圓錐曲線解題技巧和方法綜合

1、（本文有兩套教案，第一套比較籠統(tǒng)，第二套比較好）圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：（1 1）中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為（xyj，（x2,y2），代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意 斜率不存在的請款討論） ，消去四個參數(shù)。2 2如：（1）篤 每1（a b 0）與直線相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M（xo,yo），則有a b篤卑k 0。a bX2y2（2）2亍1（a0,b0）與直線I相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M（xo,yo）則有a bI相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M（xo,yo）,則有2yok=2p,即yok=p.2

2、給定雙曲線x 1。過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)卩1及卩2，2求線段P1F2的中點(diǎn)P的軌跡方程。（2 2）焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。2 2典型例題 設(shè)P（x,y）為橢圓xy七1上任一點(diǎn)，F(xiàn), c,0），F(xiàn)2（C,0）為焦點(diǎn),a bPF1F2，PF2F1。sin（ ）xoayo（3）y2=2px（p0）與直線sin sin典型例題（1）求證離心率e(2)求|PF1|3PF2|3的最值。(3) 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判 別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、

3、求根公式等來處理， 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過圖形的直觀 性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程y2p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(diǎn)(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B,且0A丄0B,求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。(4)圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函 數(shù)，三角函數(shù)，均值不等

4、式)求最值。(1)，可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不 等式 ”。或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于(2)首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問題，函數(shù)思想”。最值問題的處理思路：1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān) 鍵是由方程求x、y的范圍；2、 數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、 利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、 借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0),過M(a,0)且斜率為1的

5、直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,|AB|0),求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。(6)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方 式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并 結(jié)合判別式來解決)典型例題已知橢圓2C的方程21，試確定m的取值范圍，使得對于直線3圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k1 k2yi y2i來處理或用向量的坐標(biāo)點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線yx 1相交于P、Q兩點(diǎn),(2)(2)充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不

6、求它,而是結(jié)合韋達(dá)定理求解,這種方法在有關(guān)斜率、中(3)(3)充分利用曲線系方程禾U用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題2 2 2 2求經(jīng)過兩已知圓C1： x y 4x 2y 0和C2: xy 2y 40的交點(diǎn)，且圓心在直線I:2x 4y 10上的圓的方程。(4)(4)充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題.這 也是我們常說的三角代換法。典型例題2 2xyP為橢圓221上一動點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四a b邊形OAPB面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)。(5)(5)線段長的幾種簡便計(jì)算方法1充分

7、利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐2曲線方程中，得到型如ax bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為xA,xB,判別式,xB|1 k2，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算|a|過程。2結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。x2y2F1、F2是橢圓1的兩個焦點(diǎn)，AB是經(jīng)過F1的弦，若|AB| 8，求值259| F2A| | F2B|3禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例 點(diǎn)A(3,2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y24x的

8、焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y24x上移動，若|PA| |PF |取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。且OP OQ,1 PQ|則|AB|、1 k2 |xA求直線x y 10被橢圓x24y216所截得的線段AB的長。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備:1.1. 直線方程的形式(1) 直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。(2) 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容1傾斜角與斜率k tan ,0,)2點(diǎn)到直線的距離dAxoBy。羋夾角公式：VA2B2tanJi1 k2k1(3) 弦長公式直線y kx b上兩點(diǎn)A(X|, yj, B(x2, y2)間的距離：AB 71 |為x2J(1 k2)(xiX2)24

9、X1X2或AB斤1y2(4) 兩條直線的位置關(guān)系l1l2k1k2=-1=-1l1/12k1k2且 b1b22 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)(1) 、橢圓的方程的形式有幾種(三種形式)2 2標(biāo)準(zhǔn)方程：1(m 0, n 0 且 m n)m n距離式方程：.(x c)2y2. (x c)2y22a參數(shù)方程：x a cos , y bsin(2)(2) 、雙曲線的方程的形式有兩種032 2標(biāo)準(zhǔn)方程：-1(m n 0)m n距離式方程： 卜(x c)2y2, (x c)2y2| 2a(3)(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎(4)(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎2 2如：已知R、F2是橢圓-Z 1的兩個

