經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用函數(shù)

1、第五節(jié)第五節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)一、需求函數(shù)一、需求函數(shù) 如果價(jià)格是決定需求量的最主要因素，如果價(jià)格是決定需求量的最主要因素，可以認(rèn)為可以認(rèn)為 Q 是是 P的函數(shù)。記作的函數(shù)。記作)(PfQ 則則 f 稱為稱為需求函數(shù)需求函數(shù).需需求求的的含含義義：消消費(fèi)費(fèi)者者在在某某一一特特定定的的時(shí)時(shí)期期內(nèi)內(nèi)，在在一一定定的的價(jià)價(jià)格格條條件件下下對(duì)對(duì)某某種種商商品品具具有有購(gòu)購(gòu)買買力力的的需需要要 ,bPaQ 線線性性需需求求函函數(shù)數(shù)：常見的需求函數(shù)：常見的需求函數(shù)：2cPbPaQ 二二次次曲曲線線需需求求函函數(shù)數(shù)：bpAeQ 指指數(shù)數(shù)需需求求函函數(shù)數(shù)：( 其中其中 a,b,c,Aa,b

2、,c,A 0 )0, ba冪函數(shù)：冪函數(shù)：0,0,kAkPQA其中例例 1設(shè)某商品的需求函數(shù)為設(shè)某商品的需求函數(shù)為 )0,( babaPQ.00時(shí)的價(jià)格時(shí)的價(jià)格時(shí)的需求量和時(shí)的需求量和討論討論 QP解解,0bQP 時(shí)時(shí)它表示價(jià)格為零時(shí)的它表示價(jià)格為零時(shí)的需求量為需求量為 b ，稱為稱為飽和需求量飽和需求量；,0abPQ 時(shí)時(shí)它表示價(jià)格為它表示價(jià)格為,時(shí)時(shí)ab無(wú)人愿意購(gòu)買此商品無(wú)人愿意購(gòu)買此商品.二、供給函數(shù)二、供給函數(shù) 如果價(jià)格是決定供給量的最主要因素，如果價(jià)格是決定供給量的最主要因素，可以認(rèn)為可以認(rèn)為 Q 是是 P 的函數(shù)。記作的函數(shù)。記作)(PGQ 則則 G稱為稱為供給函數(shù)供給函數(shù).供供給

3、給的的含含義義：在在某某一一時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)，在在一一定定的的價(jià)價(jià)格格條條件件下下，生生產(chǎn)產(chǎn)者者愿愿意意并并且且能能夠夠售售出出的的商商品品 一般地，供給函數(shù)可以用以下簡(jiǎn)單一般地，供給函數(shù)可以用以下簡(jiǎn)單函數(shù)近似代替：函數(shù)近似代替：線性函數(shù)：線性函數(shù)：0,babaPQ其中冪函數(shù)：冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：0,0,kAkPQA其中0,0,bAaeQbP其中 在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出需求曲線在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出需求曲線 D和供和供給曲線給曲線 S ，兩條曲線的交點(diǎn)稱為供需平衡點(diǎn)，兩條曲線的交點(diǎn)稱為供需平衡點(diǎn)，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為供需平衡價(jià)格該點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為供需平衡價(jià)格 .E0P0Q供需平衡點(diǎn)供需平衡點(diǎn)供需平供

4、需平衡價(jià)格衡價(jià)格三、生產(chǎn)函數(shù)三、生產(chǎn)函數(shù) 生產(chǎn)函數(shù)刻畫了一定時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)生產(chǎn)函數(shù)刻畫了一定時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入量與產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量之要素的投入量與產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量之間的關(guān)系間的關(guān)系.一般說(shuō)來(lái)，生產(chǎn)要素包括資金一般說(shuō)來(lái)，生產(chǎn)要素包括資金和勞動(dòng)力等多種要素和勞動(dòng)力等多種要素 .為方便起見，我為方便起見，我們暫時(shí)先考慮只有一個(gè)投入變量，而其們暫時(shí)先考慮只有一個(gè)投入變量，而其他投入皆為常量的情況他投入皆為常量的情況 .例例 2)(22)2()()(xgcxxgcxxgxgxaaaa 由由于于間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為與與產(chǎn)產(chǎn)出出設(shè)設(shè)投投入入時(shí)，時(shí)，可見，當(dāng)可見，當(dāng)1 a規(guī)模報(bào)酬規(guī)模報(bào)酬不變；不

