圓錐曲線知識點(diǎn)+例題+練習(xí)含答案

1、1圓錐曲線一、橢圓：（1 ）橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)FI,F2的距離的和等于常數(shù)（大于 廳芾2|L的點(diǎn)的軌跡。其中：兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。注意：2a |F1F2|表示橢圓；2a |F1F21表示線段F1F2；2a |F1F2|沒有軌跡；（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程2 221(a b 0)a b2 2爲(wèi)厶1(a b 0)ab圖形xIyk0、)A2FB1頂點(diǎn)A1( a,0), A2(a,0)B1(0, b),B2(0,b)A( b,0),A2(b,0)B/O, a),B2(0,a)對稱軸x軸，y 軸；

2、短軸為 2b，長軸為 2a焦占八、八、F1(c,0), F2(c,0)已(0,C),F2(0,C)焦距IF1F2I 2c(c 0)c2a2b2離心率ec（0 e 1）（離心率越大，橢圓越扁）a通徑空 （過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線夾在橢圓內(nèi)的線段）a2 23.常用結(jié)論：（1）橢圓篤 占i（a b 0）的兩個焦點(diǎn)為FI,F2，過Fi的直線交橢圓于A, B兩a b點(diǎn)，貝U ABF2的周長= _2 2（2）設(shè)橢圓務(wù)篤1（a b 0）左、右兩個焦點(diǎn)為F1, F2，過F1且垂直于對稱軸的直線a b交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，則P,Q的坐標(biāo)分別是 _| PQ |_、雙曲線:2（1）雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)Fi

3、, F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于| F1F2|） 的點(diǎn)的軌跡。其中：兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。注意：|PFj IPF2I 2a與| PF2| | PFi| 2a（2a | F1F2|）表示雙曲線的一支。2a | F1F2|表示兩條射線；2a | F1F2|沒有軌跡;（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):頂點(diǎn)A1(a,0), A2(a,0)B1(0, a),B2(0,a)對稱軸x軸，y 軸；虛軸為2b ，實(shí)軸為 2a焦占八、八、F1(C,0),F2(C,0)F1(0,C), F2(0,C)焦距El2C(C0)2C2.2a b離心率eC(e 1) a（離心率越大，

4、開口越大）漸近線by xaay xb通徑2 b2a中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程2x2a2y1( a 0,b0)b2y2a2（3）雙曲線的漸近線：求雙曲線匚的漸近線，可令其右邊的 1 為 0,即得乂.2 2a2b22yb20，因式分解得到Ay0。a b22與雙曲線字白1共漸近線的雙曲線系方程是22xy；2.2abFix1(a0,b 0)b3（4）等軸雙曲線為x2y2t2，其離心率為242 2(4)常用結(jié)論：(1 雙曲線占X_ i(a o,b o)的兩個焦點(diǎn)為Fi, F2，過卩十勺直線交雙曲線a2b2的同一支于 代B兩點(diǎn)，貝U ABF2的周長= _2 2(2)設(shè)雙曲

5、線 冷 聳i(a 0,b 0)左、右兩個焦點(diǎn)為，過Fi且垂直于對稱軸的a2b2直線交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)，則P,Q的坐標(biāo)分別是 _|PQ| _三、拋物線:(1)拋物線的定義：_其中：定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線。(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì)：p 0焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)在 y 軸上,焦點(diǎn)在 y 軸上,開口向右開口向左開口向上開口向下焦占八、八、F(-,0)2F( -,0)2F(0,衛(wèi))2離心率e 1準(zhǔn)線x衛(wèi)2x上2y衛(wèi)y 2通徑2ppF(0, /焦半徑焦點(diǎn)弦焦準(zhǔn)距|PF | |yo|標(biāo)準(zhǔn)對稱軸x軸|PF | |xo| |5四、弦長公式：| AB | 1 k2| X1X2

6、| . 1 k2. (X1X2)24x1X21 k2|A|其中，代 分別是聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消去 y 后所得關(guān)于 x 的一元二次方程的判別式和x2的系數(shù)求弦長步驟：（1）求出或設(shè)出直線與圓錐曲線方程；（2）聯(lián)立兩方程，消去 y,得關(guān)B于 x 的一元二次方程Ax2Bx C 0,設(shè)A（xi,yj，B（X2,y2），由韋達(dá)定理求出捲x2Ax1x2C；（ 3）代入弦長公式計算。A法（二）若是聯(lián)立兩方程，消去 x,得關(guān)于 y 的一元二次方程Ay2By C 0,則相應(yīng)的注意（2）求與弦長有關(guān)的三角形面積，往往先求弦長，再求這邊上的高（點(diǎn)到直線的距離），但若三角形被過頂點(diǎn)的一條線段分成兩個三角形，

