垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關系 人教版

1、垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關系一. 本周教學內容： 垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關系學習目標 1. 理解由圓的軸對稱性推出垂徑定理，概括理解垂徑定理及推論為“知二推三”。（1）過圓心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分優(yōu)弧。已知其中兩項，可推出其余三項。注意：當知（1）（3）推（2）（4）（5）時，即“平分弦的直徑不能推出垂直于弦，平分兩弧?！倍鴳獜娬{附加“平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦且平分弦所對的兩弧”。 2. 深入理解垂徑定理及推論，為五點共線，即圓心O，垂足M，弦中點M，劣弧中點D，優(yōu)弧中點C，五點共線。（M點是兩點重合的一點，代表兩層意義）

2、3. 應用以上定理主要是解直角三角形AOM，在RtAOM中，AO為圓半徑，OM為弦AB的弦心距，AM為弦AB的一半，三者把解直角形的知識，借用過來解決了圓中半徑、弦、弦心距等問題。無該RtAOM時，注意巧添弦心距，或半徑，構建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中點到弦的距離，明確由定義知只要是弓形的高，就具備了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），實際可用垂徑定理及推論解決弓形高的有關問題。 5. 圓心角、弧、弦、弦心距四者關系定理，理解為：（1）圓心角相等，（2）所對弧相等，（3）所對弦相等，（4）所對弦的弦心距相等。四項“知一推三”，一項相等，其余三項

3、皆相等。源于圓的旋轉不變性。即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖象完全重合。 6. 應用關系定理及推論，證角等，線段等，弧等，等等，注意構造圓心角或弦心距作為輔助線。 7. 圓心角的度數與弧的度數等，而不是角等于弧。二. 重點、難點： 垂徑定理及其推論，圓心角，弧，弦，弦心距關系定理及推論的應用?！镜湫屠}】 例1. 已知：在O中，弦AB12cm，O點到AB的距離等于AB的一半，求：AOB的度數和圓的半徑。 點悟：本例的關鍵在于正確理解什么是O點到AB的距離。 解：作OEAB，垂足為E，則OE的長為O點到AB的距離，如圖所示： 由垂徑定理知： AOE、BOE為等腰直角三角形 AOB90&

4、#176; 由AOE是等腰直角三角形 即O的半徑為 點撥：作出弦（AB）的弦心距（OE），構成垂徑定理的基本圖形是解決本題的關鍵。 例2. 如圖所示，在兩個同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點，設大圓和小圓的半徑分別為a，b。 求證： 證明：作OEAB，垂足為E，連OA、OC 則 在中， 在中， 即 由垂徑定理，得： AB、CD之間的距離為17cm，故應填17cm。 點撥：本題應用垂徑定理，構造直角三角形，再由勾股定理解題，很巧妙。 例3. O的直徑為12cm，弦AB垂直平分半徑OC，那么弦AB的長為（ ） A. B. 6cmC. D. （2001年遼寧） 解：圓的半徑為6cm，半徑OC

5、的一半為3cm，故弦的長度為 故選C。 例4. 如圖所示，以O為圓心，AOB120°，弓形高ND4cm，矩形EFGH的兩頂點E、F在弦AB上，H、G在上，且EF4HE，求HE的長。 解：連結AD、OG OAOD AOD為等邊三角形 ODAN NOND4cm ODOG8cm 設，則 在中，由得： 解得：（舍去） HE的長為cm 點撥：借助幾何圖形的性質，找出等量關系，列出方程求解，這是解決幾何計算題的常用方法。 例5. 已知，AB是O的弦，半徑OCAB于點D，且，則DC的長為（ ） A. 3cmB. 2.5cmC. 2cmD. 1cm（2001年北京東城區(qū)） 解： 故選C。 常見錯誤：

6、將DC錯算為OD，即算出OD就不再計算DC了，從而錯選A。這種錯誤十分常見，一定要注意慎重的計算完全。 例6. 在O中，那么（ ） A. B. C. D. 解：如圖所示，連結BC。 在ABC中，ABACBC AB2AC 故選D。 點撥：本題考察弦、弧、圓心角之間的關系，要正確理解三者之間的關系定理。 例7. 已知O的半徑是10cm，是120°，那么弦AB的弦心距是（ ） A. 5cmB. C. D. 解：如圖所示，AOB120° 在RtACO中， 故選A。 點撥：本題考察弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系，要正確構造三角形，靈活運用。 例8. 等腰ABC的頂角A120

