人教版中考數(shù)學壓軸題解題模型----幾何圖形之半角模型(含解析匯報)

1、標準實用幾何圖形之半角模型主 題半角模型教學內(nèi)容教學目標1 .掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系。2 .掌握正方形的性質(zhì)定理 1和性質(zhì)定理2。3 .正確運用正方形的性質(zhì)解題。4 .通過四邊形的從屬關(guān)系滲透集合思想。5 .通過理解四種四邊形內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學生辯證觀點。知識結(jié)構(gòu)正方形的性質(zhì)因為正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有這些圖形性質(zhì)的綜合，因此正方形有以下性質(zhì)(由學生和老師一起總結(jié))。正方形性質(zhì)定理1:正方形的四個角都是直角，四條邊相等。正方形性質(zhì)定理2:正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。說明：定理2包括了

2、平行四邊形，矩形，菱形對角線的性質(zhì)，一個題設同時有四個結(jié)論，這是該定理的特點，在應用時需要哪個結(jié)論就用哪個結(jié)論，并非把結(jié)論寫全。 小結(jié)：(1)正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關(guān)系如上圖(2)正方形的性質(zhì)：正方形對邊平行。正方形四邊相等。正方形四個角都是直角。正方形對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。典型例題精講例1 .如圖，折疊正方形紙片 ABCD，先折出折痕BD，再折疊使AD邊與對角線BD重合，得折痕DG ,使 AD =2 ,求 AG .【解析】：作GML BD垂足為 M由題意可知/ ADG=GD M則4 ADG MDGDM=DA=2 AC=GM又易知：GM=BM而 BM=BD

3、-DM=22 -2=2 ( 6 -1 ), . AG=BM=2 較-1 ).例2 .如圖，P為正方形 ABCD內(nèi)一點，PA=PB=10 ,并且P點到CD邊的距離也等于10,求正 方形ABCD的面積？【解析】：過P作EF _L AB于F交DC于E .1設 PF =x，則 EF =10 + x , BF = (10 + x). 2由 PB2 =PF2 +BF2.2212可得：10 =x +(10+x).故 x =6 .2Sabcd =16 = 256.例3.如圖，E、F分別為正方形 ABCD的邊BC、CD上的一點， AM .L EF , ?垂足為M ,AM =AB ,則有 EF =BE +DF ,

4、為什么？【解析】：要說明EF=BE+DF只需說明BE=EM DF=FM：RT,而連結(jié)AE、AF.只要能說明 AB圖 AME ADH AMF即可.理由：連結(jié)AE AF.由 AB=AM AB± BC, AML EF, AE公用,.AB珞 AMEBE=ME同理可得， ADF AMFDF=MFEF=ME+MF=BE+DF例4.如下圖E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，且/EAF=45：試說明EF = BE + DF?！窘馕觥浚簩?ADF旋轉(zhuǎn)到 ABC則4AD陣 ABG AF=AG / ADF4 BAG DF=BG./ EAF=45且四邊形是正方形， / ADR / BAE=45 /

5、 GA& / BAE=45即/ GAE=45.AE已 AEG (SASEF=EG=EB BG=EB- DF例5.如圖，在正方形ABCD的BC、CD邊上取E、F兩點，/EAF =450,人6，£5于6.求證：AG=AB【解析】：欲證AG=AB,就圖形直觀來看，應證Rt ABE與Rt AGE全等，但條件不夠./ EAF=45°怎么用呢.?顯然/ 1 + 7 2=45° ,若把它們拼在一起，問題就解決了.【證明】：把 4AFD繞A點旋轉(zhuǎn).90°至乙AHB. / EAF=45 ,1+Z 2=45° . / 2=/3, .1 + Z 3=45&#

6、176; .又由旋轉(zhuǎn)所得AH=AF, AE=AE.AAEF AEH.例6. (1)如圖1,在正方形ABCD中，點E , F分別在邊BC ,CD 上，AE , BF 交于點 O , NAOF =90 0求證：BE =CF .(2)如圖2,在正方形 ABCD中，點E , H , F , G分別在邊 AB ,BC , CD , DA上，EF , GH 交于點 O/FOH =90； EF =4.求GH的長.圖21.已知點 巳H , F , G分別在矩形ABCD的邊AB , BC , CD , DA上，EF , GH交于點O, /FOH =90： EF =4.直接寫出下列兩題的答案:如圖3,矩形ABCD