7、且線段的長度為定值，求面積一 般用分割法五、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)的求法法（一）：（1）求出或設(shè)出直線與圓錐曲線方程；（2）聯(lián)立兩方程，消去 y,得關(guān)于 x 的一元二次方程Ax2Bx C 0,設(shè)A（x1, y1），B（x2, y2），由韋達(dá)定理求出x1x2 ； （3）A設(shè)中點(diǎn)M（xo，yo），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得Xo ??；再把x X。代入直線方程求出y y。2法（二）：用點(diǎn)差法，設(shè)A（xy1），B（X2,y2），中點(diǎn)M （x, y），由點(diǎn)在曲線上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，過 A、B 兩點(diǎn)斜率公式，列出 5 個方程，通過相減，代入等變形，求出x0, y0。六、求離心率的常用方法：法一，分別求出a,c，再代入公式法

8、二、建立 a,b,c 滿足的關(guān)系，消去 b,再化為關(guān)于 e 的方程，最后解方程求 e （求 e 時, 要注弦長公式是:|AB| *1(2|yi12-2-山屮 P 細(xì)y2)4y1y2（|A|注意（1）上面用到了關(guān)系式|X1X2|X2)2yy2；(% y2)24y2|A|4x1x2|A|6意橢圓離心率取值范圍是 0 e 1）7例 1:設(shè)點(diǎn) P 是圓x2寸4上的任一點(diǎn)，定點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(8, 0),若點(diǎn)M滿足2即x16y2 4，這就是動點(diǎn) M 的軌跡方程.39例 2:已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為(-2, o),( 2,o)且過點(diǎn)(5,-)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2 22 2解法 1 因為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以

9、設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為A爲(wèi)1(a b o),a b2 2所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為 乂11o 6例3.惟黴蓋煌J上有一點(diǎn)幾它到啼回叫左蕉點(diǎn)斤的韭勢或的面氐J1.I-.4的定義.AH円J PH丹；A2a =20所til Pf |=12.pX cos PF.- - 二一,1*2耳|円和引尸耳|2x8x124Al( Ft；sinZ/PSIXSK12x21= I2y/S例 4.過噸+滬內(nèi)*“引動弦腫束的屮鮒的軌跡方程設(shè)同卅護(hù))* 月代曲)PABJ勺申點(diǎn)M ( x, y L Jill A =碼；y = ；=36uuurUULU一2MD.當(dāng)點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)M 的軌跡方程.設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 x, y，點(diǎn) P

10、 的坐標(biāo)為 x0, y0uuuu,由PMuuuu2MD,得 x Xo,y yo2 8 x, y，即Xo3x 16,yo3y.因為點(diǎn) P xo, yo在圓x2y24上，所以 xo2yo24 .即3x21623y 4,由橢圓的定義可知:a、1o又c 2, b2a2c26所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2x- I 11o 6解法 2Qc 2, b2a2c2a24，所以可設(shè)所求的方程為2x2a化 J 將點(diǎn)&自代人解得：a ,1o2a2 1Q9084.v?= 3-6 2 -得_ 兀)+亠j = .兀一兒.X - Xj9(/ i- ri )5 -X -1X -1W聽求聰方匪加4.r - if + 9 #

11、- L高二圓錐曲線練習(xí)題 11、Fi, F2是定點(diǎn)，且|FIF2|=6，動點(diǎn) M 滿足|MFI|+|MF2|=6， 貝UM 點(diǎn)的軌跡方程是（）A.-34、設(shè)橢圓C1的離心率為令，焦點(diǎn)在X軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個 焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于 8，貝U曲線 C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A. 2、3（A）橢圓(B)直線(C)圓(D)線段2、已知ABC的周長是16,A( 3,0)， B(3,0),則動點(diǎn)的軌跡方程是（）2222222 2(A)-y1(B)Xy1(y 0)(C)-y1(D)X y1(y 0)25162516162516253、已知橢圓的長軸長是短軸長的 2 倍,則橢圓的

