清華大學(xué)本校用理論力學(xué)課件8-2 拉格朗日方程第一積分

1、第第8章章12ni iiiTmr r 012niiiiTmttrr1NniiijjjiTmqqtrr212NNniiijljljliTmq qqqrr 12nNNiiiiijljlijlmqqqtqtrrrr210TTT1Niiijjjqqtrrr對(duì)于定常約束T0 = 0; T1 = 0第第8章章1ddNjjjjjLLLqqtqq由于主動(dòng)力有勢(shì)：d0djjLLtqq1ddddNjjjjjLLLqqttqq如果系統(tǒng)，且拉格朗日函數(shù)：1212(,;,)NNLL q qqq qq1ddNjjjLqtq1d0dNjjjLqLtq1NjjjLqLEq，或第第8章章歐拉齊次式定理：021211112,0N

2、NNjjjjjjjjjTTTqTqTqqqq拉格朗日函數(shù)可寫(xiě)為：210LTTTV對(duì)于定常約束，有 ， 故100TT2TTTVE機(jī)械能守恒僅是廣義能量守恒的特殊情形。1NjjjLqLEq20TTVE第第8章章如系統(tǒng)中，且拉格朗日函數(shù)：0jLqd0djLtqjjjLTpqq剛體平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)廣義動(dòng)量的物理意義?d0djjLLtqqjjLCqV與廣義速度無(wú)關(guān)pj 廣義動(dòng)量第第8章章本題中是否存在循環(huán)積分和廣義能量積分？為什么？xyRmORM第第8章章xxyABOgmAgmB第第8章章取x和為廣義坐標(biāo)222211(2cos )cos22ABBLm xmxllxm gl22: ()cossin0:co

3、ssin0ABBBBBBxmmxm lm lm lm lxm gla). x為循環(huán)坐標(biāo)，存在循環(huán)積分水平方向動(dòng)量守恒b). L不顯含t，存在廣義能量積分222211(2cos )cos22ABBm xmxllxm glE (cos )ABLm xmxlCx將以上結(jié)果與拉氏方程比較：首次積分就是微分方程積分一次的結(jié)果！機(jī)械能守恒第第8章章試分析第一積分。xrxOyxOx rx CvC第第8章章系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為:2231()cossin24rrrLMm xmxmxxmgx廣義能量積分為202231()cossin24rrrTTVMm xmxmxxmgxE()cosrLMm xmxCx與循環(huán)坐標(biāo)

4、x相對(duì)應(yīng)的循環(huán)積分為第第8章章小車的車輪在水平地面上作純滾動(dòng)，每個(gè)輪子的質(zhì)量為m1，半徑為r，車架質(zhì)量不計(jì)。車上有一質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，彈簧剛度系數(shù)為k，物塊質(zhì)量為m2。試分析拉格朗日方程的首次積分。k2m1m1mxrxk2m1m1mxrx第第8章章選取x和xr為廣義坐標(biāo)。222211222121111222231222 ( ) ()()rrxrTm xm rm xxm xm xx212rVkx22212311222()rrLm xm xxkx廣義能量積分為2222012311222()rrTTVm xmxxkxE循環(huán)積分為123()rTm xmxxCx討論：廣義動(dòng)量守恒，但動(dòng)量不守恒。第第8章章半

5、徑為R的圓環(huán)以角速度 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的小環(huán)可在圓環(huán)上自由滑動(dòng)，如下圖所示。已知圓環(huán)對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，忽略摩擦力。試分析系統(tǒng)的第一積分。RmO第第8章章取為廣義坐標(biāo)。22222211(sin)22TJm RR222222011(sin)22TmRTJmR ，cosVmgR 2222211(sin)cos22LmRJmRmgR 202222211(sin)cos22TTVmRJmRmgRE 第第8章章2222211(sin)cos22LJmRmRmgR 1. 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)約束為理想約束2. 廣義能量守恒，但機(jī)械能不守恒3. 無(wú)外力矩作用情況系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒a). 為循環(huán)坐標(biāo)，存在循環(huán)積分22sinLJmRC b). L不顯含t，存在能量積分(系統(tǒng)能量守恒)2222211(sin)cos22JmRmRmgRE 第第8章章xrxx rx x Am分析拉格朗日方程的首次積分第第8章章2211()cossin22ABBrBrBrLmmxm xm xxm gxsinBrVm gx 100TT22211()cos22ABBrBrTmmxm xm xxa. 廣義能量積分 T + V = constb. 對(duì)