數(shù)值分析總結(jié)

1、數(shù)值分析復(fù)習(xí)總結(jié)任課教師 王建國 第二章 數(shù)值分析基本概念教學(xué)內(nèi)容： 1. 誤差與有效數(shù)字誤差、誤差限、相對誤差、相對誤差限和有效數(shù)字的定義及相互關(guān)系；誤差的來源和誤差的基本特性；誤差的計算（估計）的基本方法。 2. 算法的適定性問題數(shù)值分析中的病態(tài)和不穩(wěn)定性問題；病態(tài)問題和不穩(wěn)定算法的實例分析。3. 數(shù)值計算的幾個注意問題 數(shù)值計算的基本概念l 誤差概念和分析誤差的定義：設(shè)x是精確值，p是近似值，則定義兩者之差是絕對誤差: 由于精確值一般是未知的,因而不能求出來,但可以根據(jù)測量誤差或計算情況估計它的上限相對誤差定義為絕對誤差與精確值之比l 誤差的來源：舍入誤差將無限位字長的精確數(shù)處理成有限位

2、字長近似數(shù)的處理方法稱為舍入方法。帶來舍人誤差。截斷誤差用數(shù)值法求解數(shù)學(xué)模型時，往往用簡單代替復(fù)雜,或者用有限過程代替無限過程所引起的誤差。 l 有效數(shù)字對于a=a0 a1 am . am+1 am+n(a00)的近似數(shù)， 若|0.5x10-n，則稱a為具有m+n+1位有效數(shù)字的有效數(shù)，其中每一位數(shù)字都叫做a的有效數(shù)字。有效數(shù)和可靠數(shù)的最末位數(shù)字稱為可疑數(shù)字有效數(shù)位的多少直接影響到近似值的絕對誤差與相對誤差的大小。推論1 對于給出的有效數(shù)，其絕對誤差限不大于其最末數(shù)字的半個單位。推論2 對于給出的一個有效數(shù)，其相對誤差限可估計如下：例:計算y = ln x。若x » 20，則取x的幾

3、位有效數(shù)字可保證y的相對誤差 < 0.1% ?l 數(shù)值計算的算法問題“良態(tài)”問題和“病態(tài)”問題在適定的情況下，若對于原始數(shù)據(jù)很小的變化X，對應(yīng)的參數(shù)誤差y也很小，則稱該數(shù)學(xué)問題是良態(tài)問題；若y很大，則稱為病態(tài)問題。病態(tài)問題中解對于數(shù)據(jù)的變化率都很大，因此數(shù)據(jù)微小變化必將導(dǎo)致參數(shù)模型精確解的很大變化。數(shù)學(xué)問題的性態(tài)完全取決于該數(shù)學(xué)問題本身的屬性，在采用數(shù)值方法求解之前就存在，與數(shù)值方法無關(guān)。穩(wěn)定算法和不穩(wěn)定算法如果用數(shù)值方法計算時,誤差在計算過程中不擴散的算法稱為穩(wěn)定算法。否則稱為不穩(wěn)定算法。l 數(shù)值計算應(yīng)注意的問題避免相近二數(shù)相減；避免小分母；避免大數(shù)吃小數(shù)；選用穩(wěn)定的算法。絕對誤差的運

4、算：第三章 線性方程組求解的數(shù)值方法教學(xué)內(nèi)容：1. 高斯消元法消元法的實現(xiàn)過程；主元問題。2. 矩陣分解矩陣LU分解的一般計算公式；利用LU分解的線性方程組求解方法；Cholesky分解；Matlab的Cholesky分解函數(shù)。3. 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)向量范數(shù)及其性質(zhì)；矩陣函數(shù)及其性質(zhì)；常用范數(shù)形式。4. 線性方程組的迭代法求解迭代求解的思路；Jacobi迭代法；高斯_賽德爾迭代法；迭代法的收斂性。 5. 方程組的病態(tài)問題與誤差分析線性方程組解的誤差分析；條件數(shù)和方程組的病態(tài)性。消元法：問題：消去法是按照系數(shù)矩陣的主對角線上的元素（主元）進行消元。從而可能出現(xiàn)：（1）某個主元為零，導(dǎo)致消元過程

5、無法進行。（2）當(dāng)某個主元的絕對值很小時，計算結(jié)果誤差很大。定理：若A的所有順序主子式 均不為0，則高斯消元無需換行即可進行到底，得到唯一解。全主元消去法每一步選絕對值最大的元素為主元素。列主元消去法省去換列的步驟，每次僅選一列中最大的元。矩陣三角分解法 計算公式：算法：Cholesky分解：定理：設(shè)矩陣A對稱正定，則存在非奇異下三角陣L使得 。若限定L對角元為正，則分解唯一。Matlab中的Cholesky分解函數(shù)：chol（）向量和矩陣的范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代法的收斂性，引進向量（矩陣）的范數(shù)的概念。向量范數(shù)定義：空間的向量范數(shù) | · | 對任意 滿足下列

