matlab-多目標(biāo)規(guī)劃模型

1、1多目標(biāo)規(guī)劃模型多目標(biāo)規(guī)劃模型 在現(xiàn)實生活中在現(xiàn)實生活中,決策的目標(biāo)往往有多個決策的目標(biāo)往往有多個,例如例如,對企業(yè)產(chǎn)品的生產(chǎn)管對企業(yè)產(chǎn)品的生產(chǎn)管理理,既希望達(dá)到高利潤既希望達(dá)到高利潤,又希望優(yōu)質(zhì)和低消耗又希望優(yōu)質(zhì)和低消耗,還希望減少對環(huán)境的污還希望減少對環(huán)境的污染等染等.這就是一個多目標(biāo)決策的問題這就是一個多目標(biāo)決策的問題.又如選購一個好的計算機系統(tǒng)又如選購一個好的計算機系統(tǒng),似乎只有一個目標(biāo)似乎只有一個目標(biāo),但由于要從多方面去反映但由于要從多方面去反映,要用多個不同的準(zhǔn)則要用多個不同的準(zhǔn)則來衡量來衡量,比如比如,性能要好性能要好,維護要容易維護要容易,費用要省費用要省.這些準(zhǔn)則自然構(gòu)成了多

2、這些準(zhǔn)則自然構(gòu)成了多個目標(biāo)個目標(biāo),故也是一個多目標(biāo)決策問題故也是一個多目標(biāo)決策問題.矛盾性、不可公度性。矛盾性、不可公度性。一般來說一般來說,多目標(biāo)決策問題有兩類多目標(biāo)決策問題有兩類.一類是多目標(biāo)規(guī)劃問題一類是多目標(biāo)規(guī)劃問題,其對其對象是在管理決策過程中求解使多個目標(biāo)象是在管理決策過程中求解使多個目標(biāo)都達(dá)到都達(dá)到滿意結(jié)果的最優(yōu)方案滿意結(jié)果的最優(yōu)方案.另一類是多目標(biāo)優(yōu)選問題另一類是多目標(biāo)優(yōu)選問題,其對象是在管理決策過程中根據(jù)多個目標(biāo)其對象是在管理決策過程中根據(jù)多個目標(biāo)或多個準(zhǔn)則衡量和得出各種備選方案的或多個準(zhǔn)則衡量和得出各種備選方案的優(yōu)先等級與排序優(yōu)先等級與排序. 多目標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多多目

3、標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多,有些目標(biāo)之間又有些目標(biāo)之間又彼此有矛盾彼此有矛盾,這就使多目標(biāo)問題成為一個復(fù)雜而困難這就使多目標(biāo)問題成為一個復(fù)雜而困難的問題的問題.但由于客觀實際的需要但由于客觀實際的需要,多目標(biāo)決策問題越來多目標(biāo)決策問題越來越受到重視越受到重視,因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法.一般來說一般來說,其基本途徑是其基本途徑是,把求解多目標(biāo)問題把求解多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求轉(zhuǎn)化為求解單目標(biāo)問題解單目標(biāo)問題.其主要步驟是其主要步驟是,先轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題先轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題,然后利用單目標(biāo)模型的方法然后利用單目標(biāo)模型的方法,求出單目標(biāo)模型的最優(yōu)求出單目標(biāo)模型的最優(yōu)解

4、解,以此作為多目標(biāo)問題的解以此作為多目標(biāo)問題的解. 化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩類類,一類是轉(zhuǎn)化為一個單目標(biāo)問題一類是轉(zhuǎn)化為一個單目標(biāo)問題,另一類是轉(zhuǎn)化為多另一類是轉(zhuǎn)化為多個單目標(biāo)問題個單目標(biāo)問題,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化. 下面下面,我們介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法我們介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法:主要目標(biāo)法、主要目標(biāo)法、線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。f1f21234567810.1多目標(biāo)決策問題的特征多目標(biāo)決策問題的特征 在解決單目標(biāo)問題時，我們的任務(wù)是選擇一個或一組變在解決單目標(biāo)問題時，我們的任務(wù)是選擇一個

