高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 拋物線焦點弦的性質(zhì)及應(yīng)用

1、拋物線焦點弦的性質(zhì)及應(yīng)用平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。由于拋物線定義的特殊性，使得它有許多其他圓錐曲線所沒有的特征，特別是拋物線過焦點的弦的性質(zhì)尤其突出，同時也高考中經(jīng)常要考查的內(nèi)容。據(jù)不完全統(tǒng)計，在近幾年高考中關(guān)于拋物線焦點弦的性質(zhì)出現(xiàn)在：1、2000年理科的第11題（選擇題），2、2001年理科的第19題（解答題），3、2002年文科的第16題（填空題），4、2004年理科的第16題（填空題）設(shè)拋物線的方程為y2=2px(P0),過焦點F(,0)作傾斜角為q的直線，交拋物線于P、Q兩點，則線段PQ稱拋物線的焦點弦，(如圖1). 拋物線的焦點弦具有以下性質(zhì):

2、性質(zhì)1：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1y2=-p2. 證明：當(dāng)q=90°時，PQ方程為x=代入y2=2px中有y2=p2,即y1=p,y2=-p,y1y2=-p2.當(dāng)q90°時，設(shè)直線PQ斜率為k,則PQ方程為y=k(x)與y2=2px聯(lián)立，消x后得到：ky2-2py-kp2=0,y1y2=-p2.因為，所以，所以例1過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，通過點P和拋物線頂點的直線交準(zhǔn)線于點M，求證：直線MQ平行與拋物線的對稱軸.證明：為了方便比較，可將P點橫坐標(biāo)及Q點縱坐標(biāo)均用P點的縱坐標(biāo)y1表示.P(,y1),Q(x2,y2),但y1y2=-p2，y2

3、=,PM方程是：y=x,當(dāng)x=時,y=即為M點的縱坐標(biāo)，這樣M點與Q點的縱坐標(biāo)相同，故MQOx.例2（2001年高考 ）設(shè)坐標(biāo)原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A、B兩點，則 . A、 B、- C、3 D、-3解析：設(shè)弦的兩個端點為A（x1，y1）、B（x2，y2），x1 x2=， ， -，故答案選B。 性質(zhì)2：拋物線焦點弦的長度： = .證明：如圖所示，分別做、垂直于準(zhǔn)線，由拋物線定義有 .且有,于是可得, .+=.故命題成立.例3已知圓M：x2+y2-4x=0及一條拋物線，拋物線頂點在O(0,0),焦點是圓M的圓心F，過F作傾斜角為a的直線l,l與拋物線及圓由上而下順次交于A、B

4、、C、D四點，若a=arcsin,求|AB|+|CD|.解：如圖，方程x2+y2-4x=0,表示的圖的圓心為(2，0)即為拋物線的焦點，拋物線的方程是y2=8x(其中p=4),|AD|=40,但圓的直徑|BC|=4， |AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.性質(zhì)3：三角形OAB的面積公式：證法一：當(dāng)直線傾斜角為直角時，公式顯然成立。當(dāng)直線傾斜角不是直角時，設(shè)焦點弦所在直線方程：由性質(zhì)4：以拋物線的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.證法一：如圖3，設(shè)PQ中點為R，則R即為PQ為直線圓的圓心，過R作RSMN于S，又設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),|PQ|=|PF|+|QF|

5、=+=+=x1+x2+=x1+x2+p,而R(,),RS=+=,|RS|=|PQ|,RS為圓的半徑，命題得證.證法二：由圖3知RS為梯形PQNM的中位線，|RS|=(|PM|+|QN|)=|PQ|(利用性質(zhì)3)， RS為圓的半徑，故結(jié)論成立.性質(zhì)5：以拋物線y2=2px(p0),焦點弦PQ端點向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M、N，則FMFN.(其中F為焦點).證明：如圖4，由拋物線定義知|PF|=|PM|，1=2，而PMOx, 2=3，1=3, 同理4=6，而1+3+4+6=180°，3+6=90°， FMFN.性質(zhì)6：設(shè)拋物線y2=2px(p0),焦點為F，焦點弦PQ，則+=(

6、定值).證法一：由P、Q向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M、N，作QAOx于A，F(xiàn)BPM于B，準(zhǔn)線與Ox交于E，(如圖5)由AFQBPF，則,即=,但由定義知|NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|,=,有1=1即+=2,而|EF|=p,代入后即得+=.證法二：由性質(zhì)的語法二，設(shè)|FP|=t1,|FQ|=-t2,而t1+t2=,t1t2=,|t1-t2|=,則+=(t2t10),還有其它證法.例4 2001年理科第11題：過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與QF的長分別是p,q，則等于（ ）（A）2a （B） （C）4a （D）2004年理科第16題：設(shè)是曲線上的一個動點，則點到點的距離與點到軸的距離之和的最小值為 .性質(zhì)7：以拋物線焦點弦在準(zhǔn)線上的射影為直徑的圓必與焦點弦相切于焦點。 證明：如圖，設(shè)， 則，又， ，即. 性質(zhì)8：如圖，A、O 、B1和B 、O、A1三點分別共線。證明：因為，而， 所以，所以A、O、B1三點共線。同理可證，B、O、A1三點分別共線.例5 2001年理科第19題：設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，