勾股定理地證明方法

1、勾股定理的證明【證法1】（課本的證明）baaaabbbaaccbba做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即4 -ab整理得b2【證法2】（鄒元治證明）c的以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積 等于2ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀， 使A、E、B三點在一條直線上，B、F、 C三點在一條直線上，C G D三點在一條直線上.v Rt HAE 坐 Rt EBF, / AHE = / BEF

2、v / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四邊形EFGH是一個邊長為 正方形.它的面積等于c2.v Rt GDH坐 Rt HAE, / HGD = / EHAv / HGD + / GHD = 98, / EHA + / GHD = 98.又v / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于 a2 12a b 4 ab c222 2. a b c .【證法3】（爽證明）以a、b為直角邊（ba）,以c為斜邊作四個全等的直角三角形

3、，則每個直角1 ab三角形的面積等于2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀v Rt DAH坐 Rt ABE, / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.v EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90o.2 EFGH是一個邊長為ba的正方形，它的面積等于 b a .4 丄 ab b a 2 c2 2 . a2 b2 c2.【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面E、B三

4、點在一條直線上.1ab積等于2.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使v Rt EAD 坐 Rt CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是 一個等腰直角三角形，1 2 c它的面積等于2.又 v / DAE = 90o, / EBC = 90o, AD/ BC1 b 2 ABCD是 一個直角梯形，它的面積等于 21 1 22 ab c2 22c .（梅文鼎證明）1a 2b25】 a2【證法a、b，斜邊長為c.把它 過C作AC的延長線交DF于做四個全等的直角三角

5、形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 們拼成如圖那樣的一個多邊形，使 D E、F在一條直線上. 點P八、v D、E、F在一條直線上，且Rt GEF幻Rt EBD, / EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90, / BED + / GEF = 90, / BEG =18(090o= 90o.又T AB = BE = EG = GA = c ,baGcEPQibcDaAc Ba bH ABEG是一個邊長為c的正方形. / ABC + / CBE = 90o.t Rt ABC 芻 Rt EBD, / ABC = / EBD / EBD + / CBE = 90o.即/ CBD= 9

6、0).又T / BDE = 90o,/ BCP = 90o,BC = BD = a . BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCB的面積為S,則2 2S21 ,abab,122 cS2ab2222abc【證法6】（項明達(dá)證明）a、b （ba），斜邊長為使 E、A、C三點在一條做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形， 直線上.E過點Q作QP/ BC交AC于點P.過點B作BML PQ垂足為M；再過點F作FNL PQ垂足為Nt / BCA = 90o , QP/ BC / MPC =

7、98,t BM 丄 PQ / BMP = 90o, BCPM是一個矩形，即/ MBC = 90zqT / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, / QBM = / ABC又 t / BMP = 90o , Z BCA = 90o , BQ = BA = c , Rt BMQ坐 Rt BCA 同理可證Rt QNF坐Rt AEF從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 H C B三點 在一條直線上，連結(jié)GBF CD 過 C作 CL DE

8、交AB于點M交DE于點 L.v AF = AC , AB = AD, /FAB = / GAD FAB 坐 GAD1 2av FAB的面積等于2, GAD的面積等于矩形ADLM 的面積的一半，矩形ADLM勺面積二a2.同理可證，矩形 MLEE的面積二b2.v正方形ADEB勺面積=矩形ADLM勺面積+矩形MLEB勺面積.c2 a2 b2，即 a2 b2 c2.【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在Rt ABC中，設(shè)直角邊AC BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過 點C作CDL AB垂足是D在厶 ADCFM ACB中,v / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / B

9、AC ADCs AACBAD： AC = AC : AB,即 AC2 AD ? AB .同理可證， CDBs ACB從而有 BC BD?AB. AC2 BC2 AD DB ? AB AB2，即 a2 b2 c2.【證法9】（作玫證明）做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b （ba）,斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作AF丄AC, AF交GT于F, AF交DT于R.過B作BP丄AF,垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為DaHP4536ccQ8 R1 c9 c 2E, DE交 AF于 Hv / BAD = 90o,Z PAC = 9

10、0o, / DAH = / BAC又 v / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c , Rt DHA坐 Rt BCA DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一個矩形, 所以 Rt APB 坐 Rt BCA 即 PB = CA = b , AP= a,從而 PH = b a.v Rt DGT 坐 Rt BCA ,Rt DHA坐 Rt BCA Rt DGT坐 Rt DHA. DH = DG = a，/ GDT = / HDA. 又 / DGT = 90o,/ DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = /

