初一數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題(共21頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初一數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題（含答案）初一奧數(shù)題一甲多開支100元，三年后負(fù)債600元求每人每年收入多少？ S的末四位數(shù)字的和是多少？4一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程5求和：6證明：質(zhì)數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù)8若兩個整數(shù)x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除9如圖195所示在四邊形ABCD中，對角線AC，BD的中點為M，N，MN的延長線與AB邊交于P點求證：PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半解答：所以 x=5000(元)所以S的末四位數(shù)字的和為1995=2

2、43因為 a-b0，即ab即當(dāng)ba0或ba0時，等式成立4設(shè)上坡路程為x千米，下坡路程為y千米依題意則有由有2x+y=20， 由有y=12-x將之代入得 2x+12-x=20所以x=8(千米)，于是y=4(千米)5第n項為所以6設(shè)p=30qr，0r30因為p為質(zhì)數(shù)，故r0，即0r30假設(shè)r為合數(shù)，由于r30，所以r的最小質(zhì)約數(shù)只可能為2，3，5再由p=30qr知，當(dāng)r的最小質(zhì)約數(shù)為2，3，5時，p不是質(zhì)數(shù)，矛盾所以，r一定不是合數(shù)7設(shè)由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知m4由，m0，且為整數(shù)，所以m=1，2，3下面分別研究p，q(1)若m=1時，有解得

3、p=1，q=1，與已知不符，舍去(2)若m=2時，有因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解(3)若m=3時，有解之得故 pq=88因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由題設(shè)，9(x2+xyy2)，所以3(x2xyy2)，從而3(x-y)2因為3是質(zhì)數(shù)，故3(x-y)進(jìn)而9(x-y)2由上式又可知，93xy，故3xy所以3x或3y若3x，結(jié)合3(x-y)，便得3y；若3y，同理可得，3x9連結(jié)AN，CN，如圖1103所示因為N是BD的中點，所以上述兩式相加另一方面，SPCD=SCNDSCNPSDNP因此只需證明SANDSCNPSDNP由于M，N分別為AC，BD的中點

4、，所以SCNP=SCPM-SCMN =SAPM-SAMN=SANP又SDNP=SBNP，所以SCNPSDNP=SANP+SBNP=SANB=SAND初一奧數(shù)題二1已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x2000的值2某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現(xiàn)在他們采用提高售價、減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，根據(jù)經(jīng)驗，這種商品每漲價1元，每天就少賣出10件試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？3如圖196所示已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，12=90°求證：DAAB4已知方程組的解應(yīng)為一個學(xué)生解題時把c抄錯了，因此得到的解為求a2b2

5、c2的值5求方程xy-2x+y=4的整數(shù)解6王平買了年利率7.11的三年期和年利率為7.86的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續(xù)存兩個一年期的定期儲蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？(一年期定期儲蓄年利率為5.22)7對k，m的哪些值，方程組 至少有一組解？8求不定方程3x4y13z=57的整數(shù)解9小王用5元錢買40個水果招待五位朋友水果有蘋果、梨子和杏子三種，每個的價格分別為20分、8分、3分小王希望他和五位朋友都能分到蘋果，并且各人得到的蘋果數(shù)目互不相同，試問他能否實現(xiàn)自己的愿望？解答：1原式=2x(3x2-x

6、)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×13×1-2x+2000=20032原來每天可獲利4×100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4x)元，但每天賣出為(100-10x)件如果設(shè)每天獲利為y元，則y (4x)(100-10x)=400100x-40x-10x2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490所以當(dāng)x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大，為490元3因為CE平分BCD，DE平分ADC及12=90°(圖1104)，所以ADCBCD=180°，所以 ADBC又因為 ABBC，由， ABAD4依

7、題意有所以a2+b2+c2=345xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2因為x10，且x，y都是整數(shù)，所以所以有6設(shè)王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則因為y=35000-x，所以 x(10.0711×3)(10.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)7因為 (k1)xm-4， m為一切實數(shù)時，方程組有唯一解當(dāng)k=1，m=4時，的解

