求展開式系數(shù)的六種常見類型

1、.求展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式中的系數(shù)是高考?？碱}型之一,本文以高考題為例，對二項式定理試題中求展開式系數(shù)的問題加以歸類與解析，供讀者參考。一 、 ( ab) n (nN) 型2 y)1064項的系數(shù)是（）例 1 (x的展開式中 x y（A）840（ B） 840（C）210（D）210解析：在通項公式 Tr1C10r (2y)r x10 r中令 r =4，即得 ( x2 y)10 的展開式中 x6 y4 項的系數(shù)為 C104 (2) 4 =840,故選 A 。例 2 (x1 ) 8 展開式中 x5 的系數(shù)為。xr8 r1rrr83 r3解析：通項公式 Tr 1()( 1)x，由題意得

2、8，C8 xC82r 5x2則 r2 ，故所求 x 5 的系數(shù)為 (1)2 C8228。評注：常用二項展開式的通項公式求二項展開式中某特定項的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定 r 的值。二 、 (a b)n(c d ) m (n, m N ) 型例 3 (x 32) 4( x1 ) 8 的展開式中整理后的常數(shù)項等于.xxC4r ( 2) r ( x3 )4 r解 析 ； ( x32 )4 的 通 項 公 式 為 Tr 1C4r ( 2)r x12 4 r , 令xx124r 0 ，則 r3 , 這 時得 ( x32)4的展開式中的常數(shù)項為C43 23 = 32,x( x1 )8 的通項公式為 Tk 1C

3、8k ( 1 ) k x8 kC8k x82k ,令 82k0，則 k 4 ,這時得xx( x1 )8 的展開式中的常數(shù)項為 C84=70，故 ( x32) 4( x1 ) 8 的展開式中常數(shù)項xxx等于 32 70 38。例 4在(1x)5(1 x)6 的展開式中，含 x3 的項的系數(shù)是（）(A) 5(B) 5(C) 10(D) 10'.解析： (1x) 5 中 x3的系數(shù) C5310 ,(1 x) 6 中 x 3 的 系 數(shù) 為3320 ,故 (1x)5(1 x)6 的展開式中 x3 的系數(shù)為 10 ,故選 D 。C6( 1)評注： 求型如 ( ab) n( c d ) m (n,

4、 m N ) 的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個二項式，由多項式加減法求得所求項的系數(shù)。三 、 ( ab) n (c d ) m ( n, m N ) 型例 5 (x21)( x2)7的展開式中 x3 項的系數(shù)是。解析： ( x2) 7 的展開式中 x 、 x 3 的系數(shù)分別為C71 ( 2)6 和 C73 (2)4 ，故( x 21)( x2) 7 的展開式中 x 3 項的系數(shù)為 C71 ( 2)6 + C 73 (2) 4 =1008。例 6 x 18）x 1 的展開式中 x5 的系數(shù)是（A） 14（B ）14（C）28（D） 28略解： ( x 1)8 的展開式中 x4 、 x5 的

5、系數(shù)分別為 C84 和 C85 ,故 x 1 x18 展開式中 x 5 的系數(shù)為 C84C8514 ,故選 B。評注：求型如 ( ab) n (cd) m (n, mN ) 的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的系數(shù)。四 、 (ab c)n (n N ) 型例 7 ( x12) 5 的展開式中整理后的常數(shù)項為.2x解法一： ( x12) 5 = ( x1 )5C5k 22k ( x12 ，通項公式 Tk 1)5 k ,2x2x2x( x 1 )5 k的 通 項 公 式 為 Tr 1C5rk x r x5 k r 2 (5 k r )C5rk x5 2r k 2k

6、 r 5 , 令2x52r k0 ，則 k2r 5 ，可得 k1,r2 或 k3, r1或 k5, r 0 。1152當(dāng) k1, r2時，得展開式中項為 C51C42 2 2 2 2；2當(dāng) k3, r1時,，得展開式中項為 C53C21 2 2 2 1202 ；'.當(dāng) k5, r 0 時，得展開式中項為 C55 4 242 。綜上， ( x12)5 的展開式中整理后的常數(shù)項為15 220 24 263 2。2x22解法二： ( x12)5 = ( x22 2x2)5 = ( x2)2 5= (x2)10 ，對于二2x2x(2x)5(2x)5項式 ( x2 )10 中， Tr 1C10r