6、條件：(齊次性) （三角不等式)（正定性)常用范數(shù)：矩陣范數(shù)定義：空間的向量范數(shù) | · | 對任意 滿足下列條件： (4)* | AB | £ | A | · | B |常用矩陣范數(shù)：Frobenius范數(shù)：由向量范數(shù) | · |p導(dǎo)出關(guān)于矩陣 A Î Rn´n的p范數(shù):特別有：（行和范數(shù)）（列和范數(shù)）（譜范數(shù) ）譜半徑：矩陣A的譜半徑記為r (A) =，其中l(wèi)i為A的特征根。定理：對任意算子范數(shù) | · | 有定理：若A對稱，則有定理：若矩陣B對某個算子范數(shù)滿足 |B| < 1，則必有解線性方程組的迭代法 研究內(nèi)容

7、：l 如何建立迭代公式？ l 收斂速度？l 向量序列的收斂條件？l 誤差估計？思路：收斂問題：雅可比(Jacobi)迭代法高斯塞德爾迭代法迭代法的收斂性譜半徑小于1. 迭代法的誤差估計：誤差分析：問題的提出：l b有擾動，A無擾動l A有擾動，b有擾動l A有擾動，b有擾動定義：條件數(shù): cond(A) = |A-1 | |A|條件數(shù)的性質(zhì)： 結(jié)論：當(dāng)條件數(shù)很大時,方程組 Ax = b是病態(tài)問題;當(dāng)條件數(shù)較小時,方程組 Ax = b是良態(tài)問題。第四章 函數(shù)的數(shù)值逼近1. 代數(shù)多項式插值問題插值多項式的存在唯一性；插值基函數(shù)和插值多項式的一般形式；插值的誤差分析；多項式插值的Runge現(xiàn)象。2.

8、 分段低次插值分段線性插值；Hermite插值和分段Hermite插值。3. 三次樣條插值樣條插值的定義；三次樣條函數(shù)的計算；Matlab中的插值函數(shù)。4. 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法法；多項式擬合方法；Matlab中的多項式擬合函數(shù)；5. 最佳平方逼近權(quán)內(nèi)積；正交多項式的最佳平方逼近。插值問題：函數(shù)解析式未知，或計算復(fù)雜，用函數(shù)p(x)去近似代替它，使得p(xi)= yi (i=0,1,2,n) 函數(shù)p(xi)稱為插值函數(shù)。 x0,x1, xn稱為插值節(jié)點或簡稱節(jié)點。 插值節(jié)點所界的區(qū)間稱為插值區(qū)間。 p(xi)= yi 稱為插值條件。多項式的插值問題構(gòu)造n次多項式Pn(x)=

9、 a0 + a1x + a2x2+ anxn使?jié)M足 Pn(xi)= yi (i=0,1,2,n)，討論的主要內(nèi)容：l 如何求出插值函數(shù)；l 插值函數(shù)的存在性；l 收斂性和誤差估計。拉格朗日插值插值多項式的存在唯一性：結(jié)論通過n+1個節(jié)點的n階插值多項式唯一存在。一次基函數(shù) 二次基函數(shù)拉格朗日插值多項式的一般形式：插值公式：插值的誤差分析：分段低次插值分段線性插值收斂性：埃爾米特插值 利用拉格朗日插值基函數(shù)得到Hermite插值的余項三次樣條插值第五章 數(shù)值積分1. 插值型求積公式線性和二次求積公式；求積公式的代數(shù)精度；求積公式的誤差分析；復(fù)合求積公式；高斯求積公式；MATLAB中的數(shù)值積分函數(shù)

10、。2. 積分方程的數(shù)值求解積分方程的數(shù)值求解的思路分析；積分方程的數(shù)值求解方法介紹。n次代數(shù)精度 對于任意不超過n次的代數(shù)多項式都準(zhǔn)確成立, 而對某一個m+1次代數(shù)多項式不成立,。梯形公式 辛普森公式：復(fù)化梯形公式 截斷誤差：， M2復(fù)化辛普森公式 截斷誤差： ½RNf½，高斯求積公式定義 高斯點的確定方法 Matlab 積分函數(shù)函數(shù)名功能quad采用Simpson計算積分。精度高，較常用quad8采用8樣條Newton-Cotes公式計算積分。精度高，最常用trapz采用梯形法計算積分。精度差，速度快積分方程的數(shù)值求解求解思路用數(shù)值積分代替積分第六章 常微分方程初值問題1. 求解方法歐拉方法；龍格庫塔方法2. 穩(wěn)定性與收斂性分析歐拉公式： 局部截斷誤差是O(h2). 改進歐拉公式： 或表示成： 平均形式： 局部截斷誤差是O(h3). 龍格庫塔方法 第七章 非線性方程求解 教學(xué)內(nèi)容：1. 二分法2. 收斂性分析3. 牛頓法二分法：1. 準(zhǔn)備： 計算端點值 f(