考研數(shù)學(xué)答題技巧及總結(jié)

1、2016考研數(shù)學(xué)二：高數(shù)必考重點(diǎn)及題型分析 章節(jié)             知識(shí)點(diǎn)             題型             重要度等級(jí)             第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 等價(jià)無(wú)窮小代換、洛必達(dá)法則、泰勒展開式 求函數(shù)的極限 函數(shù)連續(xù)的概念、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 判斷函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)的類型 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 導(dǎo)數(shù)的定義、可導(dǎo)與連

2、續(xù)之間的關(guān)系 按定義求一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值 討論函數(shù)的單調(diào)性、極值 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理 微分中值定理及其應(yīng)用 第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 變限積分求導(dǎo)問題 有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 計(jì)算被積函數(shù)為有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分和定積分 第四章 多元函數(shù)微積分學(xué) 隱函數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分的存在性以及它們之間的因果關(guān)系 函數(shù)在一點(diǎn)處極限的存在性，連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性，全微分存在性與偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性的討論與它們之間的因果關(guān)系 二重積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算

3、二重積分的計(jì)算及應(yīng)用 第五章 常微分方程 一階線性微分方程、齊次方程，微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用 用微分方程解決一些應(yīng)用問題 2016考研數(shù)學(xué)二：線性代數(shù)必考重點(diǎn)及題型分析 章節(jié)             知識(shí)點(diǎn)             題型             重要度等級(jí)             第一章 行列式 行列式的運(yùn)算 計(jì)算抽象矩陣的行列式 第二章 矩陣

4、矩陣的運(yùn)算 求矩陣高次冪等 矩陣的初等變換、初等矩陣 與初等變換有關(guān)的命題 第三章 向量 向量組的線性相關(guān)及無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法 向量組的線性相關(guān)性 線性組合與線性表示 判定向量能否由向量組線性表示 第四章 線性方程組 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解 第五章 矩陣的特征值和特征向量 實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)，化為相似對(duì)角陣的方法 有關(guān)實(shí)對(duì)稱矩陣的問題 相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì) 相似矩陣的判定及逆問題 第六章 二次型 二次型的概念 求二次型的矩陣和秩 合同變換與合同矩陣的概念 判定合同矩陣 數(shù)學(xué)高手教你五招考研數(shù)學(xué)考場(chǎng)答題技巧考研數(shù)學(xué)備考，

5、基礎(chǔ)知識(shí)很重要，考生們需要打好基礎(chǔ)，才能取得高分，但是，考試中的一些解題技巧往往能夠幫助大家提高解題效率及準(zhǔn)確率，下面小編就為大家整理一些考研牛人的答題技巧，希望大家認(rèn)真閱讀，靈活運(yùn)用。一、踩點(diǎn)得分對(duì)于同一道題目，有的人理解得深，有的人理解得淺，有的人解答得多，有的人解答得少。為了區(qū)分這種情況，閱卷評(píng)分辦法是懂多少知識(shí)就給多少分。也叫踩點(diǎn)給分，即踩上知識(shí)點(diǎn)就得分，踩得多就多得分。因此，對(duì)于難度較大的題目可以采用這一策略，其基本精神就是會(huì)做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭(zhēng)多得分。因此，會(huì)做的題目要特別注意表達(dá)準(zhǔn)確、邏輯清晰、書寫規(guī)范、語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)，防止被“分段扣點(diǎn)分”。二、大題拿小分有的大題難度

6、比較大，確實(shí)啃不動(dòng)。一個(gè)聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個(gè)個(gè)小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步。尚未成功不等于失敗，特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每進(jìn)行一步得分點(diǎn)的演算都可以得分。最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過(guò)半。三、以后推前考生在解題過(guò)程中卡在某一步是很常見，這時(shí)可以換一種思路，也許就會(huì)柳暗花明又一村。同學(xué)們可以把卡殼處空下來(lái)，先承認(rèn)中間結(jié)論，再往后推，看能否得到結(jié)論。如果不能，說(shuō)明這個(gè)途徑不對(duì)，立即改變方向;如果能得出預(yù)期結(jié)論，就回過(guò)頭來(lái)，集中力量攻克這一“卡殼處”。四、跳步解答由于考試時(shí)間的限制，“卡殼處”

7、來(lái)不及攻克了，那么可以把前面的寫下來(lái)，再寫出“證實(shí)某步之后，繼續(xù)有”一直做到底，這就是跳步解答。也許，后來(lái)中間步驟又想出來(lái)，這時(shí)不要亂七八糟插上去，可補(bǔ)在后面，“事實(shí)上，某步可證明或演算如下”，以保持卷面的工整。若題目有兩問，第一問想不出來(lái)，可把第一問作“已知”，“先做第二問”，這也是跳步解答。五、以退求進(jìn)以退求進(jìn)是一種重要的解題策略，也是做題的最高境界。如果你不能解決所提出的問題，那么可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從整體退到部分，從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論。總之，退到一個(gè)能夠解決的問題。為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解，應(yīng)開門見山寫上“本題分幾種情況”。這樣，還會(huì)為尋找正確

8、的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā)。這個(gè)技巧需要同學(xué)們做題做到一定境界來(lái)體會(huì)，如果可以做到這一步，那么什么難題都不是難題了。作為考研人，唯一的目的就是考出高分考進(jìn)夢(mèng)想中的院校。2015考研數(shù)學(xué)答題技巧填空題在考研數(shù)學(xué)中，填空題包含6道小題，每小題4分，共24分。填空題考查的知識(shí)點(diǎn)也是比較基礎(chǔ)的知識(shí)，但是主要考察考生的基本運(yùn)算能力。最常用的技巧是“代入法”，考生可以把一些特殊的數(shù)字帶入的題目中去運(yùn)算。填空題只是要最后的結(jié)果，不用寫出運(yùn)算步驟，因此我們只要得出結(jié)果就行，不管用什么樣的方法。因此，在做填空題時(shí)，方法和過(guò)程不重要，重要的是運(yùn)算結(jié)果，要用最簡(jiǎn)單、最有效的方法算出結(jié)果。考生在日常做題時(shí)要經(jīng)常

