第十章 定態(tài)問題的常用近似s

1、第十章第十章 定態(tài)問題的常用近似方法定態(tài)問題的常用近似方法 在量子力學(xué)中，體系的能級和定態(tài)波函在量子力學(xué)中，體系的能級和定態(tài)波函 數(shù)可以通過求解定態(tài)數(shù)可以通過求解定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程得到。方程得到。 但除了少數(shù)體系外但除了少數(shù)體系外, ,大多數(shù)問題不能嚴(yán)格求大多數(shù)問題不能嚴(yán)格求 解，而必須采用近似方法。例如微擾論，變解，而必須采用近似方法。例如微擾論，變 分法等。各種近似方法都有其優(yōu)缺點和適用分法等。各種近似方法都有其優(yōu)缺點和適用 范圍，其中應(yīng)用最廣泛的就是范圍，其中應(yīng)用最廣泛的就是微擾論微擾論。 設(shè)體系不顯含時間的設(shè)體系不顯含時間的Hamilton為為 ,能量能量

2、 本征方程為本征方程為 (A) 在一般情形下，要嚴(yán)格求解這個方程是困難在一般情形下，要嚴(yán)格求解這個方程是困難 的，但是如果的，但是如果 可以分成兩部分可以分成兩部分 (B) 其中其中 的本征值及本征函數(shù)是已知的，或的本征值及本征函數(shù)是已知的，或 者容易解出。而另一部分者容易解出。而另一部分 很小，可以看作很小，可以看作HHE00HHHHW0HHH是加于是加于 上的微擾。其中上的微擾。其中 往往是刻畫某種相往往是刻畫某種相互作用強(qiáng)度的參數(shù)，是一個小量，即互作用強(qiáng)度的參數(shù)，是一個小量，即 ， 稱為微擾。假設(shè)稱為微擾。假設(shè) 的本征值及本征函數(shù)較的本征值及本征函數(shù)較容容易解出易解出，或已有，或已有現(xiàn)成

3、的解現(xiàn)成的解(不論如何得到的不論如何得到的)，則可以在這個基礎(chǔ)上，把微擾則可以在這個基礎(chǔ)上，把微擾 的影響逐級考的影響逐級考慮進(jìn)去，以得出方程慮進(jìn)去，以得出方程(I)的盡可能接近于精確解的盡可能接近于精確解的近似解。的近似解。 微擾論的具體形式是多種多樣的，但基本微擾論的具體形式是多種多樣的，但基本精神相同，即精神相同，即逐級近似逐級近似。0H|1H0HH10.1 10.1 非簡并微擾論非簡并微擾論 10.1.1 10.1.1 一般公式一般公式 設(shè)設(shè) (1)(1)已解出，它的能級有一些是已解出，它的能級有一些是非簡并非簡并的，也的，也可能可能有一些是有一些是簡并簡并的的( (例如，中心力場中粒

4、子的基例如，中心力場中粒子的基態(tài)是非簡并的，而激發(fā)態(tài)則大多是簡并的態(tài)是非簡并的，而激發(fā)態(tài)則大多是簡并的) )。在本節(jié)中，我們將討論在本節(jié)中，我們將討論非簡并的能級非簡并的能級怎樣受到怎樣受到微擾的影響，所以在式微擾的影響，所以在式(1)(1)中，簡并量子數(shù)并中，簡并量子數(shù)并沒有明顯的表達(dá)出來。沒有明顯的表達(dá)出來。 我們按逐步近似的精神來求解我們按逐步近似的精神來求解SchrSchrdingerdinger方程方程(A)(A)。為此，將受微擾的能級和波。為此，將受微擾的能級和波函數(shù)視函數(shù)視為為 的的函數(shù)，并展為函數(shù)，并展為 的冪級數(shù)如下：的冪級數(shù)如下：(0)(0)(0)0nnnHE 式中式中 ，