7、由2個全等的正方形組成,求GH的長;如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GH的長(用n的代數(shù)式表示).D圖3cH圖4D證明：如圖1, 四邊形ABC時正方形，AB=BC / AB(=/BCD90 , /EAB/AEB90 . /EOB/AO邑 90 ,/FBG/AEB90 , /EAB/FBCAB降 BCF,BE=CF(2)解：如圖2,過點A作AM GHIx BC于M 過點B作BN/ EF交CD于N, AM與BN交于點O, 則四邊形AMHG:四邊形BNFE勻為平行四邊形，EF=BNGH=A M /FOHk 90 , AM/ GH EF/BN, ，/ NOA=90 故由得，AABIW B

8、CNAM=BNGHEF=4.(3) 8 . 4 n.圖i圖2鞏固訓練【雙基訓練】1.如圖6,點A在線段BG上，四邊形ABCD與DEFG都是正方形，？其邊長分別為3cm和5cm ,則ACDE的面積為 cm2 .文案大全(6)2 .你可以依次剪6張正方形紙片,拼成如圖7所示圖形.？如果你所拼得的圖形中正方形的面積為 1,且正方形與正方形的面積相等,?那么正方形的面積為3 .如圖9,已知正方形 ABCD的面積為35平方厘米，E、F分別為邊 AB、BC上的點.AF、CE 相交于G ,并且 MBF的面積為14平方厘米，ABCE的面積為5平方厘米，？那么四邊形BEGF的面積是4 .如圖，A、B、C三點在同

9、一條直線上，AB=2BC。分別以AB、BC為邊作正方形 ABEF和正方形BCMN，連接FN , EC。求證：FN=EC。5.如圖，ABCD是正方形.G是BC上的一點,(1)求證：zABF DAE ；(2)求證：DE =EF +FB .DE _L AG 于 E , BF _L AG 于 F .【縱向應用】6 .在正方形 ABCD中，N1=22.,-1求證：OF -BE27 .在正方形 ABCD 中，N1=N2. AE _L DF , 求證：OG = 1CE28 .如圖13,點E為正方形 ABCD對角線BD上一點，EF .L BC ,EG _CD求證：AE _ FG13DGC9 .已知：點E、F分

10、別正方形 ABCD中AB和BC的中點，連接 AF和DE相交于點G ,GH _L AD 于點 H .1、 求證：AF _L DE ；2、 如果AB =2,求GH的長;3、 求證：CG=CD【練習題答案】21 . 6cm.2 . 36.3 . 4 20cm （面積法）.274 .證明：FN=EC證明：在正方形 ABEF和正方形BCMNKAB=BE=EF BC=BN / FEN=/ EBC=90 AB=2BCEN=BC . FE陣 EBCFN=EC5 .略6 .提示：注意到基本圖形中的 AE=AF.1 .兩次應用內(nèi)角平分線定理和CE=CF證2 .過點。作 OGII DE和 CO=CG,CF=CET證

11、.1 _3 , 過點。作 OHI BE, OF= OH=- BE27 .提示：一條線段的一半或 2倍這兩者的位置關(guān)系有哪兩種8 .提示：延長 AE交GF于點M, DC,使CH=DGa接HF,證四邊形又捫I互補，法2:延長FE, AE證全等三角形一一49 . （1）略（2） （3）作 CML DG,證 DM=AG=0.5DG5專題(1)定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。(2)特征：邊：兩組對邊分別平行；四條邊都相等；內(nèi)角：四個角都是 90° ;對角線：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角。(3)主要識別方法：1:對角線相等的菱形是正方形

12、2:對角線互相垂直的矩形是正方形3:四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形4: 一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形5: 一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。正方形的中點四 邊形是正方形。典例精講例1.已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點，/PAD =/PDA =15 0求證：&PBC是正三角形.【證明】：如下圖做 DGC使與 ADP全等，可得 PDG為等邊,從而可得 DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC,和/ DCG= / PCG= 150所以/ DCP=