9、運(yùn)用這些技巧，將填空題計(jì)算常用的方法技巧爛熟于心，運(yùn)用起來(lái)才更加得心應(yīng)手。填空題的答案也是唯一的，做題的時(shí)候給出最后的結(jié)果就行，不需要推導(dǎo)過(guò)程，同樣也是答對(duì)得滿分，答錯(cuò)或者不答得0分，不倒扣分。這一部分的題目一般是需要一定技巧的計(jì)算，但不會(huì)有太復(fù)雜的計(jì)算題。題目的難度與選擇題不相上下，也是適中。填空題總共有6個(gè)，一般高數(shù)4個(gè)，線代和概率各1個(gè)，主要考查的是考研數(shù)學(xué)中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性質(zhì)。做這24分的題目時(shí)需要認(rèn)真審題，快速計(jì)算，并且需要有融會(huì)貫通的知識(shí)作為保障。2015考研數(shù)學(xué)答題技巧選擇題1.推演法。提示條件中給出一些條件或者一些數(shù)值，你很容易判斷，那這樣

10、的題就用推演法去做。推演法實(shí)際上是一些計(jì)算題，簡(jiǎn)單一點(diǎn)的計(jì)算題。那么從提示條件中往后推，推出哪個(gè)結(jié)果選擇哪個(gè)。2.賦值法。給一個(gè)數(shù)值馬上可以判斷我們這種做法對(duì)不對(duì)，這個(gè)值可以加在給出的條件上，也可以加在被選的4個(gè)答案中的其中幾個(gè)上，我們加上去如果得出和我們題設(shè)的條件矛盾，或者是和我們已知的事實(shí)相矛盾。比方說(shuō)2小于1就是明顯的錯(cuò)誤，所以把這些排除了，排除掉3個(gè)最后一個(gè)肯定是正確的。3.舉反例排除法。這是針對(duì)提示中給出的函數(shù)是抽象的函數(shù)，抽象的對(duì)立面是具體，所以我們用具體的例子來(lái)核定，這個(gè)跟我們剛才的賦值法有某種相似之處。一般來(lái)講舉的范例是越簡(jiǎn)單越好，而且很多考題你只要簡(jiǎn)單的看就可以看出他的錯(cuò)誤點(diǎn)

11、。4.類推法。從最后被選的答案中往前推，推出哪個(gè)錯(cuò)誤就把哪個(gè)否定掉，再換一個(gè)。我們推出3個(gè)錯(cuò)誤最后一個(gè)肯定是正確的。后面三種方法有些相似之處，類推法這種方法是費(fèi)時(shí)費(fèi)力的，一般來(lái)講我們不太用?？偨Y(jié)：經(jīng)常進(jìn)行自我總結(jié)，錯(cuò)題總結(jié)能逐漸提高解題能力。大家可以在學(xué)完每一章后，自己通過(guò)畫圖的形式回憶這章有哪些知識(shí)點(diǎn)，有哪些定理，他們之間有些什么聯(lián)系，如何應(yīng)用等;對(duì)做錯(cuò)的題分析一下原因：概念不清楚、定理用錯(cuò)了還是計(jì)算粗心?數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有對(duì)此進(jìn)行歸納、領(lǐng)會(huì)、應(yīng)用，才能把數(shù)學(xué)知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為分析問題、解決問題的能力，使解題能力“更上一層樓”。2015考研數(shù)學(xué)答題技巧證明題1.結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)

12、存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明

13、題并不是很多，更多的是要用到第二步。2.借助幾何意義尋求證明思路一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合

14、所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在0，1上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。3.逆推法從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這

15、里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的考生來(lái)說(shuō)，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的考生來(lái)說(shuō)，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來(lái)建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。考研數(shù)學(xué)：?jiǎn)芜x與證明題經(jīng)典解題技巧很多同學(xué)準(zhǔn)備考研買了各種輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)的資料，大量練習(xí)認(rèn)為這樣的話一是能通過(guò)題復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，還有就是期望通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)能做到考試真題

16、。這種盲目的做題方法未必能高效提升成績(jī)。同學(xué)們一定要明確，做題不是目的，是為了更好的培養(yǎng)答題的感覺，理清思路，鞏固知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于考研數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，題海無(wú)邊但題型有限。我們可以通過(guò)對(duì)典型題型的練習(xí)，掌握相應(yīng)的解題方法，能迅速提高解題能力，節(jié)省考場(chǎng)上的寶貴時(shí)間。在此，我們數(shù)學(xué)教研室李老師為大家整理單選題和證明題經(jīng)典解題技巧。一、單選題巧解技巧總結(jié)為五種方法：第一種：推演法。提示條件中給出一些條件或者一些數(shù)值，你很容易判斷，那這樣的題就用推演法去做。推演法實(shí)際上是一些計(jì)算題，簡(jiǎn)單一點(diǎn)的計(jì)算題。那么從提示條件中往后推，推出哪個(gè)結(jié)果選擇哪個(gè)。第二種：賦值法。給一個(gè)數(shù)值馬上可以判斷我們這種做法對(duì)不對(duì)，這個(gè)值可以