5、 是零級近似解。把是零級近似解。把(2),(3)式代入式代入 (A)式中，得到式中，得到 等式兩邊同次冪的等式兩邊同次冪的 系數(shù)值應(yīng)相等系數(shù)值應(yīng)相等, ,故有故有(0)(1)2(2) (0)(0)E(0)(1)2(2)0(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)()()() ()nHWEEE (3)(0)(1)2(2)EEEE(2) 以下逐級求解。以下逐級求解。 0 ：(0)(0)(0)0HE1 ：(1)(0)(0)(1)(1)(0)(00)(1)(1)(0)0)()HWEHEEWE( 或2 ：(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0(0)(2)0)(1)(1)(2)(0)0()()HEE

6、WEHWEEE或(4 )a(4 )b(4 )c 首先不考慮微擾的時候首先不考慮微擾的時候,體系處于體系處于 非簡并非簡并 能級能級 ,即即 (5) (k選定，它可以是任一非簡并態(tài)選定，它可以是任一非簡并態(tài)),相應(yīng)的波函相應(yīng)的波函 數(shù)為：數(shù)為： (6) 一級近似解一級近似解 令令 (7)(7)(0)(0)kEE(0)(0)k(1)(1)(0)nnna0H(0)kE 把式把式(5),(6),(7)代入代入(4b)，得，得 兩邊左乘兩邊左乘 并積分，利用并積分，利用 的本征函數(shù)的正的本征函數(shù)的正 交歸一性，可得交歸一性，可得 (8) 其中：其中： 式式(8)中，當(dāng)中，當(dāng)m=k時，得時，得(1)(0)

7、(0)(0)(0)(1)(0)(1)(0)nnnkknnknna EWEaE(0)m0H(1)(0)(0)(1)(1)mmmkkmmka EWEaE(0)(0)(,)mkmkWW (9) 即即能量的一級修正能量的一級修正，它是，它是微擾微擾在在零級波零級波函數(shù)下的平均值。函數(shù)下的平均值。 式式(8)(8)中中, ,當(dāng)當(dāng)mkmk時，得：時，得： (mk) (10)(mk) (10) 至于至于 , ,可以證明可以證明, ,可以取值為零。因此在一可以取值為零。因此在一 級近似下：級近似下：(1)(0)(0)(,)kkkkEWW(1)(0)(0)mkmkmWaEE(1)ka(1)E (11a) (11

8、b) 應(yīng)當(dāng)注意，這里是討論非簡并能級應(yīng)當(dāng)注意，這里是討論非簡并能級 及相及相 應(yīng)波函數(shù)應(yīng)波函數(shù) 如何受到微擾的影響。如何受到微擾的影響。 是指對是指對 一切一切n(n k)的相應(yīng)能級和量子態(tài)求和，的相應(yīng)能級和量子態(tài)求和， 既可既可 以是非簡并的，也可以是有簡并的，在后一種以是非簡并的，也可以是有簡并的，在后一種 情況下，情況下， 表示要對屬于表示要對屬于 的所有簡并態(tài)求和的所有簡并態(tài)求和, 這在這在(11b)式中未明顯標(biāo)記出來。式中未明顯標(biāo)記出來。 (0)(0)kkkkkkkEEWEH(0)(0)(0)(0)nkkknnknHEE(0)kE(0)knnEnnE 二級近似解二級近似解 令：令：

9、(12) 代入式代入式(4c)中，并利用式中，并利用式(5),(6)及一級近似解，及一級近似解， 可得可得 等式兩邊左乘等式兩邊左乘 ，并積分，得，并積分，得(2)(2)(0)nnna(2)(0)(0)(1)(0)(0)(2)(0)(1)(0)(2)(0)nnnnnnnknnkknnknnaEWaEaWaE(0)m 當(dāng)當(dāng) m=k m=k 時，上式給出（考慮到時，上式給出（考慮到 ） 因此，在準(zhǔn)確到二級近似下，能量本征值為：因此，在準(zhǔn)確到二級近似下，能量本征值為： (14)(14)(2)(0)(1)(0)(2)(1)(2)mmnmnkmkkmmknaEa WEaW aE2(2)(1)(0)(0)