8、為一切實數(shù)，所以方程組有無窮多組解當(dāng)k=1，m4時，無解所以，k1，m為任何實數(shù)，或k=1，m=4時，方程組至少有一組解8由題設(shè)方程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m原方程的通解為 其中n，m取任意整數(shù)值9設(shè)蘋果、梨子、杏子分別買了x，y，z個，則消去y，得12x-5z=180它的解是x=90-5t，z=180-12t代入原方程，得y=-23017t故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t x=20，y=8，z=12因此，小王的愿望不能實現(xiàn)，因為按他的要求，蘋果至少要有123+456=2120個初一奧數(shù)題三1解關(guān)于x的方程2解方程其中abc03

9、求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展開式中各項系數(shù)之和4液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時農(nóng)藥的濃度為72，求桶的容量5滿足-1.77x=-2x的自然數(shù)x共有幾個？這里x表示不超過x的最大整數(shù)，例如-5.6=-6，3=36設(shè)P是ABC內(nèi)一點求：P到ABC三頂點的距離和與三角形周長之比的取值范圍7甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經(jīng)過9小時到東站，乙經(jīng)過16小時到西站，求兩站距離8黑板上寫著三個數(shù)，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數(shù)的和減1，這樣繼續(xù)下去，最后得到19，1997，1999，問原來的三個數(shù)能否是2，2

10、，2？9設(shè)有n個實數(shù)x1，x2，xn，其中每一個不是+1就是-1，且求證：n是4的倍數(shù)解答：1化簡得6(a-1)x=3-6b+4ab，當(dāng)a1時，2將原方程變形為由此可解得x=ab+c3當(dāng)x=1時，(8-6+4-7)3(2-1)2=1即所求展開式中各項系數(shù)之和為1依題意得去分母、化簡得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5若n為整數(shù)，有nx=nx，所以-1.77x=-2x0.23x=-2x+0.23x由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x，所以 0.23x=0又因為x為自然數(shù)，所以00.23x1，經(jīng)試驗，可知x可取1，2，3，4，共4個6如圖1105

11、所示在PBC中有BCPBPC， 延長BP交AC于D易證PBPCABAC 由， BCPBPCAB+AC， 同理 ACPAPCACBC， ABPAPBACAB 得ABBCCA2(PAPBPC)2(ABBCCA)所以7設(shè)甲步行速度為x千米/小時，乙步行速度為y千米/小時，則所求距離為(9x+16y)千米依題意得由得16y2=9x2， 由得16y=249x，將之代入得即 (249x)2=(12x)2解之得于是所以兩站距離為9×816×6=168(千米)8答案是否定的對于2，2，2，首先變?yōu)?，2，3，其中兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)以后無論改變多少次，總是兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)(數(shù)值可以改變，但

12、奇偶性不變)，所以，不可能變?yōu)?9，1997，1999這三個奇數(shù)。又因為所以，k是偶數(shù)，從而n是4的倍數(shù)初一奧數(shù)題四1已知a，b，c，d都是正數(shù)，并且ada，cdb求證：acbdab2已知甲種商品的原價是乙種商品原價的1.5倍因市場變化，乙種商品提價的百分?jǐn)?shù)是甲種商品降價的百分?jǐn)?shù)的2倍調(diào)價后，甲乙兩種商品單價之和比原單價之和提高了2，求乙種商品提價的百分?jǐn)?shù)3在銳角三角形ABC中，三個內(nèi)角都是質(zhì)數(shù)求三角形的三個內(nèi)角4某工廠三年計劃中，每年產(chǎn)量遞增相同，若第三年比原計劃多生產(chǎn)1000臺，那么每年比上一年增長的百分?jǐn)?shù)就相同，而且第三年的產(chǎn)量恰為原計劃三年總產(chǎn)量的一半，求原計劃每年各生產(chǎn)多少臺？ z=

13、x+y+y+1+x-2y+4，求z的最大值與最小值8從1到500的自然數(shù)中，有多少個數(shù)出現(xiàn)1或5？9從19，20，21，98這80個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使它們的和為偶數(shù)的選法有多少種？解答：1由對稱性，不妨設(shè)ba，則acbdacad=a(cd)ab2設(shè)乙種商品原單價為x元，則甲種商品的原單價為1.5x元設(shè)甲商品降價y，則乙商品提價2y依題意有1.5x(1-y)+x(12y)=(1.5xx)(12)，化簡得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02所以y=0.1=10，所以甲種商品降價10，乙種商品提價203因為A+BC=180°，所以A，B，C中必有偶數(shù)唯一的偶質(zhì)數(shù)為