5、或一組變量量X，使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù)f(X)取得最大（或最?。?。對于任意兩方案取得最大（或最?。?。對于任意兩方案所對應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)所對應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)誰劣。但在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有誰劣。但在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個目標(biāo)兩個目標(biāo)f1(X)，f2(X),希望它們都越大越好。下圖列出在這兩希望它們都越大越好。下圖列出在這兩個目標(biāo)下共有個目標(biāo)下共有8個解的方案。其中方案個解的方案。其中方案1，2，3，4稱為劣解，稱為劣解，因為它們在兩個目標(biāo)值上都比方案因為它們在兩個目標(biāo)值上都比方案5差，是可以

6、淘汰的解。而差，是可以淘汰的解。而方案方案5，6，7，8是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因為是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因為這些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個與其余任何一這些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個與其余任何一個相比，總有一個指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個指標(biāo)卻更差。個相比，總有一個指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個指標(biāo)卻更差。一、解的特點一、解的特點二、模型結(jié)構(gòu)二、模型結(jié)構(gòu) 多目標(biāo)決策問題包含有三大要素：目標(biāo)、方案和決策者。多目標(biāo)決策問題包含有三大要素：目標(biāo)、方案和決策者。在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次來看，目標(biāo)代表了問

7、題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的來看，目標(biāo)代表了問題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的投資項目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標(biāo)可投資項目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標(biāo)可看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實現(xiàn)的各個具體的目標(biāo)，如投資項看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實現(xiàn)的各個具體的目標(biāo)，如投資項目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險要??；目標(biāo)也可看成衡量目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險要??；目標(biāo)也可看成衡量總目標(biāo)得以實現(xiàn)的各個準(zhǔn)則，如食品的味道要好，質(zhì)量要總目標(biāo)得以實現(xiàn)的各個準(zhǔn)則，如食品的味道要好，質(zhì)量要好，花費要少。好，花費要少。 多目標(biāo)決策問題中的方案即為決策變量，也稱為多目多目標(biāo)決策問題中的方案即為決策變量，也稱為

8、多目標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標(biāo)決標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標(biāo)決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題策中，有些問題的方案是有限的，有些問題 的方案是無限的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。1、多目標(biāo)規(guī)劃問題的模型結(jié)構(gòu)0)(0)(. .)(),.,(),()(21XhXgtsXfXfXfXoptFjiTp),.,(21nxxxX 為決策變量如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F(X*)F(X)有效解：若不存在X，使得F(X*) F(X)弱有效解：若不存在X，使得F(X

9、*)F(X)2、多目標(biāo)優(yōu)選問題的模型結(jié)構(gòu) 可用效用函數(shù)來表示。設(shè)方案的效用是目標(biāo)屬性的函數(shù)：),.,()(21pfffUxU并設(shè))(jiijxfa 且各個方案的效用函數(shù)分別為),.,()(21pjjjjaaaUxU則多目標(biāo)優(yōu)選模型的結(jié)構(gòu)可表示如下：0)(0)(. .)(),.,(),()(21XhXgtsXUXUXUXordUjiTp10.2 多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解1、主要目標(biāo)法、主要目標(biāo)法 在有些多目標(biāo)決策問題中，各種目標(biāo)的重要性程度往往不一樣。其中一個重要性程度最高和最為關(guān)鍵的目標(biāo)，稱之為主要目標(biāo)法。其余的目標(biāo)則稱為非主要目標(biāo)。0)(0)(. .)(),.,(),()(2

10、1XhXgtsXfXfXfXoptFjiTp例如，在上述多目標(biāo)問題中，假定f1(X)為主要目標(biāo)，其余p-1個為非主要目標(biāo)。這時，希望主要目標(biāo)達(dá)到極大值，并要求其余的目標(biāo)滿足一定的條件，即1,.,2 , 1,)(,.,2 , 1, 0)(,.,2 , 1, 0)(. .)(max1pkXfmjXhniXgtsXfkkji例題例題1 某工廠在一個計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品某工廠在一個計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要消耗都要消耗A，B，C三種不同的資源。每件產(chǎn)品對資源的單位三種不同的資源。每件產(chǎn)品對資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價格、單位利潤和消耗、各種資源的限量以及各

11、產(chǎn)品的單位價格、單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都最大，且造成的污染期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都最大，且造成的污染最??？最小？解：問題的多目標(biāo)模型如下0,300103200542404923)(max(600400)(max12070)(max21212121213212211xxxxxxxxxxXfxxXfxxXf對于上述模型的三個目標(biāo)，工廠確定利潤最大為主要目標(biāo)。另兩個目標(biāo)則通過預(yù)測預(yù)先給定的希望達(dá)到的目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為約束條件。經(jīng)研究，工廠認(rèn)為總產(chǎn)值至少應(yīng)達(dá)到20000個單位