7、 x10r (2) r ，要得到常數(shù)項需 10 r5 ，即 r5 。所以，常數(shù)項為 C105( 2)5632 。252解法三： ( x12)5 是 5 個三項式 ( x12) 相乘。常數(shù)項的產(chǎn)生有三2x2x種情況：在 5 個相乘的三項式 ( x12) 中，從其中一個取 x ，從另外 4 個三2x2項式中選一個取 1 ，從剩余的3 個三項式中取常數(shù)項相乘，可得xC511 C41 C33 (2) 3202 ；從其中兩個取 x ，從另外 3 個三項式中選兩個取1 ，22x從剩余的 1 個三項式中取常數(shù)項相乘，可得 C52 (1 )2C32215 2；從 5 個相22乘的三項式 ( x12) 中取常數(shù)

8、項相乘，可得 C55 (2)5 =42 。2x綜 上 ， ( x12)5的展開式中整理后的常數(shù)項為2x20215242632 。22評注：解法一、解法二的共同特點是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項式轉(zhuǎn)化為二項式來解決。解法三是利用二項式定理的推導(dǎo)方法來解決問題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項。五 、 (ab)m(ab)m 1L(ab)n (m, nN ,1mn) 型例 8在 (1x)(1x) 2(1x) 6 的展開式中， x2 項的系數(shù)是。（用數(shù)字作答）解析：由題意得 x2 項的系數(shù)為 C 22C 32C 42C52C 6235 。例 9在 (1x)5(1x)6(1

9、x)7(1 x)8 的展開式中， 含 x3 的項的系數(shù)是'.()(A) 74(B) 121(C) 74(D) 121解析： (1x)5(1 x)6(1x)7(1x)8 = (1x)51(1 x)4 (1x)5(1x) 91(1x)x(1x) 5 中x4 的系數(shù)為 C545 ，(1x) 9 中 x 4 的系數(shù)為 C94126 , 126+5= 121,故選 D。評注：例 8 的解法是先求出各展開式中x2 項的系數(shù)，然后再相加；例9 則從整體出發(fā)，把原式看作首相為(1x) 5 ，公比為 (1x)的等比數(shù)列的前4 項和，用等比數(shù)列求和公式減少項數(shù)，簡化了運算。例8 和例 9 的解答方法是求(

10、a b)m(a b)m 1 L (a b)n (m, n N ,1 mn) 的展開式中某特定項系數(shù)的兩種常規(guī)方法。六 、求展開式中若干項系數(shù)的和或差例 10若 (12x) 2004a0a1 x a2 x2.a2004 x2004 ( xR) ，則 (a0a1 ) (a0a2 )(a0a3 )(a0a2004 )_ 。(用數(shù)字作答 )解析：在 (12x)2004a0a1 xa2 x2.a2004 x 2004 中，令 x0 ，則 a01，令 x1，則 a0 a1 a2a3a2004(1) 20041故 (a0a1 ) (a0a2 ) (a0a3 )(a0a2004 )=2003a0 + a0a1a2a3a20042004 。例 11 (2x3) 4a0a1x a2 x2a3 x3a4 x4 ，則 (a0a2a4 ) 2(a1a3 )2的值為（）(A) 1(B) 1(C) 0(D) 2解析：在 (2 x3)4aa xa x2a x3a x4 中，01234令 x1，可得 a0a1a2a3a4( 23)4，令 x1，可得 a0a1a2a3a4(23)4'.所以， (a0 a2a4 ) 2(a1a3 ) 2 = (a0a2a4a1a3 )(a0a2 a4a1a3 )= (a0a1 a2a3a4 )(a0a1a2a3a4 ) =(23)4 (23)4,故=1選