12、離心率等于（）.332A. *321132522 2x y32422X1325、設(shè)雙曲線a 0的漸近線方程為3X2y則a的值為（(A) 4(B) 3(C)(D)6、雙曲線2X28的實(shí)軸長是（(A) 2(B)22(C)(D) 4、一227、雙曲線42乞=112的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（9092&以雙曲線1的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（2 2A.Xy10X1024=1 （a b0）的左焦點(diǎn) F/乍 x 軸的垂線交橢圓于點(diǎn)bF1PF260，則橢圓的離心率為（)A.二B. C1D.-232310.“ m n0 ”是“方程mx2ny21”表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的()2 215、已知

13、 F1、F2是橢圓C:務(wù)7 1 (a ba b2 2C. x y 10 x 16029D.x y 10 x 9029、過橢圓與aP,F2為右焦點(diǎn)，若（A）充分而不必要條件（C）充要條件（B）必要而不充分條件既不充分也不必要條件1111、寫出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:（1）長軸與短軸的和為 18，焦距為 6;_ ._焦點(diǎn)坐標(biāo)為（J3,o）,（J3,o）,并且經(jīng)過點(diǎn)（2，1）；.（3）橢圓的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3,0）,（3,0）,且短軸是長軸的-;_3：3離心率為子，經(jīng)過點(diǎn)（2，。）；-2y1 有相同的焦點(diǎn)，且短軸長為 2 的橢圓方程是：_42焦點(diǎn)F1,F2在 x 軸上，離心率為一.過22

14、214、已知F1，F(xiàn)2為橢圓25七1的兩個焦點(diǎn)過 F1的直線交橢圓于 A, B 兩點(diǎn)，若F2A F2B 12，貝 U AB若厶 PF1F2的面積是 9，則 bmr0） 的兩個焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上一點(diǎn)， 且 PF1unuPF2，12、與橢圓13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn),F1的直線 I 交C于代B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為 16,那么C的方程為：_16、求心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過P （ 4，.3），Q （2.一2,3）兩點(diǎn)的橢圓方122 2 2A.y 3x或y 3xB.y 3x2x&與橢圓一42x3.以橢圓一2y_1的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為2的雙曲線方程（1

15、69222222 2 2xA .y1B .y1C .xy1或yX1D.以上都不對16489271648927以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過圓x2y29x或y 3x2 33x2或y29x5.若拋物線y2x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（(44)B .(1,C .(1-2)D .(，邁)844 48 46.橢圓2x2y_1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個焦點(diǎn)1二2的連線互相垂直，則厶PF1F2的面積為（4924A .20B.22C.28D.247.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,2）,F是拋物線y22x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動時，使MF MA取得最小值的M的坐標(biāo)為A.0,01, .2D .2,22xA .29

16、.若橢圓x2my21的離心率為二3，則它的長半軸長為2圓錐曲線練習(xí)題 221 拋物線y I0 x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）5廠15“A. - B.5C. D.102 222若拋物線y 8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）。A.(7, ,14)B.(14,、帀)C.(7, 2、14)D.( 7, 2帀)4.以坐標(biāo)軸為對稱軸,2x 6y 90的圓心的拋物線的方程是1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)Q（2,1）的雙曲線方程是13雙曲線的漸近線方程為x 2y 0,焦距為10，這雙曲線的方程為 _拋物線y26x的準(zhǔn)線方程為_2 2橢圓5x ky5的一個焦點(diǎn)是（0,2），那么k11的離心率為，則k的值為2雙曲線8

17、kx2ky28的一個焦點(diǎn)為（0,3），則k的值為_2若直線x y 2與拋物線y 4x交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 _k為何值時，直線y kx 2和曲線2x23y26有兩個公共點(diǎn)？有一個公共點(diǎn)?沒有公共點(diǎn)？在拋物線y 4x2上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線y 4x 5的距離最短。2 2雙曲線與橢圓-1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C、15,4），求其方程。27362x設(shè)F1,F2是雙曲線92- 1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且F-iPF260，16求厶F1PF2的面積。10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.x2橢圓 一k 89、14高二圓錐曲線練習(xí)題1、F1, F2是定點(diǎn)，且|FF2

