shù)的定義：據(jù)此得出線(xiàn)性定常系統(tǒng)（或元件）傳遞函數(shù)的定義：例例2-12-1 R-L-CR-L-C串聯(lián)電路串聯(lián)電路方法一方法一 方法二方法二 運(yùn)算法運(yùn)算法)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRd

7、ttudrccc 11)()()(2RCsLCssUsUsGrc傳遞函數(shù)的求法傳遞函數(shù)的求法先列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)傳遞函數(shù)的定義求取先列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)傳遞函數(shù)的定義求取 畫(huà)出運(yùn)算電路模型，將電路元件變?yōu)檫\(yùn)算阻抗，利畫(huà)出運(yùn)算電路模型，將電路元件變?yōu)檫\(yùn)算阻抗，利用電路分析方法求取。用電路分析方法求取。2.3.2 2.3.2 傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)111( )( )( )( )( )g tLC sLG s R sLG s 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣描述輸出與輸入間的關(guān)系描述輸出與輸入間的關(guān)系)()()()()(2121111sUsGsUsGsY )()()()()(2

8、221212sUsGsUsGsY )()()()()()()()(212221121121sUsUsGsGsGsGsYsY)()()(sUsGsY )()()()()()()()()()()(222112112121sGsGsGsGsGsUsUsUsYsYsY，如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)，就可以根據(jù)卷積，就可以根據(jù)卷積積分求解系統(tǒng)在任意輸入積分求解系統(tǒng)在任意輸入r(t)作用下的輸出響應(yīng)，即作用下的輸出響應(yīng)，即 因?yàn)橐驗(yàn)?ttdtrgdrtgtrtgtc00)()()()()()()()()()()(sRsGtrtgL求取系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的兩種方法求取系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的

9、兩種方法：對(duì)對(duì)r(t)拉式變換得到拉式變換得到R(s),由由 得到得到C(s)，然后進(jìn)行拉式反變換得到然后進(jìn)行拉式反變換得到c(t).1. 由傳遞函數(shù)的拉式反變換得到由傳遞函數(shù)的拉式反變換得到g(t),由由 得到得到c(t).)()()(sRsGsC )()()(trtgtc11)()()( TssUsUsGrcRCT 求取該電路在單位階躍輸入時(shí)的響應(yīng)。求取該電路在單位階躍輸入時(shí)的響應(yīng)。 )( 1 tur 111( ) ( )etTg tG sT 011 () 0 01( )()( )d11edee d1 etcrttttTTTtTu tg tuTT tTceTsTLsLsTsLtu11111

10、)1()1() 1(1)(ssUr1)(sTssUsGsUrc)1(1)()()( 方法方法1 1方法方法2 2RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)( (例2-10) )t (u)t (Ridt)t )iCdt)t (diLi1 dt)t ( iC)t (uo1)t (u)t (udt)t (duRCdt)t (udLCiooo 22112 RCsLCs)s(U)s(Uio傳遞函數(shù)。試求初始電流為電容初始電壓為若)t (u),( i),(u),t ()t (uooi001 再反變換即可。則若初始值均為零解,)RCsLCs( s)s(U,:o112 初態(tài)下的拉氏變換得：現(xiàn)在對(duì)微分方程求非零 )t (uoRCs

11、LCs)(u)RCLCs()(uLCLoo10021 )RCsLCs( sL1121 零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)輸出響應(yīng))()()(sNsMsGmmmmbsbsbsbsM1110.)(nnnnasasasasN1110.)(KabGnm)0(傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)的特征方程特征方程).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnmmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.)(零點(diǎn)和極點(diǎn)零點(diǎn)和極點(diǎn)-2-31-1j零、極點(diǎn)分布圖零、極點(diǎn)分布圖22( ) =(3)(22)sG ssss 2.3.3 2.3.3 控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)及傳遞函

