應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)調(diào)查報(bào)告

1、.大學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想Several of the middle school Mathematics form combining ideas 姓 名： 張曉銳 學(xué) 號(hào)： 學(xué) 院： 蚌埠學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師： 馮海亮 完成時(shí)間： 2017年2月23日 大學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想【摘要】數(shù)形結(jié)合的思想，是通過(guò)數(shù)形間的對(duì)應(yīng)與互助來(lái)研究并解決問(wèn)題的思想，是最基本的數(shù)學(xué)思想之一。它可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的精辟論述:“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微”。我將從以下幾個(gè)方面來(lái)探討數(shù)

2、形結(jié)合思想在大學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：（1）在二重積分上的應(yīng)用（2）在三重積分上的應(yīng)用。通過(guò)分析、比較和歸納充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的特點(diǎn)和優(yōu)越性，從而在實(shí)際教學(xué)中要將數(shù)形結(jié)合思想融匯到課堂中，培養(yǎng)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)【關(guān)鍵詞】大學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 應(yīng)用 思想方法Several of the university school Mathematics form combining ideas【Abstract】In the uiversity school mathematics has lots of mathematical methods, including several form

3、combining ideas middle school mathematics is one of the most important methods, it will algebra and geometry, and the combination of using several shape transformation between, be helpful for analysis problem of the relation between the quantity, rich imagination, change numerous hard things simple,

4、 easy, on the one hand, graphic nature of many of the abstract will math concepts and visual and quantitative relationship between simplified, give a person with intuitive enlightenment. On the other hand, will graphics problem into the algebra problem, in order to obtain the accurate conclusions. I

5、mprove the analysis and problem solving ability so as to achieve simple problem solving method, the final convenient our problem solving. I will from the following several aspects to discuss several form combining ideas university school mathematics in the application: (1) the application of double

6、integral; (2) the application of three integral(, domain in its application. Through the analysis, comparison and induction show several form combining ideas of problem in the characteristic and advantages, which in actual teaching will form together with several ideas to the classroom, training stu

7、dents strengthen the consciousness of combining ideas number form.【Key words】 school mathematicsSeveral form combined with An application example Thought method目錄1 引言12 數(shù)形結(jié)合思想的概念13 數(shù)形結(jié)合思想在大學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用23.1樹(shù)形結(jié)合在二重積分上的應(yīng)用3.2 數(shù)形結(jié)合在三重積分上的應(yīng)用33.3數(shù)形結(jié)合思想解決最值、值域問(wèn)題63.4數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用74 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的一些教學(xué)措施8結(jié)束語(yǔ)9參考文獻(xiàn)101

8、 引言在數(shù)學(xué)思想中，有一類(lèi)思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱(chēng)之為基本數(shù)學(xué)思想中學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類(lèi)討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、變換與轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等等中學(xué)數(shù)學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想，如果能使它落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能在這些數(shù)學(xué)思想方法中數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的課程一直以來(lái)數(shù)與形就是兩個(gè)不可分割的對(duì)象，他們?cè)谝欢ǔ潭壬峡梢韵嗷マD(zhuǎn)換，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”，即數(shù)形結(jié)合在一起

9、好處很多，而獨(dú)立分開(kāi)卻會(huì)帶來(lái)很多麻煩，從這可以看出數(shù)與形的基本性質(zhì)，數(shù)與形是不可分割的，數(shù)形結(jié)合在實(shí)際問(wèn)題中是緊密結(jié)合在一起的而數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系例如函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的研究有助于我們更好的掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)解題能力，特別是在一些題目中如選這題、填空題，在小題目中經(jīng)常考察數(shù)形結(jié)合思想，如果熟練掌握了數(shù)形結(jié)合思想并加以巧妙利用，那么我們將取得事半功倍的效果，能幫助我們?cè)诟呖贾心苋〉脮r(shí)間和效率的優(yōu)勢(shì)，最終讓你取得優(yōu)異成績(jī)那么接下來(lái)我們將要研究數(shù)形結(jié)合思想在我們中學(xué)中到底有哪些用處，我們解什么樣問(wèn)題時(shí)需要用到數(shù)形結(jié)合思想.那么我們平時(shí)又該