12、，而污染控制在90個單位以下，即9023)(20000600400)(213212xxXfxxXf由主要目標(biāo)法化為單目標(biāo)問題0,300103200542404990232000060040012070)(max212121212121211xxxxxxxxxxxxxxXf用單純形法求得其最優(yōu)解為90)(,20750)(,4025)(,25.26, 5 .1232121xfxfxfxx2、線性加權(quán)和目標(biāo)規(guī)劃、線性加權(quán)和目標(biāo)規(guī)劃0)(0)(. .)(),.,(),()(21XhXgtsXfXfXfXoptFjiTp在上述目標(biāo)規(guī)劃中，假定f1(X),f2(X),fp(X)具有相同的量綱,按照一定的規(guī)

13、則分別給fi賦予相同的權(quán)系數(shù)i，作線性加權(quán)和評價函數(shù)piiiXfXU1)()(則多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)問題0)(0)(. .)()(max1XhXgtsXfXUjipiii例如，某公司計劃購進一批新卡車，可供選擇的卡車有如例如，某公司計劃購進一批新卡車，可供選擇的卡車有如下下4種類型：種類型：A1，A2，A3，A4?，F(xiàn)考慮現(xiàn)考慮6個方案屬性：維個方案屬性：維修期限修期限f1，每每100升汽油所跑的里數(shù)升汽油所跑的里數(shù)f2，最大載重噸數(shù)最大載重噸數(shù)f3，價價格（萬元）格（萬元）f4，可靠性可靠性f5，靈敏性靈敏性f6。這這4種型號的卡車分別種型號的卡車分別關(guān)于目標(biāo)屬性的指標(biāo)值關(guān)于目標(biāo)屬性的指

14、標(biāo)值fij如下表所示。如下表所示。首先對不同度量單位和不同數(shù)量級的指標(biāo)值進行標(biāo)準(zhǔn)化處理。首先對不同度量單位和不同數(shù)量級的指標(biāo)值進行標(biāo)準(zhǔn)化處理。先將定性指標(biāo)定量化：先將定性指標(biāo)定量化：可靠性和靈敏性都屬于效益型指標(biāo)，其打分如下按以下公式作無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化處理1*)*(99jjjijijffffa其中：ijijijijffffminmax*變換后的指標(biāo)值矩陣為：設(shè)權(quán)系數(shù)向量為W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),則925.57)(max*27.40)(925.57)(6 .40)(34)(36144613361226111XUUUaXUaXUaXUaXUjjjjjjjjjjjj故最

15、優(yōu)方案為選購A3型卡車3、分層序列法：、分層序列法：1.基本步驟：把(VP)中的p個目標(biāo) 按其重要程度排序。依次求單目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解。2. 過程：無妨設(shè)其次序為 先求解 得最優(yōu)值 ，記再解 得最優(yōu)值 ，依次進行，直到 得最優(yōu)值則 是在分層序列意義下的最優(yōu)解集合。)(,),(1xfxfppfff,21SxtsxfP. .)(min)(11*1fSfxfxS*111)(122. .)(min)(SxtsxfP*2f1*222)(SfxfxS1. .)(min)(pppSxtsxfP*pf1*)(ppppSfxfxS3. 性質(zhì)： ，即在分層序列意義下的最優(yōu)解是有效解。證明：反證。設(shè) ，但 ，則必存在

16、 使 即至少有一個j0 ，使 , 由于 ，即 ， 矛盾。得證。4. 進一步討論： 上述方法過程中，當(dāng)某個問題(Pj)的解唯一時，則問題 的求解無意義，因為解都是唯一的。 實際求解時，有較寬容意義下的分層序列法： 取 為預(yù)先給定的寬容值，整個解法同原方法類似，只是取各約束集合時，分別取為：pjPP,10, 011ppjSfxfxSjjjj, 3 , 2,)(1*)(min)(0000*xffxfjSxjjj0jSx)()(00 xfyfjj1, 1),()(0jjxfyfjj)()(xFyFSy *paSxpSx *papSS 4、步驟法（、步驟法（STEM法）法） 這是一種交互方法，其求解過程