17、加在給出的條件上，也可以加在被選的4個(gè)答案中的其中幾個(gè)上，我們加上去如果得出和我們題設(shè)的條件矛盾，或者是和我們已知的事實(shí)相矛盾。比方說(shuō)2小于1就是明顯的錯(cuò)誤，所以把這些排除了，排除掉3個(gè)最后一個(gè)肯定是正確的。第三種：舉反例排除法。這是針對(duì)提示中給出的函數(shù)是抽象的函數(shù)，抽象的對(duì)立面是具體，所以我們用具體的例子來(lái)核定，這個(gè)跟我們剛才的賦值法有某種相似之處。一般來(lái)講舉的范例是越簡(jiǎn)單越好，而且很多考題你只要簡(jiǎn)單的看就可以看出他的錯(cuò)誤點(diǎn)。第五種：類推。從最后被選的答案中往前推，推出哪個(gè)錯(cuò)誤就把哪個(gè)否定掉，再換一個(gè)。我們推出3個(gè)錯(cuò)誤最后一個(gè)肯定是正確的。后面三種方法有些相似之處，類推法這種方法是費(fèi)時(shí)費(fèi)力的

18、，一般來(lái)講我們不太用?？偨Y(jié)：經(jīng)常進(jìn)行自我總結(jié)，錯(cuò)題總結(jié)能逐漸提高解題能力。大家可以在學(xué)完每一章后，自己通過(guò)畫圖的形式回憶這章有哪些知識(shí)點(diǎn)，有哪些定理，他們之間有些什么聯(lián)系，如何應(yīng)用等;對(duì)做錯(cuò)的題分析一下原因：概念不清楚、定理用錯(cuò)了還是計(jì)算粗心?數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有對(duì)此進(jìn)行歸納、領(lǐng)會(huì)、應(yīng)用，才能把數(shù)學(xué)知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為分析問題、解決問題的能力，使解題能力“更上一層樓”。二、證明題總結(jié)為三大解題方法：1.結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。

19、如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的 存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。2.借助幾何意義尋求證明思路。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如200

20、7年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及 y=1-x在0，1上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大

21、小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。3.逆推法從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所 舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè) F(x)=l

22、n*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的考生來(lái)說(shuō)，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的考生來(lái)說(shuō)，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來(lái)建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。最后，李老師提醒大家：強(qiáng)化階段大家應(yīng)把復(fù)習(xí)過(guò)的知識(shí)系統(tǒng)化綜合化，注意搞細(xì)搞透搞活，也可適當(dāng)做幾套模擬題。數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，考生們要在考試中取得好成績(jī)，一定要腳踏實(shí)地地復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。最權(quán)威的考研數(shù)學(xué)解題技巧用最短的時(shí)間取得高分第

23、一部分：?jiǎn)芜x題的基本解題方法1.推演法：從題設(shè)條件出發(fā)，按慣常思維運(yùn)用有關(guān)的概念、性質(zhì)、定理等，經(jīng)過(guò)直接的推理、演算，得出正確結(jié)論。適用對(duì)象：對(duì)于圍繞基本概念設(shè)置的，或備選項(xiàng)為數(shù)值形式結(jié)果的或某種運(yùn)算律形式或條件為某種運(yùn)算形式的，常用推演法。個(gè)人觀點(diǎn)：這種方法應(yīng)該是最常用的，并且所有的題都能通過(guò)這種方法解出來(lái)，大家應(yīng)該注重對(duì)基本概念和定理的記憶和運(yùn)用。2.圖示法：是指根據(jù)條件作出所研究問題的幾何圖形，然后借助幾何圖形的直觀性，“看”出正確選項(xiàng)。適用對(duì)象：對(duì)于條件有明顯的幾何意義：如五性：對(duì)稱性，奇偶性，周期性，凹凸性，單調(diào)性或平面圖形面積，空間立體體積等，常用圖示法。個(gè)人觀點(diǎn)：相信大家一定很喜

24、歡這種解題方法吧，畫圖直觀，簡(jiǎn)便，但一定要注意圖形的準(zhǔn)確性，一點(diǎn)細(xì)微的概念差錯(cuò)也許會(huì)導(dǎo)致圖形的錯(cuò)誤。3.賦值法：是指用滿足條件的“特殊值”，包括數(shù)值、矩陣、函數(shù)以及幾何圖形，通過(guò)推理演算，得出正確選項(xiàng)。適用對(duì)象：對(duì)于條件中有對(duì)任意，必特征的題目，或選項(xiàng)為抽象的函數(shù)形式結(jié)果的，可用賦值法。個(gè)人觀點(diǎn)：賦值法應(yīng)該說(shuō)是一種特殊的，而且最快速的方法，可惜適用范圍比較狹窄，所以大家在用這種方法時(shí)，一定要注意使用條件，不要遇到什么題都賦特殊值。4.排除法：從題設(shè)條件出發(fā)，或利用推演法排錯(cuò)，或利用賦值法排錯(cuò)，從而得出正確結(jié)論。適用對(duì)象：理論性較強(qiáng)，選項(xiàng)較抽象，且不易證明的題目。個(gè)人觀點(diǎn)：根據(jù)我的觀察有些選擇題

25、，尤其是理論性的選擇題，有些答案是相互矛盾的，也就是說(shuō)二者之中必有一對(duì)，所以建議大家遇到這種題時(shí)“聰明”一下。5.逆推法：將備選項(xiàng)依次代入題設(shè)條件的方法。適用對(duì)象：備選項(xiàng)為具體數(shù)值結(jié)果，且題干中含有合適的驗(yàn)證條件。個(gè)人觀點(diǎn)：這種方法對(duì)于有些題還是比較好用的，缺點(diǎn)就是如果正確選項(xiàng)放在A還好，如果放在D，可能要浪費(fèi)些時(shí)間了。第二部分:單選題1：只要遇到向量線性相關(guān)性問題，就要想到考查由其所構(gòu)造的齊次線性方程組有無(wú)非零解，只要遇到某向量能否由一向量組線性表示問題，就要想到考查由其構(gòu)造的非齊次方程組有無(wú)解。2：只要遇到無(wú)窮小比較或.0型未定式極限問題;或通項(xiàng)中含有“反對(duì)三指”函數(shù)關(guān)系的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性