10、如何培養(yǎng)自己的數(shù)形結(jié)合思想呢.2 數(shù)形結(jié)合思想的概念數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”就是有些圖形太過(guò)于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來(lái)，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長(zhǎng)、角度等數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些

11、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思

12、想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果3 數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1數(shù)形結(jié)合思想在重積分上的應(yīng)用3.1 數(shù)形結(jié)合在二重積分上的應(yīng)用例1. 計(jì)算，其中是由拋物線(xiàn)，及直線(xiàn)圍成。解：，又區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，如圖1所示，例2 計(jì)算，。分析：積分區(qū)域既對(duì)稱(chēng)于軸，又對(duì)稱(chēng)于軸（如圖1），被積函數(shù)是或的一元偏

13、偶函數(shù) 據(jù)定理2、定理3 或推論1 有 ，或者，圖2 積分區(qū)域或者。此外，積分區(qū)域,其中,與,分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),被積函數(shù)是的二元全偶函數(shù) 應(yīng)用定理4 得又有定理2，3知，于是，只要計(jì)算在上的積分即可3.2 數(shù)形結(jié)合在三重積分上的應(yīng)用例3 計(jì)算，其中是橢圓柱面 介于和之間的部分的外側(cè)，如圖所示解是的偶函數(shù)，關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，類(lèi)似的是的偶函數(shù)，關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)圖2圓柱外側(cè)面圖又在平面上的投影為一橢圓周，投影區(qū)域面積為0例4 計(jì)算，為錐面被曲面所截下的部分（如圖4）. 解 如圖4，曲面關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，而被積函數(shù)中與都是的奇函數(shù)，根據(jù)定理9知：又，所以原式3.3 數(shù)形結(jié)合思想解決最值、值域問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合思想有時(shí)

14、可以解決一些比較復(fù)雜的最值和值域問(wèn)題，特別是一些三角函數(shù)的題目和我們通常見(jiàn)到的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題例5.已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值解：由的結(jié)構(gòu)形式，我們可以聯(lián)想到幾何當(dāng)中直線(xiàn)的斜率公式，即可以看成過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率A是動(dòng)點(diǎn)且在圓上，為定點(diǎn)，作出圖象，由圖可知：，則，所以圓的切線(xiàn)的傾斜角為，故例6已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域D由不等式給定，若為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最大值為（ B ） （2011年普通高校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（文科）A3 B4 C3 D4解：本題是一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃題目，幾乎每一年高考中都有所考察，主要是要將給定的不等式能夠轉(zhuǎn)換到具體的線(xiàn)性規(guī)劃圖，要求，即求解之得，即求函數(shù)與y

15、軸的交點(diǎn)xy2A0觀察圖形可知當(dāng)直線(xiàn)平移到時(shí)，直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)值最大，即所以z最大值為4許多代數(shù)極值問(wèn)題，存在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過(guò)圖形給問(wèn)題以幾何直觀描述，從數(shù)形結(jié)合中找出問(wèn)題的邏輯關(guān)系，啟發(fā)思維，難題巧解在平時(shí)要牢記一些幾何意義的概念，如復(fù)數(shù)的模、直線(xiàn)的斜率、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線(xiàn)的概念等，這樣在解題時(shí)才能得心應(yīng)手3.4 數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用代數(shù)與幾何結(jié)合是解析幾何的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合方法是解解析幾何問(wèn)題的基本方法，借助直線(xiàn)、圓與圓錐曲線(xiàn)在直角坐標(biāo)系中圖象的特點(diǎn)，可以從圖形中尋求解題思路例7.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：)