11、HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一個邊長為a的正方形. GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一個直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b a) 用數(shù)字表示面積的編號(如圖)，則以c為邊長的正方形的面積為c2 SiS2S3S4S5.S8S3S4-bb a ? a b a2S5S8S9 S3S4b2-ab2S8= b2 S1S8把代入，,得c2SiS2b2SiS8 S8S92=b S2 S9 = b2a2a2 b2c2b21ab【證法10(銳證明)設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b(ba)，斜邊的長為

12、c.做三個邊長分別為a、 b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 A E、G三點在一條直線上.用數(shù)字表示面積的編號（如圖）.v / TBE = / ABH = 90o, / TBH = / ABE又 v / BTH = / BEA = 90o,BT = BE = b , Rt HBT 坐 Rt ABE HT = AE = a . GH = GT HT = b a.又 v / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH +v DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o, Rt HGF坐 Rt BDC 即 S7 S2.過 Q作

13、QML AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM.又 Rt HBT 幻 Rt ABE 所以 Rt HBT 幻 Rt QAM.即 S8 S5.由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE/ AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,/ AQM = / BAE / FQM = / CAR2c2即 a2b2又:/ QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a, Rt QMF坐 Rt ARC

14、即 S4 S6.2vcS1S222S3 S4S5 ， aS1 S6 ， bS3 S7S8 ，又v S7S2，S8S5 ， S4S6 ，2ab2S1S6S3S7S8=S1S4S3S2S5【證法 11】（利用切割線定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b，斜邊AB = c.如圖，以B為圓心a為半 徑作圓，交AB及AB的延長線分別于 D E,貝S BD = BE = BC = a .因為/ BCA = 90o, 點C在。B上，所以ACM B的切線.由切割線定理，得2AC2 AE ?AD= AB BE AB BDc2a2即 b2 c2 a2 ，a2b2c2【證法 12】（利

15、用多列米定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC= a, AC= b,斜邊AB = c （如圖）.過點A作AD/ CB 過點B作BD/CA則ACBD為矩形，矩形ACBD接于一個圓.根據(jù)多列米定理，圓接四邊 形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有AB?DCAD ?BCAC?BD ，v AB =DC =c，AD =BC = a ，AC =BD =b，AB2BC2AC2，即c2 a2 b2a2 b2 c2 .【證法 13】（作直角三角形的切圓證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b，斜邊 AB = c.作Rt ABC的切圓 O, 切點分別為D E、F （如圖），設(shè) O的半徑為

16、r.v AE = AF , BF = BD, CD = CE, AC BC AB AE CE BD CD AF BFCE CD = r + r = 2r,又bbbb2S ABC2abc2r22rc.2r2ab-ab2 ,4S ABCrc1cr21ar21 1bra b c r2=2=2r c c r22= r2.4 r2rc4S ABC.4 r2rc2ab.a2b22ab 2ab c2【證法14】（利用反證法證明）SSAOCrcAOB1S ABCS BOCa2b2c2a、AC BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過如圖，在Rt A ABC中，設(shè)直角邊點C作CDL AB垂足是D假設(shè)a2 b

17、2 c2，即假設(shè)AC2 BC2 AB2，則由AB2 AB?AB = ABAD bd =ab?AD AB?BD可知 AC2 AB?AD，或者 BC2 AB ?BD .即 AD: AO AC AB,或者 BD: BO BC AB 在 A ADC和 A ACB中,v / A = / A,若 AD: AO AG AB/ AD字/ ACB在 A CDB和 A ACB中,v / B = / B,若 BD BC BC AB,貝S/ CDBZ ACB又v / ACB = 90o, / AD字90o,Z CD字90o.這與作法CDLAB矛盾.所以，AC2 BC2 AB2的假設(shè)不能成立. a2 b2 c2.M1a

18、ba2b2abaabb【證法15】（辛卜松證明）AD ba設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b,斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD 把正方形a b 2ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 b2面積為2 aa2b2b22ab ;把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，貝卩正方形ABCD勺4 -ab c222ab 2abc22=2ab c2c【證法設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b（ba），斜邊的長為c.做兩個邊長分別為 b的正方形（ba）,把它們拼成如圖所示形狀，使 E、 示面積的編號（如圖）.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA DC； 貝卩AD = c .