17、通過分析者與決策者之間的對話逐步進行，故稱步驟法。 步驟法的基本思想是，首先需要求出原多目標(biāo)問題的一組理想解(f1*,f2*,fp*)。實際上，這些解fi*(i=1,2,p)無法同時達(dá)到，但可以當(dāng)作一組理想的最優(yōu)值。以理想解作為一個標(biāo)準(zhǔn)，可以估計有效解，然后通過對話，不斷修改目標(biāo)值，并把降低要求的目標(biāo)作為新的約束條件加入原來的約束條件中去重新計算，直到?jīng)Q策者得到滿意的解。 步驟法算法如下：第一步：分別求解以下p個單目標(biāo)問題的最優(yōu)解0)(0)(. .)(max1XhXgtsxcXfjinjjiji得到最優(yōu)解 ，其相應(yīng)的目標(biāo)值 即為理想值，此最優(yōu)解處別的目標(biāo)所取的值用 表示，即 ，把上述計算結(jié)果列

18、入下表).,2 , 1(*piXi).,2 , 1(*pifikizpkikXfzikki,.,2 , 1,),(*21*21*11211*121pipppppiiiiipipifzzzXzfzzXzzzfXffffX在表中，確定每一列的最小值并記第i列的最小值為fip(i=1,2,p)第二步：求解0,.,2 , 1,)(*(minSXpiXffiii其中：piiii1這里0*,*0*,*2/1122/112injijpiipiinjijipiiifcffffcfff（1）第三步：將上述模型（1）的解X0與相應(yīng)的目標(biāo)值f1(X0), f2(X0), ,fp(X0) 交給決策者去判斷。決策者把這

19、些目標(biāo)值與理想值進行比較后，如果認(rèn)為其中某些目標(biāo)值太壞，另一些目標(biāo)值可以不要那么太好，可以把比較好的目標(biāo)值中的某一個修改得差一些，以使水平太壞的目標(biāo)得到改善。 當(dāng)決策者減少了第j個目標(biāo)的值 之后，約束條件S應(yīng)該改為S*jfpijiXfXfkjfXfXfSSiijjj,.,2 , 1,),()(,.,2 , 1,)()(*00在進行下一次迭代時，對應(yīng)于降低了要求的那些目標(biāo)fj(j=1,2,k)的權(quán)系數(shù)i應(yīng)該設(shè)為0。這種迭代繼續(xù)下去，直到?jīng)Q策者滿意為止。例題：例題：某公司考慮生產(chǎn)兩種光電太陽能電池：產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙。這種生產(chǎn)過程會在空氣中引起放射性污染。因此，公司經(jīng)理有兩個目標(biāo)：極大化利潤與極小化總

20、的放射性污染。已知在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是3元。而放射性污染的數(shù)量，每單位甲產(chǎn)品是1.5個單位,每單位乙產(chǎn)品是1個單位.由于機器能力(小時)、裝配能力（人時）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是)(725)(42 . 02 . 0)(825. 05 . 0212121原材料裝配能力機器能力xxxxxx目標(biāo)有兩個:一是利潤最大,二是污染最小.該問題的多目標(biāo)規(guī)劃模型如下:)(725)(42 . 02 . 0)(825. 05 . 05 . 1)(,3)()(),()(max21212121221121原材料裝配能力機器能力xxxxxxxxXfxxXfXf

21、XfXFT解:首先,分別求解兩個單目標(biāo)問題的最優(yōu)解,由它們得到的目標(biāo)函數(shù)值組成理想解.)(725)(42 . 02 . 0)(825. 05 . 03)(max212121211原材料裝配能力機器能力xxxxxxxxXf)(725)(42 . 02 . 0)(825. 05 . 05 . 1)(max212121212原材料裝配能力機器能力xxxxxxxxXf46*)13, 7(1*1fX0*)0 , 0(1*2fX由此,構(gòu)造支付表由此計算兩個目標(biāo)與理想值偏離的權(quán)重637. 0,363. 0,555. 0,316. 02121解下列線性規(guī)劃問題:0,7254)2 . 02 . 08)25. 0

22、5 . 0)230(637. 0)346(363. 0min212121212121xxxxxxxxxxxx由此求得,064. 7,192.21,064. 7, 02121ffxx分析者把計算結(jié)果交給決策者,決策者將目標(biāo)值與理想值(21.192,-7.064)與理想值(46,0)比較,如果認(rèn)為f2是滿意的,但利潤太低,并認(rèn)為污染可接受到10個單位.于是,約束集修改成0,192.213105 . 17254)2 . 02 . 08)25. 05 . 0212121212121xxxxxxxxxxxx進行下一輪迭代.首先設(shè)2=0,并計算得1=1.將模型修改為0,7254)2 . 02 . 08)2