16、，可得這個(gè)幾何體的體積是（）A B C D 解:選B，實(shí)物圖如圖所示，底面為正方形，側(cè)面底面,且20，高，所以例8.求證：,已知正方形,正方形,直角三角形解：延長(zhǎng)交于，過(guò)點(diǎn)作,垂足為.如圖6所示，因?yàn)樗倪呅?四邊形為正方形所以又所以故又因?yàn)樗杂芍谧鰩缀晤}目時(shí)，很多題目都必須要把圖形畫(huà)出來(lái)，圖形出來(lái)了問(wèn)題自然就解決了，利用“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決幾何問(wèn)題，它具有直觀性、靈活性等特點(diǎn)數(shù)形完美的結(jié)合，就能達(dá)到事半功倍的效果4 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的一些教學(xué)措施數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)中一種重要思想，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，查看近幾年高考數(shù)學(xué)試卷，數(shù)形結(jié)合思想題目有很大比例，由此可見(jiàn)一斑如此重

17、要方法教師在平時(shí)上課時(shí)應(yīng)當(dāng)給予足夠重視，講解練習(xí)時(shí)要強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，老師應(yīng)當(dāng)提示學(xué)生多朝著這方面去想問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)再加以強(qiáng)化，這樣下次學(xué)生再碰到就能獨(dú)立的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解答問(wèn)題那么教師在平時(shí)該怎樣去引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想方法呢.第一，加強(qiáng)概念教學(xué)數(shù)學(xué)中的概念是人類(lèi)關(guān)于客觀世界數(shù)量和空間的關(guān)系形式的認(rèn)識(shí)結(jié)晶數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”思想大部分來(lái)源于概念教學(xué)過(guò)程加強(qiáng)對(duì)基本概念的教學(xué)，是掌握數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)概念教學(xué)中，要有意識(shí)的賦抽象概念以直觀的形要揭示概念的不同的表達(dá) 形式是學(xué)生加深對(duì)概念的理解與掌握，為以后利用基本概念的不同形式解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題奠定基礎(chǔ)，特別對(duì)于

18、明顯的幾何意義概念如復(fù)數(shù)的模、直線(xiàn)的斜率、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線(xiàn)的概念等，給出概念的同時(shí)一定要結(jié)合圖形講幾何意義第二，熟悉最基本圖象對(duì)常見(jiàn)的函數(shù)的圖形要熟悉，如六種基本初等函數(shù)（常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）以及二次函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)的圖形要非常熟悉，另外還要熟練掌握利用圖象的變換法（平移、對(duì)稱(chēng)、翻轉(zhuǎn)、伸縮）作圖第三，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力聯(lián)想是以觀察為基礎(chǔ)的，對(duì)研究對(duì)象的問(wèn)題或?qū)ο蟮奶攸c(diǎn)聯(lián)系已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行想象的思維方式培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力有較大的作用如看到代數(shù)式我們可以聯(lián)想到點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率第四，教師盡可能使用多媒體教學(xué)來(lái)展示數(shù)形結(jié)合，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲教學(xué)過(guò)程中

19、黑板上的圖形再直觀、準(zhǔn)確，也是一個(gè)“死圖”，難以通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn)變量之間的變化規(guī)律通過(guò)多媒體教學(xué)，例如幾何畫(huà)板，可以讓“死圖”變“活圖”能充分體現(xiàn)數(shù)與形之間的聯(lián)系及變化規(guī)律，使學(xué)生理解更深刻，記憶更牢固第五，教師在新課中“數(shù)”、“形”并進(jìn)，讓學(xué)生見(jiàn)“數(shù)”想到“形”，見(jiàn)“形”不忘“數(shù)”例如在上集合這一章節(jié)時(shí) 除了在數(shù)集運(yùn)算中借助于畫(huà)數(shù)軸解決外，還要重視韋恩圖的運(yùn)用韋恩圖作為集合的第三種表示方法，往往容易被學(xué)生忽略，如果老師上課時(shí)多用用韋恩圖來(lái)處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，學(xué)生就會(huì)感受到問(wèn)題一旦形象化了，運(yùn)算會(huì)很方便習(xí)題課中讓“數(shù)”“形”之妙體現(xiàn)出來(lái)在講解有關(guān)可以用數(shù)形結(jié)合解題的題目時(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，運(yùn)用分組討論等形式讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的便捷和樂(lè)趣還有一類(lèi)題目也許不能稱(chēng)之為嚴(yán)格意義上的“數(shù)形結(jié)合”，例如