14、2，所以C=2°所以A+B=178°由于需A，B為奇質(zhì)數(shù)，這樣的解不唯一，如4設(shè)每年增產(chǎn)d千臺，則這三年的每一年計劃的千臺數(shù)分別為a-d，a，ad依題意有 解之得所以三年產(chǎn)量分別是4千臺、6千臺、8千臺不等式組： 所以 x2； 無解6設(shè)原式為S，則 所以又0.112-0.001=0.111因為所以 =0.1057由x1，y1得 -1x1，-1y1所以y10，x-2y+4-1-2×1+4=10所以z=x+y+(y+1)+(x-2y+4)=x+yx-y5(1)當(dāng)x+y+0時，z=-(x+y)x-y+5=5-2y由-1y1可推得35-2y7，所以這時，z的最小值為3、最

15、大值為7(2)當(dāng)x+y0時，z=(xy)+(x-y+5)=2x+5由-1x1及可推得32x+57，所以這時z的最小值為3、最大值為7由(1)，(2)知，z的最小值為3，最大值為78百位上數(shù)字只是1的數(shù)有100，101，199共100個數(shù)；十位上數(shù)字是1或5的(其百位上不為1)有2×3×10=60(個)個位上出現(xiàn)1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有2×3×8=48(個)再加上500這個數(shù)，所以，滿足題意的數(shù)共有100+60+48+1=209(個)9從19到98共計80個不同的整數(shù)，其中有40個奇數(shù)，40個偶數(shù)第一個數(shù)可以任選，有80種選法第一個數(shù)如果是

16、偶數(shù)，第二個數(shù)只能在其他的39個偶數(shù)中選取，有39種選法同理，第一個數(shù)如果是奇數(shù)，第二個數(shù)也有39種選法，但第一個數(shù)為a，第二個為b與第一個為b，第二個為a是同一種選法，所以總的選法應(yīng)該折半，即共有種選法初一奧數(shù)題五1一項任務(wù)，若每天超額2件，可提前計劃3天完工，若每天超額4件，可提前5天完工，試求工作的件數(shù)和原計劃完工所用的時間2已知兩列數(shù)2，5，8，11，14，17，2(200-1)×3，5，9，13，17，21，25，5(200-1)×4，它們都有200項，問這兩列數(shù)中相同的項數(shù)有多少項？3求x3-3px2q能被x22axa2整除的條件4證明不等式5若兩個三角形有一個

17、角對應(yīng)相等求證：這兩個三角形的面積之比等于夾此角的兩邊乘積之比6已知(x-1)2除多項式x4ax3-3x2bx3所得的余式是x+1，試求a，b的值7今有長度分別為1，2，3，9的線段各一條，可用多少種不同方法，從中選用若干條，使它們能圍成一個正方形？8平面上有10條直線，其中4條是互相平行的問：這10條直線最多能把平面分成多少部分？9邊長為整數(shù)，周長為15的三角形有多少個？解答：1設(shè)每天計劃完成x件，計劃完工用的時間為y天，則總件數(shù)為xy件依題意得 解之得總件數(shù)xy=8×15=120(件)，即計劃用15天完工，工作的件數(shù)為120件2第一列數(shù)中第n項表示為2(n-1)×3，第

18、二列數(shù)中第m項表示為5(m-1)×4要使2(n-1)×35+(m-1)×4所以因為1n200，所以所以m=1，4，7，10，148共50項3x3-3px+2q被x22axa2除的余式為3(a2-p)x2(qa3)，所以所求的條件應(yīng)為4令因為所以5如圖1-106(a)，(b)所示ABC與FDE中，A=D現(xiàn)將DEF移至ABC中，使A與D重合，DE=AE，DF=AF，連結(jié)FB此時，AEF的面積等于三角形DEF的面積×得6不妨設(shè)商式為x2+·x由已知有x4ax3-3x2bx3=(x-1)2(x2+·x)+(x1)=(x2-2x1)(x2· x)x1=x4+(-2)x3+(1-2)x2(1-2)x+1比較等號