10、焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個動點(diǎn)M滿43足MF1|MF22則動點(diǎn) M M 的軌跡是()A A、雙曲線；B B、雙曲線的一支；C C、兩條射線；D D、一條射線(5)(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：P 在橢圓上時，SFPFb2tan(6)(6)、記住焦 半 徑公式： (1 1)橢圓焦點(diǎn)在 x 軸上時為 a exo；焦點(diǎn)在 y 軸上時為 a ey，可簡記為“左加右減，上加下減”(2)雙曲線焦點(diǎn)在 x 軸上時為 e|x01 a(3 3)拋物線焦點(diǎn)在 x 軸上時為| x,| -|,焦點(diǎn)在 y 軸上時為|%| *(6)(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎_第二、方法儲備1 1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題)2 2設(shè)AXi,

11、yi、BX22，M a,b為橢圓-1的弦AB中點(diǎn)則有432 2 2 2 2 2牛于1，氣弋1；兩式相減得亍(其中EPF?,cos| PR |2IPF2I24c2I PF!| | PF2|uur ujrn,PF!?PF2uur jujir| PF,| PF21 cosxiX2xiX2yiy2yiy?3akAB= =434b2 2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎經(jīng)典套路是什么如果有兩個參數(shù)怎么辦設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式0,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(N,yj, B(X2, y2)，將這兩點(diǎn)代入曲

12、線方 程得到兩個式子，然后 - -，整體消元.,若有兩個字母未知數(shù)，貝 S 要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點(diǎn)， 則可以利用三點(diǎn) A A、B B、F F 共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋 找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線 為y kx b，就意味著 k k 存在。例 1 1、已知三角形 ABCABC 的三個頂點(diǎn)均在橢圓4x25y280上，且點(diǎn) A A 是橢圓短軸的一個端點(diǎn)(點(diǎn) A A 在 y y 軸正半軸上). .(1) 若三角形 ABCABC 的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 BCBC 的方程；(2) 若角 A A 為900, ADAD 垂直 BCBC 于 D

13、D，試求點(diǎn) D D 的軌跡方程. .分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn) 弦 BCBC 的斜率，從而寫出直線 BCBC 的方程。第二問抓住角 A A 為900可得 出 ABAB 丄 ACAC,從而得X1X2y214(yiy?) 16 0，然后利用聯(lián)立消元 法及交軌法求出點(diǎn) D D 的軌跡方程；解：(1 1)設(shè) B B (xi, ,yj,C(,C(X2, ,y2),BC),BC 中點(diǎn)為( (x。, y。),F(2,0),F(2,0)則有2 2 2 2XL1120 16，20 160 0 0 0 (1)(1)542，代入(1 1)得 k k - -5直線 BCBC 的方程為

14、6x 5y 28兩式作差有(XiX2)(XiX2)(y1y2)(y1y)X0yk2016F(2,0)F(2,0)為三角形重心，所以由X1X23得X0yo2)2)由 ABAB 丄 ACAC 得x1x2y1y214( y1y2)16(2)直線BCBC方5k22 2)x 10bkx 5b80X210kb,X1X25b4 5k24y28k2,y1y24b2kxb,代入 4x280直線過定點(diǎn)2 29y9X32 y所以所求點(diǎn) D D筍代入(2)式得0,解得b 4(舍)或b(0(0，自，設(shè) D Dy(x,y(x,y)，則-16 04 4、設(shè)而不求法例 2 2、如圖，已知梯形 ABCDABCD 中AB設(shè)(40

15、程為y0 0 0 0 (1)(1)54成的比為，雙曲線過 C C、D D、E E 三點(diǎn)，且以 A A、B B 為焦點(diǎn)當(dāng)23時,34求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念 和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建2 211,立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè) C CC,h,代入冷爲(wèi)1，求得h L,2a b2 2進(jìn)而求得XEL ,yEL ,再代入篤爲(wèi)1,建立目標(biāo)函數(shù)a bf(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0,此運(yùn)算量可見是難上加難我們對h可米取設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0, ,

16、化繁為簡. .解法一：如圖，以 ABAB 為垂直平分線為y軸，直線 ABAB 為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy,則 CDCD 丄y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn) C C、D D，且以 A A、程得b2由式得將式代入式，整理得B B 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C C、D D 關(guān)于y軸對稱依題意，記 A Ac, 0, C CC, h,E Ex。，其中c 2 |AB |為雙曲線的半焦距,h是梯形的咼, 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0cc 2_2c1 2 1hy0廠2 2設(shè)雙曲線的方程為當(dāng)1,則離心率e -a由點(diǎn) C C、E E 在雙曲線上，將點(diǎn)C C、 E E 的坐標(biāo)和e-代入雙曲線方ae2h2e2b24X解得所以雙曲線