12、數(shù)環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件。裝置或元件。一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性共同一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性共同組成。組成。同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) (nominal (typical) element)這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸入不失真、不延遲、成比例地復(fù)這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸入不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。它的運(yùn)動(dòng)方程為現(xiàn)輸入信號(hào)。它的運(yùn)動(dòng)方程為 對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)是對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)是 式

13、中，式中， 是環(huán)節(jié)的輸出量；是環(huán)節(jié)的輸出量； 是環(huán)節(jié)的輸入量；是環(huán)節(jié)的輸入量；K為為常數(shù)。常數(shù)。KsGsRsC)()()()(tc)(tr)()(trKtc 1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)Proportional element (link)方框圖：方框圖：例例1：齒輪傳動(dòng)：齒輪傳動(dòng)例例2：運(yùn)算放大器：運(yùn)算放大器inu1R2Rou1i2i u u i該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，該環(huán)節(jié)的輸出量與其輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，即有即有對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為 tdrKtc0)()( sKsGsRsC )()()(2積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)Integral loop(link) 方框圖：方框圖：

14、積分環(huán)節(jié)具有積分環(huán)節(jié)具有記憶記憶功能和明顯的功能和明顯的滯后滯后作用作用例例1：積分調(diào)節(jié)器：積分調(diào)節(jié)器RCssUsUsGrc1)()()(慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量緩慢地反映輸入量的變化規(guī)律。它的微分方程為規(guī)律。它的微分方程為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為式中，式中，T是環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。是環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。d ( )( )( )dc tTc tK r tt1)()()( TsKsRsCsG3.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)Inertial loop(link) 例例1： RC慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入

15、信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成正比，即有正比，即有對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為 dttdrKtc)()( KssGsRsC )()()(4微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)derivative loop(link) 例例1： RC微分網(wǎng)絡(luò)微分網(wǎng)絡(luò)1 RCTTssG )(特點(diǎn)：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量不僅與輸入量本身有特點(diǎn)：這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)是對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)是 1)()()(TssGsRsC)()()(trdttdrTtc 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是，如輸入為一階躍信號(hào)，則其輸出這種環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是，如輸入

16、為一階躍信號(hào)，則其輸出成周期性振蕩形式。成周期性振蕩形式。式中，式中，T為時(shí)間常數(shù)為時(shí)間常數(shù);K為放大系數(shù)為放大系數(shù);為阻尼比，其值為阻尼比，其值為為01。由于該傳遞函數(shù)有一對(duì)位于。由于該傳遞函數(shù)有一對(duì)位于s左邊面的共軛左邊面的共軛極點(diǎn)，因而這種環(huán)節(jié)在階躍信號(hào)作用下，其輸出必必極點(diǎn)，因而這種環(huán)節(jié)在階躍信號(hào)作用下，其輸出必必然會(huì)呈現(xiàn)出振蕩性質(zhì)。然會(huì)呈現(xiàn)出振蕩性質(zhì)。12)()()(22TssTKsGsRsC222d( )d ( )2( )( )ddc tc tTTc tK r ttt5振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)oscillatory loop(link) 例例1： R-L-C電路電路11)()(2 RCsL

17、CssUsUrC)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)微分方程微分方程例例2：機(jī)械平移系統(tǒng)：機(jī)械平移系統(tǒng) 在有滯后作用的系統(tǒng)中，其輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的在有滯后作用的系統(tǒng)中，其輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的形狀完全相同，只是延遲一段時(shí)間后重現(xiàn)原函數(shù)。其形狀完全相同，只是延遲一段時(shí)間后重現(xiàn)原函數(shù)。其動(dòng)態(tài)方程為動(dòng)態(tài)方程為 它們之間的傳遞函數(shù)為它們之間的傳遞函數(shù)為 )()(trtc( )( )e( )sC sG sR s6.滯后環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié)lag /delay loop(link) 環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù))()(txtxrcsrcesXsXsG)()()(例例1：水箱進(jìn)水管的延滯：水箱進(jìn)水管的延滯sseekkkkdjjvcll