利用正、余弦定理判定三角形形狀(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上利用正、余弦定理判定三角形形狀判定三角形形狀在高中數(shù)學(xué)中有著重要的地位，在求解三角形、三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)該知識(shí)點(diǎn)有著廣泛的應(yīng)用本文對(duì)該類(lèi)問(wèn)題常用知識(shí)點(diǎn)及常用分析方法總結(jié)如下.一、三角形形狀的判斷依據(jù)（1）等腰三角形.（2）等邊三角形且有一角為.（3）直角三角形.（4）等腰直角三角形且.（5）鈍角三角形.（6）銳角三角形最大邊滿足最大角.二、判定三角形形狀基本思想方法：1.計(jì)算、化簡(jiǎn)過(guò)程中常用的數(shù)學(xué)思想：（1）化歸、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用， 即利用正弦定理（或余弦定理）進(jìn)行代換，將已知條件中的等式轉(zhuǎn)化為都是邊或都是角的等式.（2）消元思想，常用，減少角的個(gè)數(shù).2.計(jì)算、化簡(jiǎn)的方向

2、有兩個(gè)：（1）利用正、余弦定理統(tǒng)一成角，再通過(guò)兩角和與差、倍角等三角公式進(jìn)行恒等變形，得出三角形兩角之間的關(guān)系.（2）利用正、余弦定理統(tǒng)一成邊，再通過(guò)邊恒等變形、分解因式等方法，得出三角形邊之間的關(guān)系.三、解三角形常用知識(shí)要點(diǎn)1.正弦定理： （為三角形外接圓半徑）.變形公式：（1）；（2）；（3）2.余弦定理： ,. 變形公式：，. 3.三角形面積公式：4.三角形中的常用結(jié)論：（1），.（2）， .5.三解形中化簡(jiǎn)計(jì)算，常用兩角和與差的正、余弦公式及二倍角公式.四、典型例題1. 直接利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷例1. 在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足，試判斷三角形的形狀.【解析】由題意，可設(shè)，.則邊

3、最大.因?yàn)?，所以?則最大角為銳角.所以為銳角三角形.【點(diǎn)評(píng)】已知條件均為三邊之間的關(guān)系，不需要利用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一成邊或角，直接計(jì)算最大邊所對(duì)的角的余弦值即可.例2. 在中，角所對(duì)的邊分別為，若成等比數(shù)列，且，試判斷三角形的形狀.【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以.又，所以，.所以，為最長(zhǎng)邊，角為最大角.因?yàn)?可得角為鈍角.所以為鈍角三角形.【點(diǎn)評(píng)】已知條件均為三邊之間的關(guān)系，不需要利用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一成邊或角，直接計(jì)算最大邊所對(duì)的角的余弦值即可.例3.在中，角所對(duì)的邊分別為，且有，試判斷三角形的形狀.【解析】 . , 是減函數(shù). .即, ., 為銳角.為銳角三角形.【點(diǎn)評(píng)】（1）已知

4、條件均為三邊之間的關(guān)系，不需要利用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一成邊或角，直接計(jì)算最大邊所對(duì)的角的余弦值即可.（2）本題利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮是關(guān)鍵.2.直接利用三角恒等變形，轉(zhuǎn)化為角關(guān)系進(jìn)行判斷例4.（05北京）在中，已知那么一定是（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形三角形 D.正三角形【解析】，.在中可得，即.所以是等腰三角形.故選B.【點(diǎn)評(píng)】（1）本題條件均為各角之間的三角函數(shù)關(guān)系，無(wú)需利用正、余弦定理統(tǒng)一成邊或角的等式，可直接進(jìn)行三角恒等變形，從而得到角之間的關(guān)系，判斷出三角形形狀.（2）本題也可利用正、余弦定理均統(tǒng)一成邊之間的關(guān)系，再恒等變形，得到兩邊之間的關(guān)系，從而

5、判斷出三角形形狀.例5.在中，已知，試判斷此三角形的類(lèi)型.【解析】 由得，所以，即，整理得， 所以，.在中可得，.所以，是等腰三角形.【點(diǎn)評(píng)】(1)本題關(guān)鍵：看到，可聯(lián)想降次公式.(2)由于已知條件都是三角函數(shù)關(guān)系式，故無(wú)需向邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化，而是進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.3.需要先利用正（余）弦定理統(tǒng)一成邊或角的等式，再進(jìn)行三角恒等變形得出角的關(guān)系或邊的關(guān)系，進(jìn)行判斷例6.在中，若，試判斷三角形的形狀.【解析】方法一：均統(tǒng)一成角.，代入已知，得即，.所以.在中，可得或所以，或所以，為等腰三角形或直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】已知等式是關(guān)于邊的二次齊次式，可利用正弦定理變式，將等式統(tǒng)一成角的三角函數(shù)等式，再

6、化簡(jiǎn).方法二：均統(tǒng)一成邊.由余弦定理得，.代入已知，得：.整理，得： 或.所以，為等腰三角形或直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】（1）已知等式中有余弦，可用余弦定理代換，將等式統(tǒng)一成邊的等式，再化簡(jiǎn).（2）變形過(guò)程中，等式兩邊不能隨意同除以某式子，常進(jìn)行因式分解，否則易丟解出錯(cuò).例7.在中，已知 ，試判定ABC的形狀.【解析】方法一：均統(tǒng)一成邊由已知得， ， 所以，即，可得.因?yàn)?，所? 所以，為直角三角形.方法二：均統(tǒng)一成角. 已知等式可化為： 又在中， 所以，即.可得， . 所以，為直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】（1）本題等式兩邊均為正弦的齊次式，可利用正、余弦定理代換，統(tǒng)一成邊的等式，再變形.（2）本題等式兩邊

7、均為角，也可直接進(jìn)行三角恒等變形，關(guān)鍵是與的變形方法，有兩種：一是和差化積公式應(yīng)用；也可令，再利用兩角和與差的正、余弦公式化簡(jiǎn).（3）體現(xiàn)了消元思想的應(yīng)用.【小結(jié)】判斷三角形形狀問(wèn)題解題規(guī)律：1.角化邊：應(yīng)用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)系，通過(guò)因式分解等方法化簡(jiǎn)得到邊與邊關(guān)系式，從而判斷出三角形的形狀.2.邊化角：應(yīng)用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間三角函數(shù)的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變形以及三角形內(nèi)角和定理得到內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀. 鞏固練習(xí)：1.在中，已知,判斷該三角形的形狀.2. 在中，如果，且角為銳角，判斷此三角形的形狀.3.在中，若試判斷的形狀.鞏固練習(xí)答案：1.【解析】方法一：均統(tǒng)一成角.，.由正弦定理，即知，.在中，可得，所以，或.即或.即為等腰三角形或直角三角形.方法二：均統(tǒng)一成邊.同上可得，由正、余弦定理得：，即.所以或.即為等腰三角形或直角三角形.2. 【解析】由，得，又是銳角，.又，即，.由正弦定理，得：，.，.故此三角形是等腰直角三角形.3. 【解析】方法一：均統(tǒng)一成角.由已知條件及正弦定理可得，為三角形的內(nèi)角，或，