17、的離心率的取值范圍為,7,.J0分析：考慮|AE,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE,|AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略.所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7, JO5 5、判別式法例 3 3 已知雙曲線c工 藝1，直線|過點(diǎn)A、2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 12 2時，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B B 到直線l的距離為2，試求k的值及此時點(diǎn) B B 的坐標(biāo)。分析 1 1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. .從“有且僅有” 這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn) B B 作與l平行的直線，必 與雙曲線2e

18、4 412,3e21解法二：建系同解法一,XEcc22 c1 2 1設(shè)33得，I1解得AE,又罔| AC33e224-.7 e -.10a exE, AC廠代入整理exC,亠，由題e 1I : y k(x ,2)0 k 1C C 相切. .而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0. .由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路:I : y k(x ,2)0 k 1分析 2 2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)1的営到直曲線方程勺距離為令判別式相當(dāng)于化歸V V的方程有唯一解. .據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：問題T由于0 k 1，所以2 x2x kx,從而有于是關(guān)于x的方

19、程由0 k 1可知:_ _ _ _ 2方程k21x22k . 2(k21). 2k x . 2(k21) . 2k正，故,2(k21) 2k kx 0恒成立，于是 等價于k21 x22k 2(k21) 2kx, 2(k21),2k 2 0. .點(diǎn)評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了 全局觀念與整體思維的優(yōu)越性. .解題過程略. .直線 I在 I 的上方且到直線 I 的距離為2關(guān)于 X 的方程-線I的距離為：.20 k 1有唯一轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題C C 上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) M M 到直于是，問題求解化為如上關(guān)于X的方程. .2 0的二根同由如上關(guān)于X的方程有唯一解，得其

20、判別式0，就可解得I : y k(x ,2)0 k 1例 4 4 已知橢圓 C C：x22y28和點(diǎn) P P(4 4， 1 1)，過 P P 作直線交橢圓于A A、B B 兩點(diǎn)，在線段 ABAB 上取點(diǎn) Q Q,使等性，求動點(diǎn) Q Q 的軌跡所PB QB在曲線的方程. .分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. .因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q Q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的. .由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線 ABAB 的變化引起的，自然可選擇直線ABAB 的斜率k作為參數(shù)，如何將

21、x,y與k聯(lián)系起來一方面利用點(diǎn) Q Q 在直P P、Q Q 四點(diǎn)共線，不難得到x4(XAXB) 2XAXB，要建立X與k的關(guān)系，只需8(XAXB)將直線 ABAB 的方程代入橢圓 C C 的方程，利用韋達(dá)定理即可. .通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于解之得：X4(XiX2)2xiX2( 1 1)8 (XiX2)設(shè)直線 ABAB 的方程為：y k(x 4) 1，代入橢圓 C C 的方程，消去y線 ABAB 上；另一方面就是運(yùn)用題目條件:APPBAQQB來轉(zhuǎn)化. .由 A A、 B B、如何解決本題，已經(jīng)做到心中有婁在得到x f k之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消

22、參,目的不過是得到關(guān)于x,y的方程(不含 k)，則可由k一，直接代入xx 4程。y k(x 4)1解得將直線方程代入橢圓方程，消去 y，利用韋達(dá)定理IW得到軌跡方程。從而簡化消去參的過利用點(diǎn) Q 滿足直線 AB 的方程：y = k (X4)+1，消去參數(shù) k簡解：設(shè)A Xi, yi,B(點(diǎn)2Q的軌跡方程y)，則由空PBAQ可得：4QBX2Xix x1x2X得出關(guān)于 x x 的一元二次方程:2k221 x 4k(14k)x 2(14k)28 0(2 2)4k(4kX X222k 1) 1，2(1 4k)2X1X222k 18代入(1 1),化簡得：4k 3X.k 2與yk(x4） 1聯(lián)立，消去k

23、得:2xy 4 (x4)0.在(2 2) 中,由64k264k240, 解得210k210, 結(jié)合（3 3）44可求得162押x16 2押99故知點(diǎn) Q Q 的軌跡方程為：2x y 4 0（16 2 10 x16 2 10） 99點(diǎn)評：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元 二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到這當(dāng)中，難點(diǎn)在 引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參、消參” 三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道 . .6 6、求根公式法2 2例 5 5 設(shè)直線I過點(diǎn) P P （0,30,3）,和橢圓-乂1順次交于 A A、B B 兩點(diǎn),94試求塑的取值范

