準 - 內(nèi)蒙古師范大學

1、系別年級學號姓名.密.得分.封.線. 高等代數(shù)（二）試卷（8卷） （本試卷滿分100分，答題時間120分鐘）題號一二三四五六七八九十總分評卷人分數(shù)一單選題（每小題2分，共16分）1、n 階方陣A有 n 個不同的特征值是A可以對角化的（ ）A充要條件 B 充分而非必要條件 C 必要而非充分條件 D 既非充分也非必要條件2、下列說法錯誤的是_。A、 B為n階實對稱矩陣，若存在n階可逆方陣C，使得，則A 與 B合同；B. A為n階實對稱矩陣，且對任意n維向量x，都有，則A=0；C. 兩個n階實對稱矩陣合同的充分必要條件是它們有相同的秩；D. 實對稱矩陣的秩r和符號差s具有相同的奇偶性.3、下列敘述錯

2、誤的有_個。 設3階方陣A的特征值是，則B相似于對角陣； 若A是3階方陣，其特征值為，則必是可逆陣； 若A是n階方陣，則A的特征值兩兩互異是A可對角化的充分必要條件； 若，則A的特征值只能是1A. 1B. 2C. 3D. 44、設是向量空間 V 的線性相關的向量組，是 V 的線性變換，則（ ）A線性無關 B 線性相關 C 不一定線性無關 D 全是零向量5、設V是n維歐氏空間，W是V的子空間，則W的正交補的維數(shù)等于（ ）A dimW B n-dimW C n-2dimW D 不確定6、設 u 是正交矩陣，則（ ）A u 的行列式等于 1 B u 的行列式等于-1 C u 的行列式等于±

3、 1 D u 的行列式等于0 7、設是向量空間 V 的對合變換（即= 單位變換），則關于的特征值的說法正確的是A 只有一個特征值為 1 B 只有一個特征值為-1 C 有兩個特征值為1和-1 D 的特征值與維數(shù)無關8、和矩陣正交相似的矩陣是_A.B. C. D. 得分二. 判斷對錯,并解釋原因（每題 3 分，共 15 分）1、兩個子空間的交是子空間，同理并也是子空間. ( )系別年級學號姓名.密.封.線. 2、設是的屬于本征值的本征子空間，則中的任意向量都是的屬于本征值的本征向量. ( )3、若對于方陣A，存在滿足，則線性無關. ( )4、設是n維歐氏空間V的一個正交變換，則關于V的任一基的矩陣

4、都為正交矩陣. ( )5、實對稱矩陣的秩r和符號差s具有相同的奇偶性. ( )得分三、填空題（每題 2 分，共 16 分）1、 如果把n階實對稱矩陣按如下方法分類：兩個實對稱矩陣，屬于同一類當且僅當它們合同，則共分為（ ）類；用同樣的方法所有的n階復對稱矩陣可分為（ ）類.2、 在歐氏空間(標準內(nèi)積)中, 設, 則的長度是( ), 與的距離是( ), 與的夾角是( ).3、 設是10維向量空間V的一個線性變換，關于V的一個基的矩陣為A，已知,dimIm()=7,則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間的維數(shù)是( ).4、設，是3維歐氏空間V的兩組規(guī)范正交基，到的過渡矩陣是且V的正交變換關于的矩陣也是A，則關于的矩陣為（ ）.6、當取值范圍為( )時, 二次型是正定型.系別年級學號姓名.密.封.線.得分四、計算題（共25分）1、 （10分）設(1) 求A的特征值.(2) A可以對角化嗎?為什么?2、 （15分）設二次型, (1) 寫出的系數(shù)矩陣；(2) 求一可逆矩陣P，使是對角矩陣（3）求出的正慣性指數(shù)和符號差.系別年級學號姓名.密.封.線.得分五、證明題（共28分）1、 (15分)設是3維向量空間V的一個線性變換，關于V的一個基的矩陣