5、變；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 a 如果投入增加一倍，產(chǎn)出增如果投入增加一倍，產(chǎn)出增加不到一倍，即加不到一倍，即規(guī)模報(bào)酬規(guī)模報(bào)酬遞減；遞減；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 a 如果投入增加一倍，產(chǎn)出增如果投入增加一倍，產(chǎn)出增加不止一倍，即加不止一倍，即規(guī)模報(bào)酬規(guī)模報(bào)酬遞增遞增 .四、成本函數(shù)四、成本函數(shù) 成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入的價(jià)格或費(fèi)用總額，各種生產(chǎn)要素投入的價(jià)格或費(fèi)用總額，它由固定成本與可變成本兩部分組成它由固定成本與可變成本兩部分組成.可可變變固固總總CCC 支付固定生產(chǎn)支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用要素的費(fèi)用支付可變生產(chǎn)支付可變生產(chǎn)要素的費(fèi)用要素的費(fèi)用產(chǎn)產(chǎn)量量可可變變成成

6、本本固固定定成成本本產(chǎn)產(chǎn)量量總總成成本本平平均均成成本本 QQCQCQQCACC)()(21 即即例例 3 3 已已知知某某種種產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總成成本本函函數(shù)數(shù)為為 求求當(dāng)當(dāng)生生產(chǎn)產(chǎn) 100 個(gè)個(gè)該該產(chǎn)產(chǎn)品品時(shí)時(shí)的的總總成成本本和和平平均均成成本本 .81000)(2QQC 解解由題意，求產(chǎn)量為由題意，求產(chǎn)量為100時(shí)的總成本時(shí)的總成本,225081001000)100(2 C5 .221002250)100( AC平平均均成成本本為為五、收益函數(shù)五、收益函數(shù) 總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入的全部收入. 用用 Q 表示出售的產(chǎn)品數(shù)量，表示出售

7、的產(chǎn)品數(shù)量，R 表表示總收益示總收益, 表示平均收益，則表示平均收益，則RQQRRQRR)(,)( 如果產(chǎn)品價(jià)格如果產(chǎn)品價(jià)格 P 保持不變，則保持不變，則PRPQQR ,)(例例 4 4 設(shè)某商品的需求關(guān)系是設(shè)某商品的需求關(guān)系是 3Q+4P=100,求總收求總收益和平均收益益和平均收益 解解,43100QP 價(jià)價(jià)格格函函數(shù)數(shù)為為,43100)(2QQQPQR 所所以以總總收收益益為為1003()().4QAP QP Q 平均收益為平均收益為六、利潤(rùn)函數(shù)六、利潤(rùn)函數(shù) 利潤(rùn)是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成利潤(rùn)是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差。即本之差。即)()()(QCQRQL 例例 5 5

8、 設(shè)設(shè)某某種種商商品品的的總總成成本本為為 若若每每售售出出一一件件該該商商品品的的收收入入是是 20 萬(wàn)萬(wàn)元元， 求求生生產(chǎn)產(chǎn) 10件件的的總總利利潤(rùn)潤(rùn) 解解,20 （萬(wàn)萬(wàn)元元）由由題題意意知知 P).(110)105 . 0101820()10(2萬(wàn)萬(wàn)元元 LQQPQR20)( 總總收收益益為為,5 . 0220)(2QQQC )()()(QCQRQL 所所以以)5 . 0220(202QQQ 25 . 01820QQ 七、庫(kù)存函數(shù)七、庫(kù)存函數(shù) 設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期 T 內(nèi)，對(duì)某種物品總需求內(nèi)，對(duì)某種物品總需求量為量為 Q ，由于庫(kù)存費(fèi)用及資金占用等因素，顯然，由于庫(kù)存費(fèi)用及資