24、圍. .PB分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： 竺二互，但從此后卻一PBXB籌莫展，問題的根源在于對題目的整體把握不夠. .事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個） 參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系分析 1 1：從第一條想法入手， 等二仏已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于PBXB有兩個變量XA,XB,同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第 3 3 個變量直線AB的斜率k. .問題就轉(zhuǎn)化為如何將XA,XB轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，至吐匕為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y y 得出關(guān)于X的一元二次方程，其

25、求根公式呼之欲出往往是產(chǎn)生不等的根源. .由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值 范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來. .一般來說，韋達(dá) 定理總是充，所以只需考慮k 0的情所以0時,27k 6*；9k25X1X2APPB9k249k 2.9k25一15X1x29k 2.9k227k 6 9k252，9 k2418k盲1 9k 2 9k1895k22 254 k)180 9k40, ,解得k2所以1895k2AP 11. .PB 5分析 2:2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，綜上15則應(yīng)該考慮到：判別式y(tǒng)APPBy2），直線I的方程為:254kx 450當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接

26、應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于AB X不是關(guān)于 z 的對稱關(guān)系式. .原因找到后解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于XX2的對稱關(guān)系式. .把直線 I 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程，消去 y得到關(guān)于 x 的一元二次方程y kx 圓方程,韋達(dá)定理范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. .本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能 說明問題， 有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在， 只有 見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里第三、推理訓(xùn)練

27、：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基 本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、簡解 2 2:設(shè)直線I的方程為:消去y得X1X2X1X29k2一2 _ _4x 54kX45_0XA+XB= f( k)，XAXB= g( k)(*)令2X1X2在（* *）從而有5. .結(jié)合0綜上，_54k9k2_459k24AP/PB = ( XA/ XB)4 4_ _構(gòu)造所求量與 k 的關(guān)系式由判別式得岀 k 的取值范圍關(guān)于所求量的不等式324廠45k220中，由判別式0,可得k24451?2324 k20詈，所以36，解得51得15APPB1. .點(diǎn)評:不等式法,公理、定理、性質(zhì)等

28、為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題 之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推 理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例 6 6 橢圓長軸端點(diǎn)為A,B，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AFFB 1，OF 1.(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)記橢圓的上頂點(diǎn)為M,直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問：是否 存在直線I,使點(diǎn)F恰為PQM的垂心若存在，求出直線I的方程; ;若不 存在，請說明理由。思維流程:X2故橢圓方程為y21(H)假設(shè)存在直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心,umr uu

29、u umr由AF?FB 1,OF(a(a c)(ac)(a c)c) 1 1,c c 1 1解題過程:和,兩根之積(I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為x21(a b 0)則c 1解出m又 TAF FB 1即(a c) (a c)c2a22由F為PQM的重心寫出橢圓方呈得出關(guān)于m的方程設(shè)P(Xi,yJ,Q(X2,y2)，丁M(0,1),F(1,0)，故kPQ1,于是設(shè)直線1為y x m,由2xx m得2彳得 ,3x24mx 2m220uur uuuTMP FQ 0 x,(x21)y2(% 1)又yxim(i1,2)得捲化1)(X2m)(X1m 1) 0即22x2(為x2)(m 1) mm 0由韋達(dá)定理得

30、匚44解得m-或m 1(舍) 經(jīng)檢驗(yàn)m-符合條件.33點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩 向量乘積為零.例 7 7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(I)求橢圓E的方程:(n)若點(diǎn) D D 為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)( 1,0), H (1,0),當(dāng)厶DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求DFH內(nèi)心的坐標(biāo);(n)由DFH解內(nèi)切閒面積最大轉(zhuǎn)化為DFH面積最大-轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大-D為橢圓短軸端點(diǎn)3f 得出D占坐標(biāo)為0T解題過程：標(biāo)I)設(shè)橢圓方程為mx2ny21 m 0,n 0.，將A( 2,0)、B(2,0)、思維流程：由橢圓經(jīng)過A、