26、問題，就要想到利用等價(jià)無(wú)窮小代換或皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式求解。注：“反對(duì)三指”：反三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。個(gè)人說(shuō)明：大家應(yīng)該熟記基本函數(shù)的泰勒公式，一般展開到三階的就可以了。此外特提供不常見的三個(gè)重要展開式：arcsinx=x+x3/3!+o(x3) 注：此公式后項(xiàng)無(wú)此規(guī)律!tanx=x+x3+o(x3) 注：此公式后項(xiàng)無(wú)此規(guī)律!arctanx=x-x3+o(x3)例：當(dāng)x->0時(shí)，x-arcsinx是的_無(wú)窮小，根據(jù)arcsinx的泰勒公式，可以輕松得到為同階不等價(jià)無(wú)窮小。求極限十法3：無(wú)窮比無(wú)窮型未定式極限值取決于分子，分母最高冪次無(wú)窮大項(xiàng)之比，0比0型未定式極限值取

27、決于分子，分母最低階無(wú)窮小項(xiàng)之比。4：只要遇到由積分上限函數(shù)確定的無(wú)窮小的階的問題，則想到： 積分上限變量與被積函數(shù)的無(wú)窮小因子可用等價(jià)無(wú)窮小代換之。 兩個(gè)由積分上限函數(shù)確定的無(wú)窮小量，若其積分上限無(wú)窮小同階，則其階取決于被積函數(shù)無(wú)窮小的階;若被積函數(shù)無(wú)窮小同階或都不是無(wú)窮小，則其階取決于積分上限無(wú)窮小的階。5：由“你導(dǎo)我不導(dǎo)減去我導(dǎo)你不導(dǎo)”應(yīng)想到“你我”做商的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的分子。注：你-f(x)，我-g(x)?！澳銓?dǎo)我不導(dǎo)減去我導(dǎo)你不導(dǎo)”即f(x)/g(x)的導(dǎo)數(shù)的分子!6：只要遇到積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的定積分問題，就要想到先考查被積函數(shù)或其代數(shù)和的每一部分是否具有奇偶性。7：只要遇到類似B=

28、AC形式的條件問題，就要想到考查乘積因子中有無(wú)可逆矩陣，以此獲得B與A或B與C的秩的關(guān)系，進(jìn)而討論B與A或B與C的行(列)向量組的線性相關(guān)性的關(guān)系，或以B與A或B與C為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解的關(guān)系。 越乘秩越小 靈活運(yùn)用單位矩陣的方法：招之即來(lái)，揮之即去。8：只要遇到題干條件或備選項(xiàng)中有f(-x),-f(x),-f(-x)等，就要想到利用圖形對(duì)稱性求解。9：只要遇到對(duì)積分上限函數(shù)求導(dǎo)問題，就要想到被積函數(shù)中是否混雜著求導(dǎo)變量(顯含或隱含)若顯含時(shí)，即被積函數(shù)為求導(dǎo)變量函數(shù)與積分變量函數(shù)乘積(或代數(shù)和)若隱含時(shí)，則必須作第二類換元法，把求導(dǎo)變量從被積函數(shù)中“挖”出來(lái)，其出路只有兩條：一是顯

29、含在被積函數(shù)中，二是跑到積分限上。10：只要遇到抽象矩陣求逆問題或矩陣方程問題，就要想到利用AB=E，即若AB=E(A，B為方陣)，則A，B均可逆，且A的逆矩陣=B，B的逆矩陣=A。11：相關(guān)組加向量仍相關(guān)無(wú)關(guān)組減向量仍無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)組加分量仍無(wú)關(guān)  1.求極限請(qǐng)注意自變量趨向什么。我們知道：lim(x趨向0)sinx/x=1，但是當(dāng)x趨向無(wú)窮limsinx/x=0，原因：無(wú)窮小量×有界函數(shù)=無(wú)窮小量。這里：|sinx|<=1，1/x是無(wú)窮小量。再次重申：請(qǐng)注意x趨向什么。  2.關(guān)于極限的保號(hào)性。若 lim f(x)=A , A>0或(

30、A<0)，則存在>0，當(dāng)x取x0的去心x->x0 鄰域時(shí),f(x)>0(或f(x)<0)。這是最原始結(jié)論：如果結(jié)論中不取去心鄰域，那么結(jié)論是錯(cuò)的。比如舉例分段函數(shù)：當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=-1，當(dāng)x不為0時(shí)，f(x)=x21，顯然lim(x趨向0)f(x)=1>0，然而并不滿足f(x)>0(在x=0處)。介紹這個(gè)定理的作用：解一類題。請(qǐng)看：已知f(x)可導(dǎo)，且當(dāng)x趨向0，limf(x)/|x|=1，判斷f(x)是否存在極值點(diǎn)。 因?yàn)閒(x)可導(dǎo)，那么f(x)必連續(xù)，因?yàn)閘im(x趨向0)f(x)/|x|=1這個(gè)極限存在且為1，那么我們得到結(jié)論：lim(x

31、趨向0)f(x)=0，否則不會(huì)存在極限的，又因?yàn)閒(x)連續(xù)，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根據(jù)保號(hào)性，因?yàn)閘img(x)=1>0，那么：g(x)>0，那么由于|x|在x趨向0時(shí)>0，所以f(x)>0，而0=f(0)，所以f(x)>f(0)，根據(jù)極小值的定義，x=0為f(x)的極小值點(diǎn)。 綜上：已知limg(x)=a，a的正負(fù)已知，可以使用保號(hào)性。3. 請(qǐng)注意當(dāng)題目說(shuō)：x趨向無(wú)窮時(shí)，那么題目包含兩個(gè)意思：x趨向正無(wú)窮和x趨向負(fù)無(wú)窮。在含有ex，arctanx，等等類的題目時(shí)，請(qǐng)看清楚x趨向無(wú)窮還是趨向正無(wú)窮或者是負(fù)無(wú)窮。補(bǔ)充：在含有絕對(duì)