23、5. 05 . 0192.21310)5 . 1346min21212121212121xxxxxxxxxxxxxx由此求得:10,3010, 02121ffxx決策者把這一結(jié)果與前一輪的解及理想值作比較,認(rèn)為兩個目標(biāo)值都比較滿意,則迭代結(jié)束. 目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃模型 線性規(guī)劃問題都是處理單個目標(biāo)的情況，但是在現(xiàn)實世界中有許多問題具有多個目標(biāo)，這些目標(biāo)的重要性各不相同，往往有不同的量綱，有的目標(biāo)相互依賴，例如決策者既希望實現(xiàn)利潤最大，又希望實現(xiàn)產(chǎn)值最大；有的相互抵觸，如決策者既希望充分利用資源，又不希望超越資源限量。而決策者希望在某些限制條件下，依次實現(xiàn)這些目標(biāo)。這就是目標(biāo)規(guī)劃所要解決的問題

24、。當(dāng)所有的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性時，我們稱其為線性目標(biāo)規(guī)劃問題。在這里我們主要討論線性目標(biāo)規(guī)劃問題。一、目標(biāo)規(guī)劃模型的建立一、目標(biāo)規(guī)劃模型的建立 引例引例1： 對于生產(chǎn)計劃問題： 甲 乙 資源限額 材料 2 3 24 工時 3 2 26 單位利潤 4 3 現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場等一系列其他因素，提出如下目標(biāo)：（1）根據(jù)市場信息，甲產(chǎn)品的銷量有下降的趨勢，而乙產(chǎn)品的銷量有上升的趨勢，故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的產(chǎn)量。（2）盡可能充分利用工時，不希望加班。（3）應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計劃利潤30元?，F(xiàn)在的問題是：在原材料不能超計劃使用的前提下，如何安排生產(chǎn)才能使上述目標(biāo)依次實現(xiàn)？解：（1）決策

25、變量：仍設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為x1和x2 偏差變量：對于每一目標(biāo)，我們引進正、負(fù)偏差變量。 如對于目標(biāo)1，設(shè)d1-表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量低于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)，d1+表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)。稱它們分別為產(chǎn)量比較的負(fù)偏差變量和正偏差變量。則對于目標(biāo)1，可將它表示為等式約束的形式 -x1+x2+ d1- d1+ =0 (目標(biāo)約束) 同樣設(shè)d2-和d2+分別表示安排生產(chǎn)時，低于可利用工時和高于可利用工時，即加班工時的偏差變量，則對目標(biāo)2，有 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 對于目標(biāo)3，設(shè)d3-和d3+分別表示安排生產(chǎn)時，低于計劃利潤30元和高于計劃利潤30元的偏差變量，有： 4x1+

26、3x2+ d3-d3+ =30 （2）約束條件：有資源約束和目標(biāo)約束 資源約束：2x1+3x224 目標(biāo)約束：為上述各目標(biāo)中得出的約束 （3）目標(biāo)函數(shù)：三個目標(biāo)依次為： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2- ，minZ3=d3- 因而該問題的數(shù)學(xué)模型可表述如下： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2-，minZ3=d3- 2x1+3x224 st -x1+x2+ d1- d1+ =0 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 4x1+3x2+ d3-d3+ =30 案例案例2（提級加新問題）（提級加新問題） 某公司的員工工資有四級，根據(jù)公司的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，準(zhǔn)備招收部分新員工，并

27、將部分員工的工資提升一級。該公司的員工工資及提級前后的編制表如下，其中提級后編制是計劃編制，允許有變化，其中1級員工中有8%要退休。公司領(lǐng)導(dǎo)的目標(biāo)如下：（1）提級后在職員工的工資總額不超過550千元；（2）各級員工不要超過定編人數(shù)；（3）為調(diào)動積極性，各級員工的升級面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%；（4）總提級面不大于20%，但盡可能多提；（5）4級不足編制人數(shù)可錄用新工人。 問：應(yīng)如何擬定一具滿意的方案，才能接近上述目標(biāo)？ 解：（1）決策變量：設(shè)x1,x2,x3,x4分別表示提升到1，2，3級和新錄用的員工數(shù)。 偏差變量：為各目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量。 （2）約束條件：1） 提級后在職員工的工資總額不超

