反三角函數(shù)大全

1、 反三角函數(shù)Inverse trigonometric functions第1節(jié) 反三角函數(shù)·概述原創(chuàng)/O客把反正弦函數(shù)y=arc sinx，反余弦函數(shù)y=arc cosx，反正切函數(shù)y=arc tanx，反余切函數(shù)y=arc cotx統(tǒng)稱為反三角函數(shù)。它們都是三角函數(shù)的反函數(shù)。嚴(yán)格地說，準(zhǔn)確地說，它們是三角函數(shù)在某個單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù)。以反正弦函數(shù)為例，其他反三角函數(shù)同理可推。反正弦的值域先從反正弦函數(shù)的原函數(shù)正弦函數(shù)說起。正弦函數(shù)y=sinx在定義域R上沒有反函數(shù)。因為它在定義域R上不單調(diào)，是分段單調(diào)。從逆向映射來看，正弦函數(shù)y=sinx的每一個函數(shù)值y，對應(yīng)著無數(shù)個自變量x的值

2、。當(dāng)我們從y=sinx中解出x后，x與y不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，所以不存在反函數(shù)。但是，當(dāng)我們?nèi)≌液瘮?shù)y=sinx的一個單調(diào)區(qū)間，如-/2,/2。這時，每一個函數(shù)值y，對應(yīng)著唯一的一個自變量x的值。當(dāng)我們從y=sinx中解出 x后，x與y構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，所以存在反函數(shù)。記為y=arc sinx。把原函數(shù)y=sinx,x-/2,/2的值域-1,1,叫做反函數(shù)y=arc sinx的定義域。并把原函數(shù)y=sinx,x-/2,/2的定義域-/2,/2,叫做反函數(shù)y=arc sinx的值域。請參考我的三角函數(shù)salon第2節(jié) 反三角函數(shù)·理解與轉(zhuǎn)化原創(chuàng)/O客以反正弦函數(shù)為例，其他反三角函數(shù)同理可推。

3、符號理解初學(xué)反三角函數(shù)者往往被它那長長的字符串所迷惑，很不習(xí)慣。一方面，arc sinx這七個字母是一個整體，缺一不可。另一方面，符號arc sinx可以用下面的三句話來理解：它是一個角。即一個實數(shù)。arc sinxR.這個角在-/2到/2之間(含端點)。-/2arc sinx/2。這個角的正弦值等于x。sin(arc sinx)=x.互化反三角函數(shù)問題往往要轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，因為后者擁有數(shù)十個公式資源，使你解決問題時如虎添翼。有互化公式（充要條件）如圖。=arc sinx x=sin|x|1 -請參考我的三角函數(shù)salon第3節(jié) 反正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)原創(chuàng)/O客函數(shù)名稱反正弦函數(shù)解析式y(tǒng)=

4、arc sinx圖象反正弦曲線（圖3）1.定義域-1,12.值域-/2, /23.有界性|y|/24.最值x=1時，y max=/2x=-1時，y min=-/25.單調(diào)性增函數(shù)6.奇偶性奇函數(shù).7.周期性無8.對稱性關(guān)于原點對稱9.反函數(shù)y=arc sinx，x-/2, /210.與反余弦的關(guān)系 arc sinx+arc cosx=/2請參考我的三角函數(shù)salon第4節(jié) 反余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)原創(chuàng)/O客函數(shù)名稱反余弦函數(shù)解析式y(tǒng)=arc cosx圖象反余弦曲線（如圖）1.定義域-1,12.值域0, 3.有界性0y4.最值x=-1時，y max= x=1時，y min=05.單調(diào)性減函數(shù)6.奇

5、偶性非奇非偶函數(shù)7.周期性無8.對稱性 對稱中心(0, /2)9.反函數(shù)y=cosx, x0, 10.與反正弦的關(guān)系arc sinx+arc cosx=/2請參考我的三角函數(shù)salon1O函數(shù) y=arc cosx的圖象yxy=arc cosx-1第5節(jié) 反正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)原創(chuàng)/O客函數(shù)名稱反正切函數(shù)解析式y(tǒng)=arc tanx圖象反正切曲線（如圖）1.定義域R2.值域(-/2, /2)3.有界性|y|</24.最值無5.單調(diào)性增函數(shù)6.奇偶性奇函數(shù)7.周期性無8.對稱性 關(guān)于原點對稱9.漸近線 y=±/210.反函數(shù)y=tanx, x(-/2, /2) 11.與反余切的關(guān)系

6、arc tanx+arc cotx=/2請參考我的三角函數(shù)salonO函數(shù) y=arc tanx的圖象yxy=arc tanx-第6節(jié) 反余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)原創(chuàng)/O客函數(shù)名稱反余切函數(shù)解析式y(tǒng)=arc cotx圖象反余切曲線（如圖）1.定義域R2.值域(0, )3.有界性0<y<4.最值無5.單調(diào)性減函數(shù)6.奇偶性奇函數(shù)7.周期性無8.對稱性 對稱中心(0, /2)9.漸近線 y=0，y=10.反函數(shù)y=cotx, x(0, ) 11.與反正切的關(guān)系arc tanx+arc cotx=/2請參考我的三角函數(shù)salonO函數(shù) y=arc cotx的圖象yxy=arc cotx第7節(jié)

7、 用反三角函數(shù)表示角原創(chuàng)/O客已知某一個角的三角函數(shù)值，如何表示這個角？以反正弦函數(shù)為例，其他反三角函數(shù)同理可推。一個銳角至少有等價的四種表達(dá)式不妨，以直角三角形的銳角為例。直角三角形ABC中，a=3,b=4,c=5,則A=arc sin(3/5), A=arc cos(4/5)A=arc tan(3/4), A=arc cot(4/3)已知三角函數(shù)值表示角，要特別注意角的范圍例如，已知sin=1/3,由正弦函數(shù)線（見salon(6)）或者正弦曲線（見salon(20)）,可得若是銳角，則= arc sin(1/3).若0, ，則= arc sin(1/3) 或=-arc sin(1/3).若

8、0, 2），則= arc sin(1/3) 或=-arc sin(1/3)。若是第1象限角，則= 2k+arc sin(1/3),kZ.若R，則=2k+arc sin(1/3), 或=2k+-arc sin(1/3), kZ，可以合并為=2k+(-1)k *arc sin(1/3), kZ請參考我的三角函數(shù)salon第8節(jié) 三角方程原創(chuàng)/O客三角函數(shù)的自變量中含有未知數(shù)，含有這樣的三角函數(shù)的方程叫三角方程。一般地，一個較復(fù)雜三角方程的解集往往都是幾個最簡三角方程的解集的并集。三角方程都要轉(zhuǎn)化為最簡三角方程來解。最簡三角方程的解法是三角方程解法的基礎(chǔ)。最簡三角方程的解集1.sinx=a (|a|1)的解集是x|x=k+(-1)k arc sina, kZ2.cosx=a (|a|1)的解集是x|x=2k± arc cosa, kZ3. tanx=a的解集是x|x=k+arc tana, kZ4. cotx=a的解集是x|x=k+arc cota, kZ以三角方程sinx=a (|a|1)為例，說一說記憶和應(yīng)用 。最簡三角方程的解集不要死記硬背，要借助函數(shù)線和圖象記憶，如圖。靈活應(yīng)用。形如sin(x+)=a (|a|1),則x+=k+(-1)k arc si