二次函數(shù)與平行四邊形綜合

1、第十八講二次函數(shù)與平行四邊形綜合、教學(xué)內(nèi)容1 .二次函數(shù)的表示，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)；2 .平行四邊形的性質(zhì)和判定；3 .函數(shù)圖像與平行四邊形的綜合應(yīng)用，典型應(yīng)用、圖像題;二、例題細(xì)看【例1】 已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y3-X 6與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B , 4將 OBA對(duì)折，使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C.(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過(guò) A、B C三點(diǎn)的拋物線的解析式;(2)若拋物線的頂點(diǎn)為 D ,在直線BC上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形 ODAP為平行四邊形若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線 BC的交點(diǎn)為T(mén) ,Q為

2、線段BT上一 點(diǎn)，直接寫(xiě)出QA QO的取值范圍.【考點(diǎn)分析】二次函數(shù)綜合題【PEC分析】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)為 0,得橫坐標(biāo)為8,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8, 0); 點(diǎn)B的坐標(biāo)是橫坐標(biāo)為 0,解得縱坐標(biāo)為 6,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0, 6);由題意得：BC是/ ABO的角平分線，所以 OC=CH BH=OB=6 AB=10, AH=4 設(shè) OC=x 則 AC=8-x 由勾股定理得：x=3.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3, 0)將此三點(diǎn)代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得；(2)求得直線BC的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角相等，對(duì)邊平行且相等，借助于三函數(shù)即可求 得；(3)如圖，由對(duì)稱性可知 QO=QH

3、|QA-QO|=|QA-QH| .當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，Q H A三點(diǎn)共線，|QA-QO|取得最大值4 (即為AH的長(zhǎng))；設(shè)線段 OA的垂直平分線與直線 BC的交點(diǎn)為K,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)K重 合時(shí)，|QA-QO|取得最小值0.【跟蹤練習(xí)】 例1.(浙江義烏市)如圖，拋物線y x2 2x 3與x軸交A B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線 AC的函數(shù)表達(dá)式；(2) P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于 E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；(3)點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在 x軸上是否存在點(diǎn) F,使A、C F、G這樣的四個(gè)

4、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例2】 如圖，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A(n , 0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n 0).以AO為一邊作矩形 AOBC，點(diǎn)C在 第二象限，且 OB 20A.矩形 AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得矩形 AGDE .過(guò)點(diǎn) A的直線 y kx m (k 0)交y軸于點(diǎn)F , FB FA.拋物線y ax2 bx c過(guò)點(diǎn)E、F、G且和直線 AF 交于點(diǎn)H ,過(guò)點(diǎn)H作HM x軸，垂足為點(diǎn)M .求k的值；點(diǎn)A位置改變時(shí)，AMH的面積和矩形 AOBC的面積的比值是否改變說(shuō)明你的理由.【PEC分析】（1）由題意知 OB=2OA=2n在

5、直角三角形 AEO43, OF=OB-BF=-2n-AF,因此可用勾股定理求出AF的表達(dá)式，也就求出了FB的長(zhǎng)，由于F的坐標(biāo)為（0, mD據(jù)此可求出 m, n的關(guān)系式，可用n替換掉一次函數(shù)中m的值，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出 k的值.（2）思路同（1） 一樣，先用n表示出E、F、G的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中，得出 a, b, c與n 的函數(shù)關(guān)系式，然后用 n表示出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而可用 n表示出H點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出 AMH勺面 積和矩形AOBC勺面積進(jìn)行比較即可.【跟蹤練習(xí)】（1）在圖1, 2, 3中，給出平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn)A, B, D的坐標(biāo)（如圖所示），寫(xiě)出圖1, 2,

6、 3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，它們分別是 （5,2）, （2）在圖4中，給出平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn)A, B, D的坐標(biāo)（如圖所示），求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（C點(diǎn)坐標(biāo)用含a, b, c, d, e, f的代數(shù)式表示）；歸納與發(fā)現(xiàn)（3）通過(guò)對(duì)圖1,2, 3, 4的觀察和頂點(diǎn) C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形ABCD處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（a, b）, B（c, d）, C（m, n）, D（e, f）（如圖4）時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a,c,m,e之間的等量關(guān)系為 ；縱坐標(biāo)b,d,n,f之間的等量關(guān)系為運(yùn)用與推廣21519(4)在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線y X (5c 3)x c和

7、二個(gè)點(diǎn)G c,c , S c,c ,2 22 2H (2c,0)(其中c 0).問(wèn)當(dāng)c為何值時(shí)，該拋物線上存在點(diǎn)P,使得以G, S, H , P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形并求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).3 【例3】 如圖1, Rt ABC中， A 90 , tanB 3,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q、R分別在線段BC、 4AC上，且使得四邊形 APQR是矩形.設(shè)AP的長(zhǎng)為x ,矩形APQR的面積為y ,已知y是x的函數(shù)，其圖象是過(guò)點(diǎn) 12,36的拋物線的一部分(如圖 2所示).(1)求AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)AP為何值時(shí)，矩形 APQR的面積最大，并求出最大值.為了解決這個(gè)問(wèn)題，孔明和研究性學(xué)習(xí)小組的同