10、(0)(0)|nkknnknknnnnknknW WWEa WEEEE 2(0)2(0)(0)2(0)(0)(0)|nkkkkknknnkkkkknknWEEWEEHEEHEE(1)0ka 公式公式(11b)及及(14)是非簡并微擾論中最常用到的是非簡并微擾論中最常用到的 基本公式，微擾對波函數(shù)的修正基本公式，微擾對波函數(shù)的修正,通常計算到一通常計算到一級，而對能量的修正，則計算到二級。從公式級，而對能量的修正，則計算到二級。從公式(11b)及及(14)可以看出，若在可以看出，若在 能級鄰近，有另能級鄰近，有另外一條或幾條能級存在外一條或幾條能級存在(近簡并情況近簡并情況)，則，則上列公上列公

11、式不大合用式不大合用, ,需要用另外方法來處理需要用另外方法來處理(見下節(jié)見下節(jié))。在二級近似下，波函數(shù)可以表示為在二級近似下，波函數(shù)可以表示為 (0)kE(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)22(0)(0)(0)2()()()()12()nkkknnknmnnkmkkkmmnkmknkmnkknknHEEHHHHEEEEEEHEE 其中最后一項可利用歸一化條件（準(zhǔn)確到二級近似）得出，它可與零級近似波函數(shù)合并，剩下的二級修正波函數(shù)部分與(0)k正交。討論討論(a) 用微擾論處理具體問題的同時，要恰當(dāng)?shù)倪x用微擾論處理具體問題的同時，要恰當(dāng)?shù)倪x 取取 。在有的問題中，

12、。在有的問題中， 和和 的劃分是很的劃分是很 顯然的，例如在顯然的，例如在StarkStark效應(yīng)和效應(yīng)和ZeemanZeeman效應(yīng)中效應(yīng)中 分別把外電場和外磁場的作用看成微擾。分別把外電場和外磁場的作用看成微擾。 但但 在有些問題中，特別是在某些模型理論計算在有些問題中，特別是在某些模型理論計算 中中, 往往根據(jù)如何使計算簡化來決定往往根據(jù)如何使計算簡化來決定 和和 的劃分，同時兼顧計算結(jié)果的精確度的劃分，同時兼顧計算結(jié)果的精確度。0HH0H0HH 即一方面要求即一方面要求 的本征值的計算比較容易的本征值的計算比較容易, 或或 的的 本征解已知本征解已知(不管它是怎樣求出的不管它是怎樣求出

13、的)， 還要求還要求 的矩陣元的計算也較容易。另一方的矩陣元的計算也較容易。另一方 面，又要求面，又要求 的主要部分盡可能包含在的主要部分盡可能包含在 中，使中，使 的矩陣元比較小，以保證的矩陣元比較小，以保證 使微擾論計算收斂較快，因為高級微擾修正使微擾論計算收斂較快，因為高級微擾修正 的計算是很麻煩的。的計算是很麻煩的。0H0H0HHHH(0)(0)1nkknHEE (b) 計算中，要充分利用計算中，要充分利用 的對稱性以及相的對稱性以及相 應(yīng)的選擇定則，以省掉一些不必要的計算。應(yīng)的選擇定則，以省掉一些不必要的計算。(c) 從從(11b),(14),(16)各式可以看出，如在各式可以看出，

14、如在 的近的近 鄰有一條或幾條其他能級鄰有一條或幾條其他能級(即近簡并情況即近簡并情況)，則，則 上述微擾論也不大適用。需用其他辦法來處上述微擾論也不大適用。需用其他辦法來處 理理(見見10.2.3的討論的討論)。 H(0)kE 10.1.2 10.1.2 電介質(zhì)的極化率電介質(zhì)的極化率 考慮各相同性電介質(zhì)在外電場作用下的極考慮各相同性電介質(zhì)在外電場作用下的極 化現(xiàn)象。當(dāng)沒有外電場作用時，介質(zhì)中的粒子化現(xiàn)象。當(dāng)沒有外電場作用時，介質(zhì)中的粒子 在其平衡位置附近作小振動，可視為簡諧運(yùn)動。在其平衡位置附近作小振動，可視為簡諧運(yùn)動。 設(shè)沿設(shè)沿x x方向加上以均勻外電場方向加上以均勻外電場 ，對帶電，對帶