9、金占用等因素，顯然一次進(jìn)貨是不劃算的，考慮均勻的分一次進(jìn)貨是不劃算的，考慮均勻的分 n 次進(jìn)貨，次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨批量為每次進(jìn)貨批量為 ，進(jìn)貨周期為，進(jìn)貨周期為 . 假定假定每件物品的貯存單位時(shí)間費(fèi)用為每件物品的貯存單位時(shí)間費(fèi)用為 ，每次進(jìn)貨費(fèi)，每次進(jìn)貨費(fèi)用為用為 ，每次進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨間隔時(shí)間不變，每次進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨間隔時(shí)間不變，以勻速消耗貯存物品，則平均庫(kù)存為以勻速消耗貯存物品，則平均庫(kù)存為 ，nQq nTt 1C2C2q在時(shí)間在時(shí)間 T 內(nèi)的總費(fèi)用內(nèi)的總費(fèi)用 E 為為qQCTqCE2121 .2121為進(jìn)貨費(fèi)用為進(jìn)貨費(fèi)用為貯存費(fèi)，為貯存費(fèi)，其中其中qQCTqC八、戈珀茲八、戈珀茲 (Go

10、mpertz) 曲線曲線戈珀茲戈珀茲 曲線是指數(shù)函數(shù)曲線是指數(shù)函數(shù)tbkay 在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，經(jīng)常使用該曲線在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，經(jīng)常使用該曲線.初始期 發(fā)展期飽和期k.100lg時(shí)，圖形如上頁(yè)所示時(shí)，圖形如上頁(yè)所示，當(dāng)當(dāng) ba且且無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)，曲曲線線當(dāng)當(dāng)由由圖圖可可見見0 t，接近接近其無(wú)限與直線其無(wú)限與直線ky 且始終位于該直且始終位于該直線線 下方下方. 在產(chǎn)品銷售預(yù)測(cè)中，當(dāng)預(yù)測(cè)銷售量充在產(chǎn)品銷售預(yù)測(cè)中，當(dāng)預(yù)測(cè)銷售量充分接近到分接近到 k 值時(shí)，表示該產(chǎn)品在商業(yè)流通中將值時(shí)，表示該產(chǎn)品在商業(yè)流通中將達(dá)到市場(chǎng)飽和達(dá)到市場(chǎng)飽和 .1 1. .設(shè)需求函數(shù)由設(shè)需求函數(shù)由 P+Q=1P+Q=1 給

11、出，（給出，（1 1）求總收益）求總收益函數(shù)函數(shù) P;(2)P;(2)若售出若售出 1/31/3 單位，求其總收益。單位，求其總收益。 2 2. .某工廠對(duì)棉花的需求函數(shù)由某工廠對(duì)棉花的需求函數(shù)由4 . 1PQ=0.11=0.11 給給出出, ,（1 1）求其總收益函數(shù)）求其總收益函數(shù) R;R;（2 2）P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3 3. .若工廠生產(chǎn)某種商品，固定成本若工廠生產(chǎn)某種商品，固定成本 200,000200,000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)

12、品，成本增加 10001000 元，元，求總成本函數(shù)。求總成本函數(shù)。 練習(xí)題4 4. .某某廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)一一批批元元器器件件，設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)能能力力為為日日產(chǎn)產(chǎn) 1 10 00 0件件，每每日日的的固固定定成成本本為為 1 15 50 0 元元，每每件件的的平平均均可可變變成成本本為為 1 10 0 元元, ,( (1 1) )試試求求該該廠廠此此元元器器件件的的日日總總成成本本函函數(shù)數(shù)及及平平均均成成本本函函數(shù)數(shù); ;（2 2）若若每每件件售售價(jià)價(jià) 1 14 4 元元，試試寫寫出出總總收收入入函函數(shù)數(shù); ;（3 3）試試寫寫出出利利潤(rùn)潤(rùn)函函數(shù)數(shù)。 5.某產(chǎn)品之需求函數(shù)為某產(chǎn)品之需求函數(shù)為dQ=20-3P,供給函數(shù)為供給函數(shù)為 sQ=5P-1,求該商品的靜態(tài)均衡價(jià)格。求該商品的靜態(tài)均衡價(jià)格。 ;1000200000)(. 3;037. 0)15(,041. 0)12(,044. 0)10(,0017. 0)20(,0034. 0)12(,0025. 0)15(,11. 0. 2;