28、過550千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1-d1+=550 2）各級員工不要超過定編人數(shù)1級有： 10-10 8%+x1+d2-d2+=10 2級有： 20-x1+ x2+d3-d3+=22 3級有： 40-x2+ x3+d4-d4+=52 4級有： 30-x3+ x4+d5-d5+=303）各級員工的升級面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%對2級有： x1+d6-d6+=20 18%對3級有： x2+d7-d7+=40 18% 對4級有： x3+d8-d8+=30 18% 4）總提級面人數(shù)不大于20%，但盡可能多提 x1+ x2

29、+ x3+d9-d9+=100 20% （3）目標(biāo)函數(shù)：minZ1=d1+minZ2=d2+d3+ d4+ d5+minZ3=d6-+ d7-+ d8-minZ4=d9+ d9-案例案例3 有三個產(chǎn)地向四個銷地供應(yīng)物資。產(chǎn)地有三個產(chǎn)地向四個銷地供應(yīng)物資。產(chǎn)地Ai(i=1,2,3)的供應(yīng)量的供應(yīng)量ai、銷地銷地Bj(j=1,2,3,4)的需要量的需要量bj、各產(chǎn)銷地之間各產(chǎn)銷地之間的單位物資運費的單位物資運費Cij如表如表2所示。表中，所示。表中，ai和和bj的單位為噸的單位為噸，Cij的單位為元的單位為元/噸。編制調(diào)運方案時要求按照相應(yīng)的優(yōu)噸。編制調(diào)運方案時要求按照相應(yīng)的優(yōu)先級依次考慮下列七個

30、目標(biāo)：先級依次考慮下列七個目標(biāo)：P1：B4是重點保證單位，其需要量應(yīng)盡可能全部滿足；是重點保證單位，其需要量應(yīng)盡可能全部滿足；P2：A3向向B1提供的物資不少于提供的物資不少于100噸；噸；P3：每個銷地得到的物資數(shù)量不少于其需要量的每個銷地得到的物資數(shù)量不少于其需要量的80%； P4：實際的總運費不超過當(dāng)不考慮實際的總運費不超過當(dāng)不考慮P1至至P6各目標(biāo)時的最小各目標(biāo)時的最小總運費的總運費的110%，這里的最小總費用利用第三大題中第，這里的最小總費用利用第三大題中第2小題小題求出的結(jié)果；求出的結(jié)果；P5：因路況原因，盡量避免安排因路況原因，盡量避免安排A2的物資運往的物資運往B4；P6：對對

31、B1和和B3的供應(yīng)率要盡可能相同；的供應(yīng)率要盡可能相同；P7：力求使總運費最省。力求使總運費最省。試建立該問題的運籌學(xué)模型。試建立該問題的運籌學(xué)模型。 解：用表上作業(yè)法可求得不考慮解：用表上作業(yè)法可求得不考慮P1至至P6各目標(biāo)時的最小運各目標(biāo)時的最小運費調(diào)運方案，相應(yīng)的最小運費為費調(diào)運方案，相應(yīng)的最小運費為2950元元（1）決策變量：設(shè)）決策變量：設(shè)Ai運往運往Bj的物資為的物資為xij噸噸（2）約束條件：）約束條件： 3141998833231331211177243141665533231344322212333121112231113424143433323124232221141312

32、1129500)(450200)(0324536080160100250400200300ijijijijijijddxcddxxxxxxddxddxcddxxxddxxxddxxxddxddxxxxxxxxxxxxxxx產(chǎn)量約束產(chǎn)量約束B4銷量要滿足銷量要滿足銷量銷量80%的限制的限制供應(yīng)率盡可能相同供應(yīng)率盡可能相同二、目標(biāo)規(guī)劃的解法二、目標(biāo)規(guī)劃的解法 由于目標(biāo)規(guī)劃有多個目標(biāo)，各個目標(biāo)又有相對不同的重要性，求解時是首先滿足重要性權(quán)數(shù)大的目標(biāo)，再滿足重要性權(quán)數(shù)次大的目標(biāo)，所以并不能保證所有的目標(biāo)都能達(dá)到，所求的解也不一定是最優(yōu)解，而只能求出滿意解。 （3）目標(biāo)函數(shù)）目標(biāo)函數(shù)dZddZdZdZd

