大學(xué)數(shù)學(xué)高數(shù)微積分第一章多項(xiàng)式第十節(jié)課堂講義

1、在前面我們討論了一元多項(xiàng)式的基本性質(zhì).但是除去一元多項(xiàng)式外，還有含多個(gè)文字的多項(xiàng)式，即多元多項(xiàng)式，如 x2 - y2 , x3 + y3 + z3 -3xyz 等.現(xiàn)在就來簡(jiǎn)單地介紹一下有關(guān)多元多項(xiàng)式的一些概念. nknkkxxax2121nnnknkkkkkkkkxxxa2211212,1和一元多項(xiàng)式一樣，n 元多項(xiàng)式也可以定義相等、相加、相減、相乘. nknkkxxax2121.雖然多元多項(xiàng)式也有次數(shù)，但是與一元多項(xiàng)式的情況不同，我們并不能對(duì)多元多項(xiàng)式nnnknkkkkkkkkxxxa2211212,1中的單項(xiàng)式按次數(shù)給出一個(gè)自然排列的順序，因?yàn)椴煌惖膯雾?xiàng)式可能有相同的次數(shù).我們看到，一

2、元多項(xiàng)式的降冪排列法(或者升冪排列法)對(duì)于許多問題的討論是方便的.同樣地，為了便于以后的討論，我們對(duì)于多元多項(xiàng)式也引入一種排列順序的方法，這種方法是模仿字典排列的原則得出的，因而稱為.每一個(gè)單項(xiàng)式nknkkxxax2121都對(duì)應(yīng)于一個(gè)n 元數(shù)組(k1 , k2 , , kn ) ,其中 ki 為非負(fù)整數(shù).這個(gè)對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng).為了給出單項(xiàng)式之間一個(gè)排列順序的方法，我們只要對(duì)于 n 元數(shù)組 (k1 , k2 , , kn ) 定義一個(gè)先后順序就行了.如果數(shù)k1 - l1, k2 - l2 , , kn - ln中第一個(gè)不為零的數(shù)是正的，也就是說，有 i n使k1 - l1 = 0 , , ki-1

3、 - li-1 = 0 , ki - li 0 ,那么，我們就稱 n 元數(shù)組(k1 , k2 , , kn )n 元數(shù)組 (l1 , l2 , , ln ) , 并記為 (k1 , k2 , , kn ) (l1 , l2 , , ln ) .例如(1 , 3 , 2) (1 , 2 , 4) .由定義立即看出，事實(shí)上，由 ki - mi = (ki - li) - (li - mi) 即得上面的結(jié)論.因之，這樣的確給出了 n 元數(shù)組之間的一個(gè)順序.相應(yīng)地，單項(xiàng)式之間也就有了一個(gè)先后順序.例如多項(xiàng)式2x1x22x32 + x12x2 + x13 按字典排列法寫出來就是x13 + x12x2 +

4、 2x1x22x32 .按字典排列法寫出來的第一個(gè)系數(shù)不為零的單項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式的.例如多項(xiàng)式x13 + x12x2 + 2x1x22x32的首項(xiàng)為 x13 .當(dāng) n = 1 時(shí)，字典排列法就歸結(jié)為以前的降冪排列法.對(duì)于字典排列法，我們有 設(shè) f (x1 , x2 , , xn) 的首項(xiàng)為,0,2121axxaxnpnppg (x1 , x2 , , xn) 的首項(xiàng)為,0,2121bxxbxnqnqq為了證明它們的積nnqpnqpqpxxabx221121為 f g 的首項(xiàng)，(p1 + q1 , p2 + q2 , , pn + qn)先于乘積中其他單項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的有序數(shù)組就行了.事實(shí)上，f (x

5、1 , x2 , , xn) g (x1 , x2 , , xn)只要證明中其他單項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的有序數(shù)組是(p1 + k1 , p2 + k2 , , pn + kn),或者(l1 + q1 , l2 + q2 , , ln + qn),或者(l1 + k1 , l2 + k2 , , ln + kn),其中(p1 , p2 , , pn ) (l1 , l2 , , ln ) ，(q1 , q2 , , qn ) (k1 , k2 , , kn ).而(p1+q1 , p2+q2 , , pn+qn)(p1+k1 , p2+k2 , , pn+kn)與(p1+q1 , p2+q2 , , pn

6、+qn)(l1+q1 , l2+q2 , , ln+qn)是顯然的.同樣有(l1+q1 , l2+q2 , , ln+qn)(l1+k1 , l2+k2 , , ln+kn).由傳遞性即得(p1+q1 , p2+q2 , , pn+qn)(l1+k1 , l2+k2 , , ln+kn).這就證明了，nnqpnqpqpxxabx221121不可能與乘積中其他的項(xiàng)同類而相消，且先于其他所有的項(xiàng)，因而它是首項(xiàng).用數(shù)學(xué)歸納法立即得出 的結(jié)論顯然包含著 多項(xiàng)式nnnkkkknkkkkknxxxaxxxf,21,21212121),(稱為 ，如果其中每個(gè)單項(xiàng)式全是 m 次的.例如412221232132

7、132),(xxxxxxxxxf是一個(gè) 4 次齊次多項(xiàng)式.顯然，兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的乘積仍是齊次多項(xiàng)式,它的次數(shù)就等于這兩個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)之和.任何一個(gè) m 次多項(xiàng)式 f (x1 , x2 , , xn) 都可以唯一地表示成, ),(),(02121mininxxxfxxxf其中 fi (x1 , x2 , , xn) 是 i 次齊次多項(xiàng)式.fi (x1 , x2 , , xn) 稱為 f (x1 , x2 , , xn)的 如果ljnjnxxxgxxxg02121),(),(是一個(gè) l 次多項(xiàng)式，h(x1 , x2 , , xn) = f (x1 , x2 , , xn)g(x1 , x2 , ,

8、 xn)的 k 次齊次成分 hk (x1 , x2 , , xn) 為kjinjninkxxxgxxxfxxxh),(),(),(212121那么乘積特別地， h(x1 , x2 , , xn) 的最高次齊次成分為hm+l (x1 , x2 , , xn)= fm (x1 , x2 , , xn) gl (x1 , x2 , , xn) .由此可知，對(duì)于多元多項(xiàng)式，也有最后我們指出，與一元多項(xiàng)式一樣，多元多項(xiàng)式也可以看作函數(shù)的表達(dá)式.設(shè),),(,21,21212121nnnkkkknkkkkknxxxaxxxf并設(shè) c1 , c2 , , cn 是數(shù)域 P 中的數(shù)，我們稱nnnkkkknkkkkkncccacccf,21,21212121),(為 f (x1 , x2 , , xn) 在 x1 = c1 , x2 = c2 , , xn = cn處的值.顯然，當(dāng)f (x1 , x2 , xn) + g(x1 , x2 , xn) = h(x1 , x2 , xn),f (x1 , x2 , xn) g(x1 , x2 , xn) = p