13、300 ,從而得出 PBC是正三角形例2.如圖，分別以 MBC的AC和BC為一邊，在 MBC的外側(cè)作正方形 ACDE和正方形CBFG ,點P是EF的中點.求證：點P到邊AB的距離等于 AB的一半.可得pq=eg+±h2由 EGAA AIC ,可得 EG=AI ,由BFH0CBI,可得 FH=BI?！咀C明】：過 E,C,F點分別作AB所在直線的高 EG CI, FH從而可得pq=A±±L=空， 22從而得證。例4.如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/AC, AE = AC , AE與CD相交于F .求證：CE=CF.【證明】：順時針旋轉(zhuǎn) ADE ,到 ABG ,連接

14、CG 由于/ ABG= /ADE=90 0+450=1350從而可得 B, G, D在一條直線上，可得AGBCGB。推出AE=AG=AC=GC ,可得 AGC為等邊三角形。 /AGB=30°,既得/ EAC=30°,從而可得/ A EC=75°。 又/ EFC=/DFA=45 0+300=750.可證：CE=CF。E例6.設P是正方形ABCD 一邊BC上的任一點，PF _L AP , CF平分/ DCE . 求證：PA = PF .【證明】：作 FGJ1 CD FE± BE ,可以得出 GFEC為正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 P

15、C=Y-X 。Xtan / BAP=tan / EPF=Y,可得 YZ=XY-X +XZ ,Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得得到PA=PF ,得證。X=Z ,得出 ABPA PEF ,例7.已知：P是邊長為1的正方形 ABCD內(nèi)的一點，求 PA+PB+PC的 最小值.【證明】：順時針旋轉(zhuǎn) BPC 600 ,可得 PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一條直線上， 即如下圖：可得最小 PA+PB+PC=AF。例8. P為正方形ABCD內(nèi)的一點，并且PA =a , PB =2a , PC =3a ,求正方形的 邊長.【證明

16、】順時針旋轉(zhuǎn) ABP 900 ,可得如下圖:既得正方形邊長C)2|_a = y5+2/2Lia ?！倦p基訓練】1 .如圖，四邊形 ABCD是正方形，對角線 AC、BD相交于O,四邊形BEFD 長為6,則菱形的面積為 2 .如圖，ABCD是正方形，E為BF上一點，四邊形 AFEC ?恰是一個菱形，？則/£慶8=【縱向應用】3 .如圖，四邊形 ABCD是邊長為a的正方形，點G, E分別是邊AB , BC的中點，/AEF=90)且EF交正方形外角的平分線 CF于點F .(1)證明：ZBAE =NFEC ;(2)證明：AAGE m AECF;(3)求AAEF的面積.【橫向拓展】4 .如圖，四

17、邊形 ABCD是正方形， MBE是等邊三角形， M為對角線BD （不含B點）上任意一點,將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60 口得到BN，連接EN、AM、CM .求證：MMB =hENB ; 當M點在何處時，AM +CM的值最小；當M點在何處時， AM +BM +CM的值最小，并說明理由； 當AM +BM +CM的最小值為 J3+1時，求正方形的邊長.【練習題答案】1 . 362 .【解析】連結(jié) BD交AC于點O,彳EML AC于點M設正方形邊長為 a,貝U AC=BD=AE=2a又 AC/ BF, BOL AC, EML AC,BO=EM=1 BD=a.22在 RtMEM中,AE=J2a,EMa.2/

18、 CAE=30 .則/ EAB=15 .3. (1)證明：AE=90°,/ FEG/AEE=90°.在 RtMBE中,/ AEE+Z BAE=90o, / BAE：/ FEC(2)證明：: G, E分別是正方形 ABCD勺邊AB BC的中點, AG=GB=BE=EC/ AGE180o 45o=135o.又 CF是/ DCH勺平分線，/ EC=900+45o=135°.在 AG序口 EC升，AG = EC,o2AGE =NECF =1350,ZGAE =/FEC JAGE2 ECF(3)解：由 AG日 ECF 彳導 AE=EF 又AEF=900,.AEF是等腰直角三角形.15由 AB=a BE=；a,知 AE=一： a,. Sa aef= -a2.4.【解析】： ABE是等邊三角形， .BA= BE, Z ABE= 60° . / MBNk 60° , / MBNb / ABNk / ABE- / ABN.即/ BMA= / NBE.又 MB= NR .AM軍 ENB (SAS . 5分當M點落在BD的中點時，AM CM的值最小.如圖，連接 CE,當M點位于BD與CE的交點處時，AM BM CM勺值最小.理由如下：連接 MN由知， AM望 ENBAM= E