33、ddZdZdZ97886756454332211minminminminminminmin 求解目標(biāo)規(guī)劃的仍用單純形法，但是與線性規(guī)劃的單純求解目標(biāo)規(guī)劃的仍用單純形法，但是與線性規(guī)劃的單純形法不同的是，此時檢驗數(shù)行不再是一行，而是變化為一形法不同的是，此時檢驗數(shù)行不再是一行，而是變化為一個檢驗數(shù)矩陣。個檢驗數(shù)矩陣。 例例4 用單純形法求解如下線性目標(biāo)規(guī)劃模型 minZ1=d1-，minZ2=d2+d2-，minZ3=d3- 2x1+3x224 加入松馳變量化為標(biāo)準(zhǔn)形 2x1+3x2+ x3=24 st -x1+x2+ d1- d1+ =0 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 4x1+3x2

34、+ d3-d3+ =30 解 （1）取x3，d1-，d2-，d3-為基變量，建立初始單純形表 -1-2-1123-13402630Z1Z2Z3000-100-100-10000010010010010003 1 232-1342402630 x3d1-d2-d3-d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB迭代的步驟完全與線性規(guī)劃的單純形法一樣。（2）滿意解的判定：檢驗數(shù)矩陣的每一列從上至下第一個非零元為負(fù)數(shù)，則解為滿意解。迭代的最優(yōu)表如下： -2-1-1-11-1020Z1Z2Z3100000-106/5-2/5-13/5-10000010-6/52/51-3/57/51/5-11

35、/50100000118/524/5224/5d3+x2d2-x1d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB因而滿意解為：x1=24/5，x2=24/5，d2-=2，d3+=18/5 其中第一、三目標(biāo)已達(dá)到最優(yōu)，第二個目標(biāo)未達(dá)最優(yōu)。目標(biāo)利潤 Z=4x1+3x2=168/541層次分析法層次分析法一、層次分析法的基本原理一、層次分析法的基本原理 層次分析法，又稱AHP(Analytic Hirrarchy Process)方法，是美國運籌學(xué)家薩蒂(T.Saaty)提出的一種多目標(biāo)、多準(zhǔn)則的決策分析方法。該方法被廣泛應(yīng)用于工程、經(jīng)濟、軍事、政治、外交等領(lǐng)域，解決了諸如系統(tǒng)評價、資源分配

36、、價格預(yù)測、項目選擇等許多重要問題，是一種定量分析與定性分析相結(jié)合的有效方法。用層次分析法作決策分析，首先要把問題層次化。根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互影響以及隸屬關(guān)系按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結(jié)構(gòu)模型。最終把系統(tǒng)分析歸結(jié)為最低層（如決策方案）相對于最高層（總目標(biāo)）的相對重要性權(quán)值的確定或相對優(yōu)劣次序的排序問題，從而為決策方案的選擇提供依據(jù)。 層次分析法大體分為六個步驟層次分析法大體分為六個步驟1）明確問題：為了運用AHP進行系統(tǒng)分析，首先要對問題有明確的認(rèn)識，弄清問題范圍、所包含的因素及其相互關(guān)系、解決問題的目的、是否具有AHP所

37、描述的特征。2）建立層次結(jié)構(gòu)模型：將問題中所包含的因素劃分為不同層次。例如，對于決策問題，通常可以劃分為下面幾個層次：最高層：表示解決問題的目的，稱為目標(biāo)層。中間層：表示采取某種措施或政策實現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)的涉及的中間環(huán)節(jié)，一般又分為策略層、準(zhǔn)則層等。最低層：表示解決問題的措施或方案，稱為措施層或方案層。如下圖所示。決策目標(biāo)準(zhǔn)則1準(zhǔn)則1準(zhǔn)則m子準(zhǔn)則1子準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則k方案1方案2方案n目標(biāo)層目標(biāo)層準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層子準(zhǔn)則層子準(zhǔn)則層方案層方案層3）構(gòu)造判斷矩陣針對上一層某元素，對每一層次各個元素的相對重要性進行兩兩比較，并給出判斷。這些判斷用數(shù)值表示出來，寫成矩陣形式，即所謂的判斷矩陣。nnnnnnnnkbb