15、電 q q 的離子，的離子，HamiltonHamilton量為量為 (19)(19)222202122dHmxqxm dx EE 因為外電廠沿因為外電廠沿 x 方向，對方向，對y，z方向的振動不發(fā)方向的振動不發(fā) 生影響，故略去不加討論，取生影響，故略去不加討論，取 (20) (21) 即諧振子即諧振子Hamilton量量,其本征函數(shù)為其本征函數(shù)為(見見3.4節(jié)節(jié)) (22) 為歸一化常數(shù)。相應(yīng)的能量本征值為為歸一化常數(shù)。相應(yīng)的能量本征值為2222002122dHmxm dxHqx E0H(0)220( )exp(1 2)()/nnnxNa xHaxam nN （23）利用公式利用公式 (24

16、)可求出可求出(0)0,1,11,0,1,2,21122nnkn kn kEnnkkxa2(0)(0)(0)22200222201,1,0|()|12()1| 2nkkkkkkknknnknkkkkHEEHHEExqkknqkxx注意：=0 EE (25) 即所有能級都下降了即所有能級都下降了 ，這對于能譜，這對于能譜 形狀形狀(均勻分布均勻分布)并無影響，但波函數(shù)將發(fā)生變并無影響，但波函數(shù)將發(fā)生變 化，一級微擾近似波函數(shù)為化，一級微擾近似波函數(shù)為 (26)22020122qkm E202qmE(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)110( )( )11 ( )( )( )22nkkknn

17、knkkkHxxEEqkkxxx E 既原來零級波函數(shù)既原來零級波函數(shù) 中，混進(jìn)了與它鄰近的兩中，混進(jìn)了與它鄰近的兩 條能級的波函數(shù)條能級的波函數(shù) 。 在不加外場時，在具有確定宇稱的在不加外場時，在具有確定宇稱的 態(tài)下態(tài)下, 粒子位置的平均值：粒子位置的平均值： 這是很自然的這是很自然的 , 因為本來我們的坐標(biāo)原點就取在因為本來我們的坐標(biāo)原點就取在 諧振子的平衡位置。當(dāng)加上外電場時諧振子的平衡位置。當(dāng)加上外電場時 , 粒子平衡粒子平衡 位置將發(fā)生偏離位置將發(fā)生偏離,用式用式(26)既既(24)不難求出：不難求出：(0)k(0)1k(0)k(0)(0)(,)0kkxx(,)kkxx (27) 即

18、平衡位置偏離了即平衡位置偏離了 。正離子沿電場方向。正離子沿電場方向 挪了挪了 ，而負(fù)離子則沿電場反方向挪，而負(fù)離子則沿電場反方向挪 動了動了 。因此，由于外點場而產(chǎn)生的。因此，由于外點場而產(chǎn)生的 電偶極矩為電偶極矩為 (28),1,12 22 k kk kqkkxxqm 0201+1 EEqm20E|qm20E|qm20E2202022qDqqmmEE 極化率定義為極化率定義為 ，則極化率為，則極化率為 (29) 討論：討論： 本題可嚴(yán)格求解，并可以與微擾論計算結(jié)本題可嚴(yán)格求解，并可以與微擾論計算結(jié) 果比較。在果比較。在SchrdingerSchrdinger方程方程 (30) (30) 中

19、，令中，令 (31)(31)DE2202q20m222202122dmxqxEm dxE0axam ， 則則 (32)(32) 再令再令 (33)(33) (34) (34) (35) (35) 則則 (36)(36)22200022dqEdm E000qmE02002E2220dd 式式(36)與諧振子的能量本征方程完全相同與諧振子的能量本征方程完全相同見見 3.3 3.3 式式(6)(6)。只當(dāng)。只當(dāng) 時時,才才 能得到在全空間有界的解，即能量可能取為能得到在全空間有界的解，即能量可能取為 (37)(37) 與微擾論計算結(jié)果式與微擾論計算結(jié)果式(22)(22)完全相同。相應(yīng)的本完全相同。相應(yīng)的本 征函數(shù)為征函數(shù)為 21(0,1,2,)nn2000220201122122nEnq Enm (38)(38) 其中其中 是有外電場是有外電場 的情況下，諧振子的新的平衡點的情況下，諧振子的新的平衡點 的位置。與式的位置。與式(27)的結(jié)果式完全相同的。當(dāng)然，的結(jié)果式完全