32、值的題目時(shí)，這點(diǎn)尤其重要，如果說(shuō)x趨向無(wú)窮，那么在去|時(shí)，必須考慮|x|中x是趨向正無(wú)窮還是負(fù)無(wú)窮，當(dāng)然題目不一定非要以絕對(duì)值出現(xiàn)，有些題會(huì)以(x2)出現(xiàn)。4.關(guān)于和差化積積化和差公式的記憶。8字口訣：同c異s，s異c同。前者用來(lái)記住積化和差，后者用來(lái)記住和差化積。舉例：sinacosb=？因?yàn)樗鼈兊娜呛瘮?shù)名異名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)，說(shuō)明：1，純粹個(gè)人記憶方法，接受不了也正常；2，這個(gè)口訣的使用基于你知道=右邊的基礎(chǔ)輪廓，比如所有的積化和差，右邊是1/2()(或者-)()；3，實(shí)在不會(huì)，死記硬背吧，或者請(qǐng)教別的大神。5. 關(guān)

33、于極值點(diǎn)的3種判別法：法一：定義法；法二：若f(x)可導(dǎo)，f'(xo)=0，且f(x)不為0，則f(x)在xo處取得極值，若二階導(dǎo)<0，取得極大；0，極小。法三：(n階判別法)：若f'(xo)=二階導(dǎo)(xo)=n-1階導(dǎo)(xo)=0，且n階導(dǎo)不為0，若n為偶數(shù)，且n階導(dǎo)>0，極小，反之，極大；若n為奇數(shù)，n階導(dǎo)不等于0，則(xo，f(xo)為拐點(diǎn)，xo不是極值點(diǎn)。證明：略6.參數(shù)方程二階導(dǎo)問題(無(wú)數(shù)不懂事的孩子搞不清楚)，我們說(shuō)一般地，y''表示對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)，不是對(duì)參數(shù)t的二階導(dǎo)數(shù)。y''=d2y/dx2=d(dy/dx)/dx，對(duì)

34、于求dy/dx，我們采用求關(guān)于t的y(t)，和關(guān)于t的x'(t)，因?yàn)閐y/dx=(dy/dt)×(dt/dx)=y'(t)/x(t)。舉例：已知y=cost，x=t2，那么求dy/dx，d2y/dx2。標(biāo)準(zhǔn)解答：1：y'(t)=-sint，x'(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d2y/dx2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t3) 綜上：二階導(dǎo)是一個(gè)整體記號(hào)，不是簡(jiǎn)單的除法。7.等價(jià)無(wú)窮小只能使用于乘除(題外：其實(shí)它可以使用于加減的，這里不說(shuō)，以防混淆)。比如

35、：初學(xué)者可能會(huì)認(rèn)為這個(gè)極限為0，lim(x趨向0)(tanx-sinx)/x3=0計(jì)算思路：(x-x)/x3=0，事實(shí)上它等于1/2.原因：提取tanx后等價(jià)無(wú)窮小。等價(jià)無(wú)窮小必須自己去背的，沒有人可以幫你。8.對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)的問題很多同學(xué)搞不清楚。錯(cuò)誤一：把變量當(dāng)做常量。比如：y=xx，標(biāo)準(zhǔn)解答lny=xlnx，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，y'/y=1+lnx，所以y'=(xx)(1+lnx)。錯(cuò)誤做法：y=xx，y'=x(x(x-1)=xx。(但愿你們找到了錯(cuò)誤在哪)，錯(cuò)誤二：搞不清楚對(duì)x求導(dǎo)是什么意思。當(dāng)然：y=x2求導(dǎo)大家都會(huì)吧，y'=2x，當(dāng)出現(xiàn)對(duì)y2=x2，很多同學(xué)

36、就迷茫了，我們說(shuō)y是x的函數(shù)，所以最后必須乘y'，對(duì)y2=x2求導(dǎo)，得到：2yy'=2x.再則：對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)我們把其中一個(gè)看成常量，比如y=yx+x2，那么求導(dǎo)：y'=y+y'x+2x。綜上：對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)，若是單獨(dú)y，求導(dǎo)為y'，一切關(guān)于y的函數(shù)(比如y2，lny，ay等)，先對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)再乘y'.9.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的本質(zhì)僅僅是該點(diǎn)的問題，與它的鄰域無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)點(diǎn)可導(dǎo)，在中心點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的點(diǎn)未必可導(dǎo)。比如函數(shù)f(x)=0 當(dāng)x是有理數(shù)。f(x)=x2 當(dāng) x是無(wú)理數(shù)。只在x=0處點(diǎn)連續(xù)，并可導(dǎo)。按定義可驗(yàn)證在x=0處導(dǎo)數(shù)為0. 1

37、0.無(wú)窮小×有界=無(wú)窮小，但是：無(wú)窮大×有界未必等于無(wú)窮大。正確結(jié)論：無(wú)窮大×有界=未知，比如：當(dāng)x趨向正無(wú)窮，x，x2始終為無(wú)窮大，而1/x，1/x2為有界量。 注意到：x*(1/x2)=1/x就是一個(gè)無(wú)窮小,而x2*(1/x)=x卻是無(wú)窮大,而x*(1/x)=1卻是有限的。11.可導(dǎo)與連續(xù)是完全不一樣的。有些同學(xué)看到題目說(shuō)某個(gè)分段函數(shù)在某點(diǎn)xo連續(xù)，特別開心，他說(shuō)易得：左導(dǎo)=右導(dǎo)=f(xo)，你太天真了。其實(shí)：連續(xù)是說(shuō)左極限=右極限=f(xo)，可導(dǎo)是：lim(x->xo)f(x)=f(xo)，且左導(dǎo)=右導(dǎo)。請(qǐng)搞清楚你要處理的問題。不要學(xué)了一個(gè)學(xué)期都是云

