高等數(shù)學(xué)同濟五版[7]

1、 .wd.習(xí)題12-4 1.求以下微分方程的通解: (1);解. (2)xy¢+y=x2+3x+2;解原方程變?yōu)? (3)y¢+ycos x=e-sin x;解. (4)y¢+ytan x=sin 2x;解=cos x(-2cos x+C)=C cos x-2cos2x. (5)(x2-1)y¢+2xy-cos x=0;解原方程變形為. (6);解. (7);解. (8)yln ydx+(x-ln y)dy=0;解原方程變形為. (9);解原方程變形為.=(x-2)(x-2)2+C=(x-2)3+C(x-2). (10).解原方程變形為. 2.求以下微分

2、方程滿足所給初始條件的特解: (1),y|x=0=0;解.由y|x=0=0,得C=0,故所求特解為y=xsec x. (2),y|x=p=1;解.由y|x=p=1,得C=p-1,故所求特解為. (3),;解.由,得C=1,故所求特解為. (4),y|x=0=2;解.由y|x=0=2,得,故所求特解為. (5),y|x=1=0.解.由y|x=1=0,得,故所求特解為. 3.求一曲線的方程,這曲線通過原點,并且它在點(x,y)處的切線斜率等于2x+y.解由題意知y¢=2x+y,并且y|x=0=0.由通解公式得=ex(-2xe-x-2e-x+C)=Cex-2x-2.由y|x=0=0,得C=

3、2,故所求曲線的方程為y=2(ex-x-1). 4.設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動,從速度等于零的時刻起,有一個與運動方向一至、大小與時間成正比(比例系數(shù)為k1)的力作用于它,此外還受一與速度成正比(比例系數(shù)為k2)的阻力作用.求質(zhì)點運動的速度與時間的函數(shù)關(guān)系.解由牛頓定律F=ma,得,即.由通解公式得.由題意,當(dāng)t=0時v=0,于是得.因此即. 5.設(shè)有一個由電阻R=10W、電感L=2h(亨)和電源電壓E=20sin5tV(伏)串聯(lián)組成的電路.開關(guān)K合上后,電路中有電源通過.求電流i與時間t的函數(shù)關(guān)系.解由回路電壓定律知,即.由通解公式得.因為當(dāng)t=0時i=0,所以C=1.因此(A). 6.

4、設(shè)曲在右半平面(x>0)內(nèi)與路徑無關(guān),其中f(x)可導(dǎo),且f(1)=1,求f(x).解因為當(dāng)x>0時,所給積分與路徑無關(guān),所以,即f(x)=2f(x)+2xf¢(x)-2x,或.因此.由f(1)=1可得,故. 7.求以下伯努利方程的通解: (1);解原方程可變形為,即.,原方程的通解為. (2);解原方程可變形為,即.,原方程的通解為. (3);解原方程可變形為,即.,原方程的通解為. (4);解原方程可變形為,即.,原方程的通解為. (5)xdy-y+xy3(1+ln x)dx=0.解原方程可變形為,即.,原方程的通解為. 8.驗證形如yf(xy)dx+xg(xy)dy

5、=0的微分方程,可經(jīng)變量代換v=xy化為可別離變量的方程,并求其通解.解原方程可變形為.在代換v=xy下原方程化為,即,積分得,對上式求出積分后,將v=xy代回,即得通解. 9.用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將以下方程化為可別離變量的方程,然后求出通解: (1);解令u=x+y,那么原方程化為,即.兩邊積分得x=arctan u+C.將u=x+y代入上式得原方程的通解x=arctan(x+y)+C,即y=-x+tan(x-C). (2);解令u=x-y,那么原方程化為,即dx=-udu.兩邊積分得.將u=x+y代入上式得原方程的通解,即(x-y)2=-2x+C(C=2C1). (3)xy¢+y=y(ln x+ln y);解令u=xy,那么原方程化為,即.兩邊積分得 ln x+ln C=lnln u,即u=eCx.將u=xy代入上式得原方程的通解xy=eCx,即. (4)y¢=y2+2(sin x-1)y+sin2x-2sin x-cos x+1;解原方程變形為y¢=(y+sin x-1)2-cos x.令u=y+sin x-1,那么原方程化為,即.兩邊積分得.將u=y+sin x-1代入上式得原方程的通解,即. (5)y(xy+1)dx+x(1+xy+x2y2