8、學(xué)作了如下討論：張明：圖2中的拋物線過(guò)點(diǎn) 12,36在圖1中表示什么呢李明：因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)(x,y)是表示圖1中AP的長(zhǎng)與矩形APQR面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么12,36 表示當(dāng)AP 12時(shí)，AP的長(zhǎng)與矩形APQR面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系Ox趙明：對(duì)，我知道縱坐標(biāo) 36是什么意思了！孔明：哦，這樣就可以算出 AB,這個(gè)問(wèn)題就可以解決了請(qǐng)根據(jù)上述對(duì)話，幫他們解答這個(gè)問(wèn)題.關(guān)知識(shí)考查了二次函的函數(shù)關(guān)系式是解題【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合三角形、矩形的相 數(shù)的應(yīng)用，用數(shù)形結(jié)合的思路求得相應(yīng) 的關(guān)鍵【PEC分析】(1)由于y是x的函數(shù)且過(guò)(12, 36)點(diǎn)，即AP=12時(shí)，矩形的面積為 36,可求出PQ的長(zhǎng)， 進(jìn)而在直角三

9、角形 BPQ中得出BP的值，根據(jù) AB=AP+BP可求出AB的長(zhǎng).(2)與(1)類似，可先用 AP表示出BP的長(zhǎng)，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的長(zhǎng)；根據(jù)矩形的面積計(jì)算方法即可得出關(guān)于 y, x的函數(shù)關(guān)系式.然后可根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)求出矩形的最大面積以及 此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.【跟蹤練習(xí)】 如圖，已知與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和B(5,0)的拋物線li的頂點(diǎn)為C(3,4),拋物線12與 li關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為C .(1)求拋物線12的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知原點(diǎn)O,定點(diǎn)D(0,4), 12上的點(diǎn)P與11上的點(diǎn)P始終關(guān)于x軸對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng) 到何處時(shí)，以點(diǎn)D, O, P, P為頂點(diǎn)的四邊形是

10、平行四邊形(3)在12上是否存在點(diǎn)M ,使4ABM是以AB為斜邊且一個(gè)角為30的直角三角形若存，求 出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【例4】 如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(4,0) C(0,2), D為OA的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P 是 AOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合).(1)試證明：無(wú)論點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到何處，PC總與PD相等；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確 定過(guò)O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)設(shè)點(diǎn)E是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，PDE的周長(zhǎng)最小求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和 PDE的周長(zhǎng)；(4)設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對(duì)稱中心，是否存在點(diǎn) P,使

11、 CPN 90°若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).O【PEC分析】本題綜合考查了三角形全等、一次函數(shù)、二次函數(shù)，及線段最短和探索性的問(wèn)題.(1)通過(guò) PO® POD而證得 PC=PD.(2)首先要確定P點(diǎn)的位置，再求出P、F兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求的拋物線解析式；(3)此問(wèn)首先利用對(duì)稱性確定出P點(diǎn)位置是EC與/ AOC的平分線的交點(diǎn)，再利用拋物線與 直線CE的解析式求出交點(diǎn)P的坐標(biāo).進(jìn)而求的 PED的周長(zhǎng)；(4)要使/ CPN=90° ,則P點(diǎn)是以CN的中點(diǎn)為圓心以CN為直徑的圓與角平分線的交點(diǎn)，由 此就易于寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo).【例5】 如圖，已知拋物線li ： y x

12、2 4的圖象與x軸相交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線L上的動(dòng)點(diǎn)(B不與ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為A、C重合)，拋物線12與li關(guān)于x軸對(duì)稱，以AC為對(duì)角線的平行四邊形D .(1)求12的解析式；(2)求證：點(diǎn)D一定在12上；(3)平行四邊形 ABCD能否為矩形如果能為矩形，求這些矩形公共部 分的面積(若只有一個(gè)矩形符合條件，則求此矩形的面積)；如 果不能為矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由.(注：計(jì)算結(jié)果不取近似值.)【PEC分析】(1)根據(jù)11的解析式可求11與x軸的交點(diǎn)為A (-2, 0) , C (2, 0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0, -4) , 12與11關(guān)于x軸對(duì)稱，實(shí)際上是12與11的頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，即12的頂點(diǎn)為

13、(0, 4),設(shè)頂點(diǎn) 式，可求拋物線12的解析式；(2)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 B、D也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn) B (m, n),則點(diǎn)D (-m, -n ),由于 B (mi, n)點(diǎn)是 y=x2-4 上任意一點(diǎn)，則 n=m2-4, . .-n=- (m2-4) =-m2+4=- (-m) 2+4, 可知點(diǎn) D (-m, -n)在l2y=-x2+4 的圖象上；(3)構(gòu)造/ ABC=90是關(guān)鍵，連接 OB只要證明 OB=O出可，為求 OB長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作BHL x軸于H,用B 的坐標(biāo)為(x0, X02-4 ),可求 OB用OB=OCjt x0,再計(jì)算面積.【跟蹤練習(xí)】如圖，已知