38、里霧里，當(dāng)然一學(xué)期沒上過(guò)一節(jié)課的同學(xué)，除外。補(bǔ)充：在一元函數(shù)微分學(xué)中，可導(dǎo)必然連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)(這個(gè)顯然嘛，y=|x|在x=0處連續(xù)但是不可導(dǎo))。12.很多初學(xué)者認(rèn)為：(a到x)f(t)dt中，變量是t，這是錯(cuò)的，你忽略了變限積分的來(lái)歷，自己去回顧一下變限積分的來(lái)歷是大有裨益的。記住：這里x是變量，它求導(dǎo)=f(x)。13.還有人問為什么高等數(shù)學(xué)中分母可以為0，他說(shuō)比如0/0不是以0為分母，他的錯(cuò)誤在于沒有搞清楚我們所說(shuō)的0不是真正的初等數(shù)學(xué)中的數(shù)字0，它表示極限0，由于極限等于0，我們習(xí)慣稱為0/0形式。也就是說(shuō)：若沒有l(wèi)im這個(gè)符號(hào)，0/0沒有意義。事實(shí)上：再比如：貨真價(jià)實(shí)的數(shù)字1，1無(wú)窮

39、 =1，若是(極限1)無(wú)窮，則結(jié)果待定。高等數(shù)學(xué)中由于極限的四則運(yùn)算包括冪指數(shù)運(yùn)算無(wú)法解決形如：0/0，1無(wú)窮，無(wú)窮/無(wú)窮，等等7類運(yùn)算。為此，產(chǎn)生了7種特殊的式子：不定式。由于結(jié)果不確定，所以稱之為不定式。綜上：我們現(xiàn)在學(xué)的是高等數(shù)學(xué)，幾乎所有問題都是放在極限這個(gè)概念下討論，但是你不能拋棄原有的初等數(shù)學(xué)知識(shí)理論，并且注意區(qū)分。14.求數(shù)列極限不可直接使用洛必達(dá)，數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)，每個(gè)孤立點(diǎn)不連續(xù)，不可導(dǎo)，故不符合洛必達(dá)的條件1，為此：正確做法：先令n為x，再使用洛必達(dá)，最后換為n.15. 無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小，無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大但是請(qǐng)注意：這里的無(wú)窮小除去了0。16.x趨向0，limsinx

40、/x=1不可以使用洛必達(dá)法則證明，原因：(sinx)=cosx這個(gè)公式的證明使用了limsinx/x=1，所以犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤17.關(guān)于洛必達(dá)法則的運(yùn)用條件絕非0/0，無(wú)窮/無(wú)窮那么簡(jiǎn)單。洛必達(dá)的3個(gè)條件：    （1）xa時(shí)， lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在點(diǎn)a的某 去心鄰域 內(nèi)f(x）與F(x）都可導(dǎo)，且F(x）的 導(dǎo)數(shù) 不等于0;（3） xa時(shí)， lim( f'(x)/F'(x) ）存在或?yàn)?無(wú)窮大則 xa時(shí)，lim( f(x) / F(x)=lim( f'(x)/F'(x) ) ，請(qǐng)注意：1，第三點(diǎn)很容易被忽略

41、，一般地：含有l(wèi)im(x趨向無(wú)窮)sinx，或者cosx，是不會(huì)采用洛必達(dá)的；2，在解含有抽象函數(shù)f(x)時(shí)尤其注意第二點(diǎn)，在求最后一步導(dǎo)時(shí)我們使用的是導(dǎo)數(shù)定義，也就是你不能不停地洛必達(dá)直到把它洛出來(lái)，因?yàn)槟悴淮_定它最后一步時(shí)是否滿足第二個(gè)條件，所以每次做含有抽象函數(shù)的題使用洛必達(dá)最后一步使用導(dǎo)數(shù)定義！3，單側(cè)極限對(duì)于第二點(diǎn)的要求只是去心鄰域內(nèi)單側(cè)可導(dǎo)。(如果你不注意以上這些，雖然在平?？荚嚂r(shí)有些老師不在意，但是如果你考研的話是會(huì)扣一半分以上的)18.一般地：我們有以下結(jié)論：lim(x趨向xo)f(x)=a，則必然有l(wèi)im(x趨向xo)|f(x)|=|a|。注意：若a不為0，上述結(jié)論的逆命題未

42、必成立大多是不成立的，若a=0，上述結(jié)論逆命題仍然成立！19.并不是所有二元函數(shù)極限都可以使用極坐標(biāo)求解盡管極坐標(biāo)是一個(gè)好方法。在使用極坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)該同時(shí)注意到：和的任意性。比如：(x，y)趨向(0，0)，求lim(xy)/(x y)，容易證明該極限不存在(一條路徑：y=x，另一條：y=x2-x)，倘若使用極坐標(biāo)，則得：lim(cossin)/(cossin)，此時(shí)有分母出現(xiàn)0的可能(取=45度)，因此不確定該極限是否存在，本法失效，或者說(shuō)：你無(wú)法證明(cossin)/(cossin)有界。綜上：倘若使用極坐標(biāo)，須同時(shí)考慮，的任意性，不可盲目使用。20. 注意僅當(dāng)y=f(x)時(shí)有：y'=