18、|=6，動點(diǎn) M 滿足|MR|+|MF2|=6，貝UM 點(diǎn)的軌跡方程是(D )(A)橢圓(B) 直線(C)圓(D) 線段2、已知ABC的周長是 16,A( 3,0), B(3,0),則動點(diǎn)的軌跡方程是2(A)252221(y 0)(C)*備1(D)x-1625163、已知橢圓的長軸長是短軸長的2 倍，則橢圓的離心率等于(2y_25Di(y0)A.-34、設(shè)橢圓 G 的離心率為，13焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為 26.若曲線 C2上的點(diǎn)到橢圓Ci的兩個8,貝U曲線 C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2A.x242y32x2132322y_42X21325、設(shè)雙曲線2x2a2y_90的漸近線方

19、程為3x2y則a的值為(C(A) 4(B) 3(C)(D)6、雙曲線2x28的實(shí)軸長是(C )(A) 2(B) 22(C)(D) 4一227、雙曲線42=1 的焦點(diǎn)到漸近線的距離為(12.、32&以雙曲線92y_161的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是(A.10 x2 2B . x y 10 x 16C.10 x162 2x y 10 x 902、過橢圓x2a占=1 (a b0)的左焦點(diǎn) R 作 x 軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P，bF2為右焦點(diǎn)，若F1PF260，則橢圓的離心率為(B )9、151610,10,所以n寫出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:焦點(diǎn)坐標(biāo)為(. 3,0),(.3

20、,0),并且經(jīng)過點(diǎn)(2，1);橢圓的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0),(3,0),且短軸是長軸的_3310.n 0 ”是“方程mx22ny表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓的(A) 充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C) 充要條件(D)既不充分也不必要條件解析：將方程mx22ny1轉(zhuǎn)化為2xTm2y_Tn1,根據(jù)橢圓的定義,要使焦點(diǎn)在 y 軸上必須滿足離心率為仝，經(jīng)過點(diǎn)(2 , 0);22y161.212、與橢圓92J 1有相同的焦點(diǎn),且短軸長為 2 的橢圓方程是:413、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,J2橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1,F2在 x 軸上，離心率為鼻2F1的直線 I 交C于代B兩點(diǎn)，且2x

21、ABF2的周長為 16,那么C的方程為：(16214、已知F2為橢圓-252弋1的兩個焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)F2A F2B 12，貝 u AB _8_.215、已知 F、F2是橢圓C:務(wù)ay2umr unu與 1( a b 0)的兩個焦點(diǎn)，P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，且 PF1PF2,bm11、(1)長軸與短軸的和為 18,焦距為 6; _)2x252y1621或162乞1;252紅1;811718若厶 PF1F2的面積是 9,則 b _3_.16、求心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過 P （ 4 , 3 ） ,Q （2._2,3）兩點(diǎn)的橢圓方程。2解：設(shè)橢圓方程為篤a2殳1將PQ兩點(diǎn)

22、坐標(biāo)代入，解得a220,b2151.2.3.4.5.6.2故故20拋物線yA .52若拋物線A.(7,2-1為所求。15圓錐曲線練習(xí)題 210 x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（B ）-14)2x以橢圓155C .15D .1028x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為）。B.(14,、14)C.(7,2-14)D.( 7,2、14)251622xy164822xy16481A .C.F1,F2是橢圓21或2y1的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),離心率為以坐標(biāo)軸為對稱軸,C.y2若拋物線2的雙曲線方程（3x2或y2L 1271的兩個焦點(diǎn),以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過圓3x29x或y 3x2D.y2L 127以上都不對A為橢圓上一

23、點(diǎn)，且/AF1F2450，則AF1F2的面積為7.53x23x2或2x 6y 9y29xy2x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，貝U點(diǎn)0的圓心的拋物線的方程是 （D ）P的坐標(biāo)為（B ）191421 721 42B.(8, TC.)D. E2x9.與橢圓一46x的準(zhǔn)線方程為.L 1的離心率為丄，則k的值為4 或 -92422與拋物線y 4x交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是17.k為何值時，直線y kx 2和曲線2x33y26有兩個公共點(diǎn)？有一個公共點(diǎn)? 沒有公共點(diǎn)？y kx 22222解：由22，得2x23(kx 2)26，即(2 3k2)x212kx 6 02x23y26144k224(2 3k2)72k248312 .拋物線y2x7.橢圓492y241上一點(diǎn)P與橢圓的兩個焦點(diǎn)Fi、F2的連線互相垂直，則厶PFiF2的面積為2