31、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為mx2ny21得到m, n的方程AFT。)|、DFH0面、最大值為代入橢圓E|的J J 方程，得4m 1,229解得m -,n -.二橢圓E的方程X-1m n 143434(H)| FH | 2，設(shè) ADFH邊上的高為SDFH- 2 h h2當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時，h最大為.3，所以SDFH的最大值為.3.設(shè) ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)镈FH的周長為定值 6 6.所以,2所以R的最大值為耳.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(,豐)點(diǎn)石成金：1 /S的內(nèi)切圓的周長 r的內(nèi)切圓例 8 8 已知定點(diǎn)C( 1,0)及橢圓x23y25,過點(diǎn)C的動直線與橢圓相交于A, B兩點(diǎn). .(I)若線

32、段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 扌，求直線AB的方程；(H)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA MB為常數(shù)若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由思維流程：(I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y k(x 1)，將y k(x 1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k25 0.設(shè)A(%，yj，B(X2,y2)，36k44(3k21)(3k25)6k23k21.0,(1)白線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是得x1X23k23k21例 9 9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x x 軸上，長軸長是短軸長的 2 2倍且經(jīng)過點(diǎn) M M (2 2，1 1)，平行于 0M0M 的直線I在 y

33、y 軸上的截距為 m m (m m工 0 0),l交橢圓于 A A、B B 兩個不同點(diǎn)(I)求橢圓的方程；k空，符合題意。3所以直線AB的方程為x 3y 1 0，或x、3y 1 0. .(H)解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M (m,0)，使MA MB為常數(shù). .直線AB與x軸不垂直時，由(I )知x-1x26k2xX23k253k213k21.所以MAuurMBam)(X2m) y1y2am)(X2m) /(咅 1)(%1)uur unrMA MB(6m 1)k253k211214(2m -)(3k21) 2m333k212c 1 6m 14m 2m2-33(3k21)注意到MA MB是與k無關(guān)的常數(shù)

34、，從而有6m 14 0, muur uur 4 MA MB -.9當(dāng)直線AB與x軸垂直時，此時點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為1,法，當(dāng)m7uur uur 43時，亦有MAMB9 -綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M-，0，使MA MB為常數(shù). .3點(diǎn)石成金:uuu nurMA MB(6m 1)k253k211214(2m -)(3k21) 2m -3k21(k21曲2(k2m)(X1X2) k2m2.將代入，整理得(H)求 m m 的取值范圍；(皿)求證直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成一個等腰三角形思維流程:2 2解：(i i)設(shè)橢圓方程為務(wù)爲(wèi)i(a b 0)a b即可則kiyii,k2y2iX

35、i2X22由X22mx2m240 可得而kik2yiiy2i (yii) (X22) (y2i)(Xi2)xi2X22(Xi2)(X22)a 2b則4 i 解得2 2ia ba28b22橢圓方程為2y_i2(H)v 直線I平行于 0M0M ,又KOM =21X22y2且在 y y 軸上的截距為1X2I 的方程為：yy由2X8x22mx 2m2橢圓交兩個不同點(diǎn)，(2m)24(2m2解得 2 m 2,且 m4)00,(皿)設(shè)直線MAMA、MBMB 的斜率分別為k ki,k k2,只需證明 k k1+k+k2=0=0故直線 MAMA、MBMB 與 X X 軸始終圍成一個等腰三角形. .點(diǎn)石成金：直線

36、 MAMA、MBMB 與 X X 軸始終圍成一個等腰三角形kik20設(shè)A(Xi, yi), B(X2, y2),且 Xi4X22m,XiX22m22f-篤1的離心率e2，過A(a,0), B(0, b)的直b 3線到原點(diǎn)的距離是尋(1(1)求雙曲線的方程;(2(2)已知直線y kx 5(k 0)交雙曲線于不同的點(diǎn) C C,在以B為圓心的圓上，求k的值. .思維流程:故所求k=士7. .點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3 3,最小值為 1 1.(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；2例 1010、已知雙曲線篤aD D 且C, D都2廬，原點(diǎn)到直線AB:y 1的距離bdabd、a babc故所求雙曲線方程為(2(2 ) 把y kx 5代入x23y23中消去，整理得2 2(1 3k )x 30kx 780. .設(shè)C(xi,yj D(X2,y2),CD的中點(diǎn)是E(Xo, yo)，則即U心k,又k0,k2點(diǎn)石成金：C, D都在以B為圓心的圓上BC=BDBC=BD BEBE 丄 CD;CD;例 1111、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