43、f'(x)。若y=f()，不等于x時(shí)，y'不等于f'()。比如：y=f(x2)，y'=f'(x2)2x，而不是等于f'(x2)。下面說(shuō)明f'()和f()的區(qū)別：f'()表示已知f'(x)的表達(dá)式，并且把當(dāng)做x代入，這個(gè)過(guò)程是代值過(guò)程；而f()的意思是求導(dǎo)，至于對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)，則根據(jù)確定。注意：僅當(dāng)=x時(shí)，f'()=f()，即：f'(x)=f(x)，其他情況沒有這個(gè)式子。綜上：f()=f()。21.一元函數(shù)中說(shuō)f(x)連續(xù)可導(dǎo)不是指f(x)既連續(xù)又可導(dǎo)，“連續(xù)可導(dǎo)”意思是說(shuō)f(x)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。ps：f(x)的導(dǎo)函

44、數(shù)連續(xù)當(dāng)然有f(x)既可導(dǎo)又連續(xù)，反之不然。22.還有多少人不會(huì)三角函數(shù)中輔助角的兩個(gè)公式：asinx+bcosx=(a2+b2)sin(x+u)，其中u=arctan(b/a)，強(qiáng)制要求a>0；asinx+bcosx=(a2+b2)cos(x+u)，其中u=arctan(-a/b)，強(qiáng)制要求b>0。 ps：為什么要強(qiáng)制要求？以第一個(gè)為例，第二個(gè)同理原因在于：我們既然采用了用u=arctanb/a來(lái)確定u的值，好處在于u在-派/2，派/2上是一一對(duì)應(yīng)的(因?yàn)閥=tanx在該范圍內(nèi)單調(diào))，事實(shí)上，u的范圍就是-派/2，派/2，由此我們?cè)賮?lái)看給出的公式：asinx+bcosx=(a2+

45、b2)sin(x+u)，將右邊展開得：(a2+b2)cosusinx+(a2+b2)sinucosx，根據(jù)待定系數(shù)原則可得：cosu=a/(a2+b2)，倘若我們不控制a>0，比如取a<0的話，那么cosu<0，顯然u的范圍已經(jīng)落在二三象限中去了，而我們規(guī)定u在-派/2，派/2，即一四象限，由此出現(xiàn)矛盾，所以a必須大于0，u的范圍才吻合公式左右。23.有誰(shuí)考慮過(guò)為什么要強(qiáng)制要求重積分中上限不小于下限？其實(shí)，原因很簡(jiǎn)單。在于：d，d，d，dx，dy，dz，dr都是正數(shù)。24.一個(gè)關(guān)于三角換元小疑問的研究與解答。我相信不止一個(gè)人考慮過(guò)這個(gè)問題。請(qǐng)看：求定積分I=0，aa2-x2d

46、x，當(dāng)然可以用面積來(lái)做，這里為了說(shuō)明疑問，不用面積做，而用三角換元做。書上對(duì)定積分換元法的說(shuō)明是這樣的：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，【當(dāng)t從變到時(shí)，x=(t)要從()=a(單調(diào)地）變到()=b,這里不必要求(t)單調(diào)，即不必要求x=(t)有反函數(shù)存在】，但不允許x=(t)的取值變到區(qū)間a,b之外。此外，還要求(t)在,上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)(t)，這時(shí)，定積分的換元公式才成立。：簡(jiǎn)單說(shuō)就是滿足兩個(gè)條件，單值加連續(xù)導(dǎo)數(shù)。下面來(lái)做本題：令x=asint，則dx=acostdt， 【當(dāng)x=0時(shí)，t取0，x=a時(shí)，t取：派/2】，對(duì)于這個(gè)【】里面的過(guò)程有些同學(xué)無(wú)法接受，問題1憑什么x=0，t要取0，為什么不可

47、以取派或者別的使得式子成立的t？ 問題2憑什么一定要上限>下限。 解答問題1：首先為了滿足單值，不可以取一個(gè)形如派，5派/2的區(qū)間去對(duì)應(yīng)原來(lái)的0，a盡管相對(duì)于x盡管相對(duì)x=asint來(lái)說(shuō)不存在任何問題，但是你忽略了定積分換元的條件單值，在此區(qū)間派，5派/2內(nèi)x=asint不是單值的意思是：令x=k，解得t不唯一。所以不能取一個(gè)區(qū)間不滿足單值的。比如：你取一個(gè)0，派/2這樣的就是合適的，當(dāng)然你取派，派/2這個(gè)也是對(duì)的，為什么請(qǐng)看證明？我們無(wú)疑地知道I=0，aa2-x2dx=派a2/4用面積顯然，下面通過(guò)計(jì)算來(lái)說(shuō)明為什么取t屬于派，派/2也是正確的。I=0，aa2-x2dx=派到(派/2)a

48、|cost|costdt。說(shuō)明：這里開根號(hào)注意是絕對(duì)值，由于此t的范圍是派，派/2，所以cost<0，去絕對(duì)值時(shí)請(qǐng)注意這點(diǎn)，下面再用降冪公式易證答案正確。 ps：你取任何一個(gè)單值區(qū)間滿足題意都是正確的 。只不過(guò)計(jì)算過(guò)程的問題。 解答問題2：事實(shí)問題1證明在換元時(shí)可以上限<下限。 ：綜上：三角換元 可以取你想取的值，但是請(qǐng)注意使用條件以及計(jì)算的簡(jiǎn)便化。 末了附注：本題中a>025.收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)仍然收斂，發(fā)散級(jí)數(shù)加括號(hào)未知；正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散形不受加括號(hào)的影響。超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié)1高數(shù)部分1.1 高數(shù)第一章函數(shù)、極限、連續(xù)求極限題最常用的解題方向：1.利用等價(jià)無(wú)窮