7、6;，腰ABAC10，ABC的外接圓半徑等于（ ） A. 20B. 15C. 10D. 5 解：如圖所示，連結OA、OB ABAC10 由垂徑定理的推論，得OA垂直平分BC，垂足為D 又BAC120° ABCACB30° BAO60° 又OAOB AOB是等邊三角形 半徑OAOBAB10 故選C。 點撥：垂徑定理及其推論是很重要的性質，主要解題思路是構造特殊的三角形，然后應用定理解題。 例9. 點P為半徑是5的O內一點，且OP3，在過點P的所有弦中，長度為整數的弦一共有（ ） A. 2條B. 3條C. 4條D. 5條（2002年山東） 解：選C。 點撥：圓是中心對

8、稱圖形，故與P點對稱的點，關于中點對稱有一個，關于軸對稱有2個。因此，長度為整數弦一共有4條。 例10. 如圖所示，M、N分別是O的弦AB、CD的中點，ABCD。 求證：AMNCNM 點悟：由弦ABCD，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關系定理，又M、N分別為AB、CD的中點，如連結OM、ON，則有OMON，OMAB，ONCD，故易得結論。 證明：連結OM、ON O為圓心，M、N分別為弦AB、CD的中點 OMAB，ONCD ABCD OMON OMNONM AMN90°OMN CNM90°ONM AMNCNM 點撥：有弦中點，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心

9、距之間關系定理來證題。 例11. 在與中，分別有40°的和，那么： （1）與相等嗎？ （2）與相等嗎？ 錯解：（1）因為與都是40°的弧 所以 （2）與相等，所以 常見錯誤：（1）誤以為弧的度數相等弧亦相等，兩弧相等必須是在同圓或等圓的前提下，看它們是否“重合”；（2）應該知道圓心角是角，它的大小是可以用度數來衡量的，度數相同的角就相等?？梢娝皇芩鶎Φ幕∠嗟扰c否來制約。 正解：（1）不一定相等。（2）相等?！灸M試題】一. 選擇題。 1. 下列命題中，正確的命題是（ ） A. 平分一條弦的直徑，垂直平分這條弧所對的弦 B. 平分弦的直徑垂直于弦，并平分弦所對的弧 C. 在

10、O中，AB、CD是弦，若，則ABCD D. 圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓的每一條直徑 2. 已知P為O內一點，且OP3cm，如果O的半徑是4cm，那么過P點的最短弦等于（ ） A. 2cmB. 3cmC. cmD. cm 3. 弓形弦長24，弓形高為8，則弓形所在圓的直徑是（ ） A. 10B. 26C. 13D. 5 4. 在直徑是10cm的O中，為60°，則弦AB的弦心距是（ ） A. B. C. D. 5. AB、CD分別為大小不同圓的弦，共ABCD，那么的關系是（ ） A. B. C. D. 不確定二. 填空題。 6. 已知AB為O直徑，AC為弦，ODBC交AC于D，AC6cm

11、，則DC_。 7. 直角三角形外接圓的圓心在_，它的半徑為_一半。 8. 若一個圓經梯形ABCD四個頂點，則這個梯形是_梯形。 9. 弦AB把O分3：7，則AOB_。 10. 若O半徑是4，P在O內，PO2，則過P點的最短的弦所對劣弧是_度。 11. O中，弦AB垂直直徑CD于點P，半徑OA4cm，OP2cm，則AOB_，ADC_，度數為_，ADC周長為_ cm。三. 解答題。 12. 如圖，O的兩弦AB，CD互相垂直于H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O半徑。 13. 已知：如圖，C為O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CDCO，若度數為50°，求的度數?！驹囶}答案】一. 選擇題。 1. A2. D3. B4. D5. D二. 填空題。 6. 3cm 7. 斜邊中點，斜邊長 8. 等腰 9. 108° 10. 120° 11. 120°，30°或60°，60°或1