14、拋物線Ci與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是 A 4,0, B 2,0, E0,8(1)求拋物線Ci關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線 C2的解析式;(2)設(shè)拋物線Ci的頂點(diǎn)為M ,拋物線C2與x軸分別交于C, D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，頂點(diǎn) 為N ,四邊形MDNA的面積為S.若點(diǎn)A,點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別 向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)M ,點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止.求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式， 并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形 M

15、DNA能否形成矩形若能，求出此時(shí) t的值；若不能，說(shuō)明理由.三、課堂一試2在第一象限內(nèi)的圖象上的任一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,1,1.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P為函數(shù)y 1x4直線l過(guò)B 0 , 1且與x軸平行，過(guò)P作y軸的平行線分別交 x軸、直線l于C、Q ,連結(jié)AQ交x軸于H ,直線PH交y軸于R .求證：H點(diǎn)為線段AQ的中點(diǎn); 求證：四邊形 APQR為菱形;除P點(diǎn)外，直線PH與拋物線y1 2 . 一一.1x2有無(wú)其它公共點(diǎn)若有， 求出其它公共點(diǎn)的坐標(biāo)； 若沒(méi)有,4請(qǐng)說(shuō)明理由.2 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過(guò)直線y2與y軸的交點(diǎn)A和點(diǎn)M 叵,0.2(1)求這條拋物

16、線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式;(2)將(1)中所求拋物線沿x軸平移.在題目所給的圖中畫(huà)出沿x軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線大致圖象;設(shè)沿x軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線對(duì)稱軸與直線AB相交于C點(diǎn).判斷以。為圓心，OC為半徑的圓與直線 AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;3 3) P點(diǎn)是沿x軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)。求P點(diǎn)的坐標(biāo)，使得以O(shè)、A C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.3 .如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上，邊 OC在y軸的正半軸上,且AB 1 , OB 壽，矩形ABOC繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60：1后得到矩形EFOD .點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E , 點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)

17、點(diǎn)為點(diǎn) F ,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) D ,拋物線y ax2 bx c過(guò)點(diǎn)A, E , D .(1)判斷點(diǎn)E是否在y軸上，并說(shuō)明理由;(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(3)在x軸的上方是否存在點(diǎn)P ,點(diǎn)Q ,使以點(diǎn)O , B , P , Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點(diǎn)P在拋物線上，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P,點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.4 .如圖10,已知拋物線P: y=ax2+bx+c(a w 0)與x軸交于 A B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的正半軸上), 與y軸交于點(diǎn)C,矩形DEFG勺一條邊DE在線段AB上，頂點(diǎn)F、G分別在線段BC AC上，拋 物線P上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下

18、：x-3-212y5-2-45-20(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m, 0),矩形DEFG勺面積為S,求S與m的函數(shù) 關(guān)系，并指出m的取值范圍;(3)當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，連接 DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M,使FM=k- DF,若點(diǎn)M不在拋物線P上，求k的取值范圍.圖105 .如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH點(diǎn)H的坐標(biāo)為(一8, 0),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(6, 4).(1)畫(huà)出直角梯形 OMNH點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC并寫(xiě)出頂點(diǎn) A, B, C的坐標(biāo)(點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 為A, 點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B, 點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 C);(2)求出過(guò)A, B, C三點(diǎn)的拋物線的表

19、達(dá)式；(3)截取 CE=OFAG=m 且E, F, G分別在線段 CO OA AB上，求四邊形 BEFG勺面積S與m之間的 函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 m的取值范圍；面積S是否存在最小值若存在， 請(qǐng)求出這個(gè)最小值； 若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)在(3)的情況下，四邊形 BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)m的值,并指出相等的鄰邊；若不存在，說(shuō)明理由.6 .如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC已知 Q0 , 0), A(4 , 0), C(0 , 3),點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O A不重合).現(xiàn)將 PA鄙PB翻折，得到 PDB再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E, 將A

20、 PO曰gPE翻折，得到 PFE并使直線 PD PF重合.(1)設(shè)Rx, 0) , E(0 , y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求 y的最大值；(2)如圖2,若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過(guò)點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn) Q使 PEQ是以PE為直角邊的直角三角形若不存在，說(shuō) 明理由；若存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo).四、課后有練1.如圖，矩形ABCDKAB= 3, BG= 4,將矩形 ABC弟對(duì)角線 A平移，平移后的矩形為 EFGHA、E、C G始終在同一條直線上)，當(dāng)點(diǎn)E與C重時(shí)停止移動(dòng).平移中EF與BC交于點(diǎn)N GHW BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) MEH與DC于點(diǎn)P, FGW DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q設(shè)S表示矩形PCMHffl積，S表示矩形NFQC勺面積.(1)S與