49、小；2.利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)法則；3.利用重要極限，包括、；4.夾逼定理。1.2 高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分、第三章不定積分、第四章定積分第二章導(dǎo)數(shù)與微分與前面的第一章函數(shù)、極限、連續(xù)、后面的第三章不定積分、第四章定積分都是基礎(chǔ)性知識(shí)，一方面有單獨(dú)出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運(yùn)用，故非常有必要打牢基礎(chǔ)。對(duì)于第三章不定積分，陳文燈復(fù)習(xí)指南分類討論的非常全面，范圍遠(yuǎn)大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點(diǎn)：不定積分中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時(shí)如果在答案中少寫這個(gè)C會(huì)

50、失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加深印象：定積分的結(jié)果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分，把它折彎后就是中的那個(gè)C,漏掉了C也就漏掉了這1分。第四章定積分及廣義積分可以看作是對(duì)第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對(duì)于型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有=0；若f(x)為偶函數(shù)則有=2；對(duì)于型積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時(shí)用的代換是常用方法。所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手，對(duì)于對(duì)稱區(qū)間上的積分要同時(shí)考慮到利用變量替換x=-u和利用性質(zhì) 、。在處理完積

51、分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對(duì)于證明定積分等式的題目也同樣有效。1.3 高數(shù)第五章中值定理的證明技巧由本章中值定理的證明技巧討論一下證明題的應(yīng)對(duì)方法。用以下這組邏輯公式來(lái)作模型：假如有邏輯推導(dǎo)公式AE、(AB)C、(CDE)F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的證明題，其中一個(gè)可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證F成立。為了證明F成立可以從條件、結(jié)論兩個(gè)方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。正方向入手時(shí)可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的邏輯推導(dǎo)公式太多，難以從中找出有用的一個(gè)。如對(duì)于證明F成立必備邏輯公式中的

52、AE就可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同時(shí)存在，有的邏輯公式看起來(lái)最有可能用到，如(AB) M，因?yàn)槠渲猩婕傲祟}目所給的3個(gè)條件中的2個(gè)，但這恰恰走不通； 2.對(duì)于解題必須的關(guān)鍵邏輯推導(dǎo)關(guān)系不清楚，在該用到的時(shí)候想不起來(lái)或者弄錯(cuò)。如對(duì)于模型中的(AB) C，如果不知道或弄錯(cuò)則一定無(wú)法得出結(jié)論。從反方向入手證明時(shí)也會(huì)遇到同樣的問題。通過(guò)對(duì)這個(gè)模型的分析可以看出，對(duì)可用知識(shí)點(diǎn)掌握的不牢固、不熟練和無(wú)法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。針對(duì)以上分析，解證明題時(shí)其一要靈活，在一條思路走不通時(shí)必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)該再?gòu)念^開始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了

53、問題；另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獲取信息。當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí)，最常見的情況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結(jié)論簡(jiǎn)直是風(fēng)馬牛不相及的東西，長(zhǎng)時(shí)間無(wú)法入手；好不容易找到一個(gè)大致方向，在做若干步以后卻再也無(wú)法與結(jié)論拉近距離了。從出題人的角度來(lái)看，這是因?yàn)闆]能夠有效地從條件中獲取信息?！氨M可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時(shí)出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時(shí)也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時(shí)一開始就想到了公式(CDE) F再倒推想到 (AB) C、 AE就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，

54、那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來(lái)。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結(jié)論可用定理A關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，常常是只有連續(xù)性已知存在一個(gè)滿足某個(gè)式子介值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）零值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）B條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)滿足費(fèi)爾馬定理（結(jié)論部分為： ）洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）C條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)滿足拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）柯西中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）另外還常利

55、用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費(fèi)爾馬或洛爾定理的形式來(lái)證明從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時(shí)A也只多了一條“可導(dǎo)性”而已；所以在面對(duì)這一部分的題目時(shí)，如果把與證結(jié)論與可能用到的幾個(gè)定理的的結(jié)論作一比較，會(huì)比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。故對(duì)于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點(diǎn)應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果能夠做到想到介值定理時(shí)就能同時(shí)想起結(jié)論“存在一個(gè)使得”、看到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類似“存在一個(gè)使得”的形式時(shí)也能立刻想到介值定理；想到洛爾定理時(shí)就能想到式子；而見到式子也如同見到拉格朗日中值定理一

56、樣，那么在處理本部分的題目時(shí)就會(huì)輕松的多，時(shí)常還會(huì)收到“豁然開朗”的效果。所以說(shuō)，“牢記定理的結(jié)論部分”對(duì)作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。綜上所述，針對(duì)包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同時(shí)保持清醒理智，降低出錯(cuò)的可能”。希望這些想法對(duì)你能有一點(diǎn)啟發(fā)。不過(guò)僅僅弄明白這些離實(shí)戰(zhàn)要求還差得很遠(yuǎn)，因?yàn)樵趯?shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到；很多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺確實(shí)是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時(shí)那種沒有提示、或者提示很少

57、的條件下還是無(wú)法做到靈活運(yùn)用；這也就是自身感覺與實(shí)戰(zhàn)要求之間的差別。這就像在記英語(yǔ)單詞時(shí)，看到英語(yǔ)能想到漢語(yǔ)與看到漢語(yǔ)能想到英語(yǔ)的掌握程度是不同的一樣，對(duì)于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個(gè)詞的認(rèn)識(shí)其實(shí)是在做題的過(guò)程中才慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習(xí)來(lái)透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運(yùn)用各種變形轉(zhuǎn)換技巧，從而達(dá)到大綱的相應(yīng)要求，提高實(shí)戰(zhàn)條件下解題的勝算。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來(lái)解決。1.4 高數(shù)第六章常微分方程本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，陳文燈復(fù)習(xí)指南對(duì)一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對(duì)應(yīng)的表格。歷年真題中對(duì)于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法線、積分方程等問題來(lái)引出；從歷年考察情況和大綱要求來(lái)看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。對(duì)于本章的題