38、bBbbbBbbbBBBA2122221211211121B其中bij表示對于Ak而言，Bi對Bj的相對重要性，通常bij取1,2,9及它們的倒數(shù)，其含義為：它們之間的數(shù)2，4，6，8及各數(shù)的倒數(shù)有相應(yīng)的類似意義。顯然，對判斷矩陣有).,2 , 1,( , 1,1njibbbiijiij因此，對于n階判斷矩陣，我們僅需對n(n-1)/2個元素給出數(shù)值。4）層次單排序及其一致性檢驗 所謂層次單排序，即把同一層次相應(yīng)元素對于上一層次某元素相對重要性的排序權(quán)值求出來。其方法是計算判斷矩陣A的滿足等式 的最大特征值 和對應(yīng)的特征向量W，這個特征向量就是單排序權(quán)值。WAWmaxmax 可以證明，對于n階

39、判斷矩陣，其最大特征根 為單根，且 ， 所對應(yīng)的特征向量均由正數(shù)組成。特別地，當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時，有 ，這里，所謂完全一致性是指對于判斷矩陣來說，存在maxnmaxmaxnmax),.,2 , 1,(nkjibbbjkikij為檢驗判斷矩陣的一致性，需要計算一致性指標(biāo)1maxnnCI此外，還需要判斷矩陣的平均隨機一致性指標(biāo)RI。對于1至9階矩陣，RI的值如下表。 在這里，對于1,2階判斷矩陣，RI只是形式上的，因為1，2階判斷矩陣總具有完全一致性，當(dāng)階數(shù)大于2時，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機一致性指標(biāo)RI之比稱謂隨機一致性比率，記為CR，CR=CI/RI0.10時，即認(rèn)為判斷

40、矩陣具有滿意的一致性，否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使其具有滿意的一致性。5）層次總排序 計算同一層次所有元素對于最高層相對重要性的排序權(quán)值，稱為層次總排序。這一過程是最高層次到最低層次逐層進行的。若上一層次A包含m個元素A1,A2,Am，其層次總排序權(quán)值分別為a1,a2,am，下一層次B包含n個元素B1,B2,Bn，它們對于元素Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,b2j,bnj（當(dāng)Bk與Aj無關(guān)系時,bkj=0），此時，層次總排序權(quán)值為mAAA21maaa21nBB21Bnwww21nmnnmmbbbbbbbbb212222111211nibawmjijji,.,2 , 1,16）層次總排序的一致性

41、檢驗。 這一步也是從高到低逐層進行的。如果B層次某些元素對于Aj單排序的一致性指標(biāo)為CIj，相應(yīng)的平均隨機一致性指標(biāo)為RIj，則B層次總排序隨機一致性比率為mjjjmjjjRIaCIaCR11類似地，當(dāng)CR0.10時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。10.5 層次分析法的計算問題層次分析法的計算問題 層次分析法計算的根本問題是如何計算判斷矩陣的最大特征根其對應(yīng)的特征向量.一般來說,計算判斷矩陣最大特征根及其對應(yīng)特征向量,并不需要追求較高的精確定度.這是因為判斷矩陣本身相當(dāng)?shù)恼`差范圍.應(yīng)用層次分析法給出的層次中各種元素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來說是表達(dá)某種定性

42、的概念.因此,從實用性來看,往往希望使用較為簡單的近似算法.下面介紹二種稱之為方根法和和積法的近似算法. 1、方根法的步驟如下:(1)計算判斷矩陣B每一行元素的乘積Mi.nibMnjiji,.,2 , 1,1(2)計算Mi的n次方根ViniiMV (3)對向量V=(V1,V2,Vn)T規(guī)一化,即njjiiVVW1則W=(W1,W2,Wn)T.即為所求的特征向量(4)計算判斷矩陣的最大特征根maxniiinWBW1max)(式中(BW)i表示向量BW的第i個分量.容易證明：當(dāng)正互反矩陣 為一致性矩陣時，方根法可得到精確的最大特征值與相應(yīng)的特征向量。nnijaA)(證明：設(shè) 為一致性矩陣， 為其最大特征值， 為相應(yīng)的特征向量，且是歸一化的。nnijaA)(maxTnuuuu),.,(21由于jiijuuan ,max令njiusnnjj, 2 , 1,/11suaMinnjjii/11顯然，歸一化后， 于是用公式Tnuuuw),(21niiiwAwn1)(1求得的最大特征值為n例題例題6 某廠準(zhǔn)備購買一臺計算機,希望功能強,價格低,維護容易.